4.2整式的加法与减法（第2课时）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

4.2整式的加法与减法 （第2课时） 导学案 1.理解去括号法则，能正确地进行去括号运算，能运用去括号和合并同类项进行整式的化简求值。 2.掌握整式加减运算的一般步骤，能熟练地进行整式的化简。 学习重点：去括号法则的探究与运用；整式加减运算的一般步骤。 学习难点：括号前为负号时，括号内各项均要变号；括号前有系数时，系数需乘以括号内每一项，防止漏乘和符号错误。 第一环节 自主学习 旧知复习 上节课我们学习了同类项和合并同类项，先来回顾两个问题： 问题1：什么是同类项？ 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项；所有的常数项都是同类项。 问题2：合并同类项的法则是什么？ 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 创设情景，引入新课 请看实际问题—— 汽车通过主桥的行驶时间是 h，那么汽车在主桥上行驶的路程是 km；通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少 h，那么汽车在海底隧道行驶的时间是 h，行驶的路程是 km。 （1）主桥与海底隧道长度的和为：； （2）主桥与海底隧道长度的差为：。 上面的代数式都带有括号，应如何化简它们呢？这就是我们本节课要学习的内容——去括号。 新知自研：自研课本第98--99页的内容． 【学法指导】 自研课本P98-99的内容，思考： ●探究一：去括号法则 ◆1.问题引入 由于字母表示的是数，所以可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各项相乘，去掉括号，再合并同类项。类比数的乘法分配律，尝试化简上面两个式子。 ； 。 第二个式子中，括号前的“”可以看作系数 。你能总结去括号的一般方法吗？ ◆2.概念归纳 1.去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 特殊情况：，。 可以看作 与 分别乘 ，利用分配律去括号。 2.去括号的符号规律： （1）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 3.注意： ①括号前有系数时，系数要乘括号内的每一项，不能漏乘； ②括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号，不能只变第一项。 ◆3.例题巩固 例1：化简 解：先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项。 例2：去括号。 （1）； （2）； （3）. 【分析】括号前是“”号，去括号后各项不变号；括号前是“”号，去括号后各项都变号。 【解答】 解：（1）； （2）； （3）。 ●探究二：整式加减运算的一般步骤 ◆1.新知导出 思考：观察刚才的化简过程，整式的加减运算可以按怎样的步骤进行？ 归纳： （1）如果有括号，先去括号； （2）如果有同类项，再合并同类项； （3）结果按某个字母的降幂（或升幂）排列. ◆2.例题巩固： 例1：化简: （1）； （2）. 解：先去括号，再合并同类项。 （1） ； （2） 。 ●探究二：整式加减的实际应用与化简求值 ◆1.问题引入 整式加减不仅用于化简，也常用于解决实际问题。请看教材例题——两船航行问题。 题目： 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是 km/h，水流速度是 km/h. （1）2 h 后两船相距多远？ （2）2 h 后甲船比乙船多航行多少千米？ 【分析】顺水航速 = 静水航速 + 水流速度 = km/h； 逆水航速 = 静水航速 - 水流速度 = km/h。 【解答】（1）2 h 后两船相距： km； （2）2 h 后甲船比乙船多航行： km。 【方法总结】 先求出顺水、逆水航速，根据路程 = 速度 × 时间列出整式，再去括号、合并同类项求解. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨去括号法则："＋" 不变号，"－" 各项变号。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：括号前 "－" 时每一项都变号、有系数要分别相乘。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 去括号】 　 　． 解：原式=。 【变式1-1】下列各式中，去括号正确的是（ B ） A. B. C. D. 解：A 应为 ；C 应为 ；D 应为 ；B 正确。 【变式1-2】化简：（1） （2） 解：（1）原式 ； （2）原式 。 【巩固训练2 利用去括号化简】 先去括号，再合并同类项： （1）) （2） 解：（1）原式； （2）原式。 【变式2-1】先去括号，再合并同类项： （1） （2） 解：（1）原式； （2）原式。 【变式2-2】化简：（1） （2） 解：（1）原式； 。 【巩固训练3 利用去括号化简并求值】 先化简，再求值： ，其中 ，。 解：。 当 ， 时，原式 。 【变式3-1】已知 ，，，求 的值。 解：原式 。 由 ，，相加得 ； 再由 ，相加得 。 【变式3-2】先化简，再求值：，其中 ，。 解：原式 。 当 ， 时，原式 。 ▲1、去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 ▲2、去括号的符号规律： （1）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 题型一 去括号 1．把去括号的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查去括号法则，解题的关键是掌握括号前是负号时去括号的运算规则． 根据去括号法则，对一进行去括号运算． 【详解】解：根据去括号法则：括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变， 对于，去括号后为：． 故答案为：． 2．多项式去括号的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查去括号，去括号法则：1．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变．2．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变．改成与原来相反的符号． 【详解】解：． 故答案为：． 3．_______ 【答案】 【分析】先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项可得到化简的结果． 【详解】解： ． 4．去括号： （1）﹣（x﹣y）＝　 ； （2）m﹣（n﹣p﹣q）＝　 　； （3）（x﹣y）﹣（a+b）＝　 ； （4）（4a﹣6b）＝　 　； （5）﹣[（﹣a+b）﹣c]＝　 　． 【答案】（1）﹣x+y； （2）m﹣n+p+q； （3）x﹣y﹣a﹣b； （4）﹣2a+3b； （5）a﹣b+c． 【分析】根据去括号的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）﹣（x﹣y）＝﹣x+y； 故答案为：﹣x+y； （2）m﹣（n﹣p﹣q）＝m﹣n+p+q； 故答案为：m﹣n+p+q； （3）（x﹣y）﹣（a+b）＝x﹣y﹣a﹣b； 故答案为：x﹣y﹣a﹣b； （4）（4a﹣6b）＝﹣2a+3b； 故答案为：﹣2a+3b； （5）﹣[（﹣a+b）﹣c] ＝﹣（﹣a+b﹣c） ＝a﹣b+c． 故答案为：a﹣b+c． 【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 题型二 去括号判断正误 5．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号的规则，掌握相关知识是解决问题的关键．当括号前有正号时，去掉括号连同括号前面的正号，括号内的每一项都不变号；当括号前有负号时，去掉括号连同括号前面的负号，括号内的每一项都要变号．括号前有因式时，去括号时因式要乘以括号内的每一项． 【详解】解：A：，原式错误； B：，但写成了，原式错误； C：，原式正确； D：，原式错误． 故选：C． 6．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则，需依据“括号前是负号，去括号后括号内各项符号改变；括号前是正号或有正系数，去括号后括号内各项符号不变且系数要乘以括号内每一项”来判断选项，即可求解． 【详解】解：A：，错误； B：，正确； C：，错误； D：，错误； 故选：B． 7．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D， 8．下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型三 先去括号再合并同类项 9．先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 10．先去括号，再合并同类项． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去中括号，再去小括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．先去括号，再合并同类项． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）先去括号再合并同类项； （2）先去括号再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．先去括号，再合并同类项． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （1）先去括号，合并同类项即可得到结果； （2）先去括号，合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）原式 ， （2）原式 ． 题型四 利用整式的加减解决问题 13．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 14．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 15．已知M＝4x2﹣2xy+1，N＝3x2﹣2xy﹣3． （1）化简：4M﹣（3M+2N）； （2）当x＝﹣1，y＝2时，求（1）代数式的值； （3）试判断M、N的大小关系并说明理由． 【分析】（1）由题意知，4M﹣（3M+2N）＝M﹣2N＝﹣2x2+2xy+7； （2）将x＝﹣1，y＝2代入计算求解即可； （3）M﹣N＝x2+4，由x2+4＞0，可得M﹣N＞0，即M＞N． 【详解】解：（1）由题意知，4M﹣（3M+2N） ＝4M﹣3M﹣2N ＝M﹣2N ＝4x2﹣2xy+1﹣2（3x2﹣2xy﹣3） ＝4x2﹣2xy+1﹣6x2+4xy+6 ＝﹣2x2+2xy+7； （2）将x＝﹣1，y＝2代入，原式＝﹣2×（﹣1）2+2×（﹣1）×2+7＝1； （3）M＞N，理由如下：M﹣N＝4x2﹣2xy+1﹣（3x2﹣2xy﹣3）＝4x2﹣2xy+1﹣3x2+2xy+3＝x2+4， ∵x2+4＞0， ∴M﹣N＞0，即M＞N． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值．熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 16．先化简，再求值 (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)；6 (2)，24 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，合并同类项对式子化简，再代入x的值求解即可； （2）先去括号，合并同类项对式子化简，再代入a，b的值求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解： ， 当，时，原式． 17．如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这块苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随m、n的取值而变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价． 【答案】(1)这块苗圃的长比宽多米 (2)该苗圃的建造总价为元 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，整式的加减无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的长为米，宽为米，进行列式计算，即可作答． （2）先算出该苗圃的周长，再结合竹篱笆的单价为每米7元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵长方形的长为米，宽为米， 则 ， 答：这块苗圃的长比宽多米． （2）解：该苗圃的建造总价不会随m、n的取值而变化，理由如下： 竹篱笆总长为： （米） ∴竹篱笆总长与m，n的取值无关． ∵竹篱笆的单价为每米7元， ∴该苗圃的建造总价为（元）． 18．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2整式的加法与减法 （第2课时） 导学案 1.理解去括号法则，能正确地进行去括号运算，能运用去括号和合并同类项进行整式的化简求值。 2.掌握整式加减运算的一般步骤，能熟练地进行整式的化简。 学习重点：去括号法则的探究与运用；整式加减运算的一般步骤。 学习难点：括号前为负号时，括号内各项均要变号；括号前有系数时，系数需乘以括号内每一项，防止漏乘和符号错误。 第一环节 自主学习 旧知复习 上节课我们学习了同类项和合并同类项，先来回顾两个问题： 问题1：什么是同类项？ 问题2：合并同类项的法则是什么？ 创设情景，引入新课 请看实际问题—— 汽车通过主桥的行驶时间是 h，那么汽车在主桥上行驶的路程是 km；通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少 h，那么汽车在海底隧道行驶的时间是 h，行驶的路程是 km。 （1）主桥与海底隧道长度的和为：； （2）主桥与海底隧道长度的差为：。 上面的代数式都带有括号，应如何化简它们呢？这就是我们本节课要学习的内容——去括号。 新知自研：自研课本第98--99页的内容． 【学法指导】 自研课本P98-99的内容，思考： ●探究一：去括号法则 ◆1.问题引入 由于字母表示的是数，所以可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各项相乘，去掉括号，再合并同类项。类比数的乘法分配律，尝试化简上面两个式子。 ； 。 第二个式子中，括号前的“”可以看作系数 。你能总结去括号的一般方法吗？ ◆2.概念归纳 1.去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的 ，再把所得的积 。 特殊情况：，。 可以看作 与 分别乘 ，利用分配律去括号。 2.去括号的符号规律： （1）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都 ； （2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都 。 3.注意： ①括号前有系数时，系数要乘括号内的每一项，不能 ； ②括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要 ，不能只变第一项。 ◆3.例题巩固 例1：化简 例2：去括号。 （1）； （2）； （3）. 【分析】括号前是“”号，去括号后各项 ；括号前是“”号，去括号后各项都 。 【解答】 ●探究二：整式加减运算的一般步骤 ◆1.新知导出 思考：观察刚才的化简过程，整式的加减运算可以按怎样的步骤进行？ 归纳： （1）如果有括号，先 ； （2）如果有同类项，再合并 ； （3）结果按某个字母的降幂（或升幂）排列. ◆2.例题巩固： 例1：化简: （1）； （2） . ●探究二：整式加减的实际应用与化简求值 ◆1.问题引入 整式加减不仅用于化简，也常用于解决实际问题。请看教材例题——两船航行问题。 题目： 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是 km/h，水流速度是 km/h. （1）2 h 后两船相距多远？ （2）2 h 后甲船比乙船多航行多少千米？ 【分析】顺水航速 = + = km/h； 逆水航速 = - = km/h。 【解答】（1）2 h 后两船相距： km； （2）2 h 后甲船比乙船多航行： km。 【方法总结】 先求出顺水、逆水航速，根据路程 = 速度 × 时间列出整式，再 、 求解. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨去括号法则："＋" 不变号，"－" 各项变号。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：括号前 "－" 时每一项都变号、有系数要分别相乘。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 去括号】 　 　． 【变式1-1】下列各式中，去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-2】化简：（1） （2） 【巩固训练2 利用去括号化简】 先去括号，再合并同类项： （1）) （2） 【变式2-1】先去括号，再合并同类项： （1） （2） 【变式2-2】化简：（1） （2） 【巩固训练3 利用去括号化简并求值】 先化简，再求值： ，其中 ，。 【变式3-1】已知 ，，，求 的值。 【变式3-2】先化简，再求值：，其中 ，。 ▲1、去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的 ，再把所得的积 。 ▲2、去括号的符号规律： （1）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都 ； （2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都 。 题型一 去括号 1．把去括号的结果是________． 2．多项式去括号的结果是_______． 3．_______ 4．去括号： （1）﹣（x﹣y）＝　 ； （2）m﹣（n﹣p﹣q）＝　 　； （3）（x﹣y）﹣（a+b）＝　 ； （4）（4a﹣6b）＝　 　； （5）﹣[（﹣a+b）﹣c]＝　 　． 题型二 去括号判断正误 5．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 先去括号再合并同类项 9．先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． 10．先去括号，再合并同类项． (1) (2) 11．先去括号，再合并同类项． (1)； (2)． 12．先去括号，再合并同类项． (1)． (2)． 题型四 利用整式的加减解决问题 13．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 14．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 15．已知M＝4x2﹣2xy+1，N＝3x2﹣2xy﹣3． （1）化简：4M﹣（3M+2N）； （2）当x＝﹣1，y＝2时，求（1）代数式的值； （3）试判断M、N的大小关系并说明理由． 16．先化简，再求值 (1)，其中； (2)，其中，． 17．如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这块苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随m、n的取值而变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价． 18．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $