第4章 数学活动导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案围绕整式的加减展开，通过月历中的数关系和自然数被3整除规律的探究活动导入，从具体实例到用字母表示数进行整式运算，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 以生活实例和数学规律为探究载体，通过问题链引导学生经历“观察-猜想-证明”过程，培养数学抽象、运算能力和推理意识，实例运用与变式训练结合，提升知识应用能力，激发学习兴趣。

姓名: 学科: 日期: 第4章 整式的加减 数学活动 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年8月31日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历数学活动探究（月历中的奥秘、自然数被3整除的规律），进一步理解与掌握整式的加减相关知识，同时提高学习数学的兴趣.（数学抽象、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 活动1：月历中的奥秘 （一）问题探究 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： （1）蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ （2）如果将蓝色方框移至图2的位置，（1）中的关系还成立吗? （3）不改变蓝色方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？ （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？你能说明理由吗？ （5）仿照上述探究的方法，请你在月历中画出一个图形，例如，图3中的“+”形，图4中的“H”形，图形中的数有什么关系？先从具体的图形开始研究，进而猜想一般结论，并说明结论成立的理由. 探究： （1）图1方框9个数为: 它们的和为: 中心数是11， ∵ ∴图1蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数的关系为 9个数的和是方框正中心数的9倍. （2）图2方框9个数为: 它们的和为: 中心数是16， ∵ ∴图2蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数的关系为 9个数的和仍然是方框正中心数的9倍. （3）由（1），（2）可知 在月历中，方框圈出的9个数的和，始终等于方框正中心数的9倍. （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立，理由如下 设中心数为， ∵月历规律为：左右相邻差1，上下相邻差7. ∴方框圈出的9个数分别为： 又∵它们的和为: 中心数是， ∵ ∴在月历中，方框圈出的9个数的和，始终等于方框正中心数的9倍. （5）月历“+”形和“H”形探究 月历规律：同一行相邻数差1，同一列上下数差7. ①图3“+”字形（5 个数:9, 15,16,17，23) 它们的和为： 中心数是16， ∵ ∴猜想结论：十字形5个数的和=中心数的5倍. 证明：设中心数为,则有 上面数：；下面数：;左边数：；右边数： 这5个数的和为 是中心数的5倍. 故十字形5个数的和=中心数的5倍. ②图4“H”字形（7 个数:8,10，15,16,17,22,24) 它们的和为： 中心数是16， ∵， ∴猜想结论：H字形7个数的和=中心数的7倍. 证明：设中心数为,则有 7 个数依次为: 这7个数的和为 是中心数的7倍. 故H字形7个数的和=中心数的7倍. （二）实例运用 例1.数学活动：月历中的奥秘 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？你能证明一下吗？ (2)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论． 【答案】(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍，证明见解答 (2)方框中对角两数之和相等，理由见解答 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，设出其中一个数，用该数表示出另外的数是解题的关键． （1）方框中9个数之和为方框正中心的9倍，设方框正中心的数为x，则另外8个数分别为，，，，，，，，将9个数相加，可得出9个数之和为，结合，即可证出方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）方框中对角两数之和相等，设最小的数为a，则另外3个数分别为，，，将两对角上的两个数相加，即可证出结论． 【详解】（1）解：方框中9个数之和为方框正中心的9倍． 证明：设方框正中心的数为x，则另外8个数分别为，，，，，，，， ∴9个数之和为 ， ∵， ∴方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）解：方框中对角两数之和相等，理由如下： 设最小的数为a，则另外3个数分别为，，， ∵， ， ∴方框中对角两数之和相等． 2、 活动2：自然数被3整除的规律 （1） 问题探究 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除. 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是 ∵ 即能被3整除， ∴如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除. 请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结论的道理，你还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？ 探究： （1）若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，则通常记这个三位数为．于是 ∵ 即能被3整除， ∴如果能被3整除，那么就能被3整除， 即能被3整除. 故对于一个三位的自然数满足： 一个三位数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除. （2）若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，则通常记这个四位数为．于是 ∵ 即能被3整除， ∴如果能被3整除，那么就能被3整除， 即能被3整除. 故对于一个四位的自然数满足： 一个四位数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除. （3） 五位数、六位数等情形省略. （2） 实例运用 例2.在课堂中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就可以被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明： 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为和，通常记为．则． 由题目条件知，可以被3整除，而且也能被3整除，所以可以被3整除．故可以被3整除． (1)以三位数为例，仿照上述证明过程，完成被3整除规律的证明． (2)若三位数与的和能被11整除，求． 【答案】(1) 因为， 由题目条件知，可以被3整除，而且能被3整除， 所以可以被3整除． 故可以被3整除． (2) 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式的运算，读懂题意，熟练应用新方法是解题的关键． （1）根据题目提供的方法进行求解即可； （2）计算，根据能被11整除，从而得出与的和能被11整除，则能被11整除，再根据为不超过9的正整数，为不超过9的自然数，得出． 【详解】（1）略 （2）解：因为， ， 且能被11整除， 所以若与的和能被11整除，则能被11整除， 因为为不超过9的正整数，为不超过9的自然数， 所以为不超过18的正整数． 得． （3） 变式训练 在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 【答案】(1)123（答案不唯一） (2) 证明：设三位数， ∵， 又∵和都能被3整除， ∴如果能被3整除，那么能被3整除，即三位数能被3整除． (3) ， ∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∵和能被3整除， ∴能被3整除． 【难度】0.65 【知识点】数的整除、整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式的运算，读懂题意，熟练应用新方法是解题的关键． （1）根据整除定义写出一个能被3整除的三位数即可； （2）根据题目提供的方法进行求解即可； （3）根据四位数，根据能被3整除，得出能被3整除，根据和能被3整除，即可得出答案． 【详解】（1）解：能被3整除的三位数为123．（答案不唯一） （2）略 （3）略 - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第4章 整式的加减 数学活动 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年8月31日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历数学活动探究（月历中的奥秘、自然数被3整除的规律），进一步理解与掌握整式的加减相关知识，同时提高学习数学的兴趣.（数学抽象、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 活动1：月历中的奥秘 （一）问题探究 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： （1）蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ （2）如果将蓝色方框移至图2的位置，（1）中的关系还成立吗? （3）不改变蓝色方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？ （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？你能说明理由吗？ （5）仿照上述探究的方法，请你在月历中画出一个图形，例如，图3中的“+”形，图4中的“H”形，图形中的数有什么关系？先从具体的图形开始研究，进而猜想一般结论，并说明结论成立的理由. 探究： （1）图1方框9个数为: 它们的和为: 中心数是 ， ∵ ∴图1蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数的关系为 9个数的和是方框正中心数的 倍. （2）图2方框9个数为: 它们的和为: 中心数是 ， ∵ ∴图2蓝色方框中的9个数的和与方框正中心的数的关系为 9个数的和仍然是方框正中心数的 倍. （3）由（1），（2）可知 在月历中，方框圈出的9个数的和，始终等于方框正中心数的 倍. （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立，理由如下 设中心数为， ∵月历规律为：左右相邻差1，上下相邻差7. ∴方框圈出的9个数分别为： 又∵它们的和为: 中心数是 ， ∵ ∴在月历中，方框圈出的9个数的和，始终等于方框正中心数的 倍. （5）月历“+”形和“H”形探究 月历规律：同一行相邻数差1，同一列上下数差7. ①图3“+”字形（5 个数:9, 15,16,17，23) 它们的和为： 中心数是 ， ∵ ∴猜想结论：十字形5个数的和=中心数的 倍. 证明：设中心数为,则有 上面数： ；下面数： ;左边数： ；右边数： 这5个数的和为 是中心数的 倍. 故十字形5个数的和=中心数的 倍. ②图4“H”字形（7 个数:8,10，15,16,17,22,24) 它们的和为： 中心数是 ， ∵ ∴猜想结论：H字形7个数的和=中心数的 倍. 证明：设中心数为,则有 7 个数依次为: 这7个数的和为 是中心数的 倍. 故H字形7个数的和=中心数的 倍. （二）实例运用 例1.数学活动：月历中的奥秘 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？你能证明一下吗？ (2)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论． 2、 活动2：自然数被3整除的规律 （1） 问题探究 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除. 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是 ∵ 即能被3整除， ∴如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除. 请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结论的道理，你还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？ 探究： （1）若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，则通常记这个三位数为．于是 ∵ 即能被 整除， ∴如果能被 整除，那么 就能被3整除， 即 能被3整除. 故对于一个三位的自然数满足： 一个三位数的所有数位上的 能被3整除，那么这个自然数就能被3 . （2）若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，则通常记这个四位数为．于是 ∵ 即能被 整除， ∴如果能被3 ，那么 就能被3整除， 即 能被3整除. 故对于一个四位的自然数满足： 一个四位数的所有数位上的 能被3整除，那么这个自然数就能被3 . （3） 五位数、六位数等情形省略. （2） 实例运用 例2.在课堂中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就可以被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明： 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为和，通常记为．则． 由题目条件知，可以被3整除，而且也能被3整除，所以可以被3整除．故可以被3整除． (1)以三位数为例，仿照上述证明过程，完成被3整除规律的证明． (2)若三位数与的和能被11整除，求． （3） 变式训练 在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $