3.1列代数式表示数量关系（第3课时）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

3.1列代数式表示数量关系（第3课时） 导学案 1.理解反比例关系的概念，能识别两个量是否成反比例关系，能用代数式表示反比例关系。 2.理解正比例关系与反比例关系的区别，并能在实际问题中分析数量关系，判断并表示反比例关系。 3.经历从实际问题中抽象出反比例关系概念的过程，发展观察、分析和归纳能力。 学习重点：反比例关系的概念及其代数式表示。 学习难点：在实际问题中分析数量关系，正确判断比例类型，并用代数式准确表示。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 情景引入 师：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 。根据每天造雪量，如何计算所需的造雪天数？ 造雪天数＝造雪总量÷每天造雪量。 列表计算： 每天造雪量为 时，造雪天数为 （天）； 每天造雪量为 时，造雪天数为 （天）； 每天造雪量为 时，造雪天数为 （天）。 观察数据和计算结果，每天造雪量越来越大，造雪天数越来越小。这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 造雪天数随着每天造雪量的变大而变小；而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是 。 例如： 新知自研：自研课本第73--75页的内容． 【学法指导】 自研课本P73-75的内容，思考： ●探究一：反比例关系的概念 ◆1.问题引入 上述问题中“每天造雪量”和“造雪天数”是两个相关联的量。一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的乘积一定。这样的两个量之间是什么关系？ ◆2.方法总结 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 关键数量关系：两个量的乘积固定不变。 ◆3.例题巩固 下列各式中，表示 与 成反比例关系的是（ C ） A. 　 　B. 　 　C. D. =+2 解：A中 ， 与 的和为定值，乘积不是定值，所以不成反比例关系。 B中 ，即 ， 与 的比值为定值，不成反比例关系。 C中由 变形得 ， 与 的乘积是定值 ，符合反比例关系的定义。 D中 ， 与 的差为定值2，乘积不是定值，所以不成反比例关系。 ●探究二：反比例关系的表示与变化规律 ◆1.问题引入 思考：我们已经知道了什么是反比例关系，怎样用代数式来表示反比例关系呢？ 如果用 ， 表示两个相关联的量，用 表示它们的积（ 是一个确定的值，且 ），反比例关系可以表示为：，也可以写成：。 注意： 必须是确定的值，且 。如果 ，那么 ， 和 中至少有一个为 ，就不存在“一个量变化另一个量也随着变化”的关系了。 ◆2.例题巩固 题目：用代数式表示下列各题中的反比例关系： （1）一个长方形的面积为 ，长为 cm，宽为 cm； （2）一辆汽车行驶的路程为 km，速度为 km/h，时间为 h。 解：（1）由长方形面积公式得 ，也可写成 。 （2） 由路程公式得 ，也可写成 。 ●探究三：正比例关系与反比例关系的区别 ◆1.问题引入 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由。 （1）普通投影仪灯泡的使用寿命约为 h，它的可使用天数 （天）与平均每天使用的时间 （h）； （2）一种商品的单价为 元，所花费的钱数 元与购买的件数 （件）； （3）小明应完成的作业量 一定，他已完成的作业量 和未完成的作业量 ； （4）一批零件 个，一个工人每小时做 个，人数 与完成任务所需的时间 （h）。 【解答】 （1），乘积一定，是反比例关系。 （2），即 ，比值一定，不是反比例关系，而是正比例关系。 （3），和一定，不是乘积一定，因此不是反比例关系。 （4）由题意得 ，即 ，乘积一定，是反比例关系。 ◆2.方法总结 正比例关系：两个相关联的量 ， 的比值一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量也随着增大。 反比例关系：两个相关联的量 ， 的乘积一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量随着减小。 ◆3.知识小结 根据 （）判断正、反比例关系： 如果 是定值，那么 与 乘积一定， 与 成反比例关系。 如果 或 有一个量是定值，那么 或 ， 与 （或 ）成正比例关系。 ，， 在不同实际问题中所表示的量不同，如销售问题中的销售总额、销售单价、销售量；行程问题中的路程、速度、时间；工程问题中的总工作量、工作效率、工作时间。 ◆4.例题巩固 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 ，，，。分别往这四个容器中注入 的水。 （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用 （单位：）和 （单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 与 的关系， 与 成什么比例关系？ 解：（1）由圆柱体积公式：体积＝底面积×高，可得高＝体积÷底面积。 四个容器中水的高度分别为： （2）用 ， 分别表示底面积和水的高度，则： 所以 与 成反比例关系。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨反比例关系的意义（两个量的乘积一定，即 ，k≠0），会用代数式表示反比例关系，并与正比例关系对比。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：k 不为 0、分清正 / 反比例、用代数式正确表示。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 反比例关系的概念】 下面四个关系式中， 和 成反比例关系的是（　B　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【分析】根据反比例的性质可知当两个变量的积为定值时，这两个变量成反比例关系，进而求解。 解：A、， 和 不成反比例关系，不符合题意； B、 即 ， 和 成反比例关系，符合题意； C、 即 ， 和 成正比例关系，不符合题意； D、， 和 不成反比例关系，不符合题意。 【变式】在下列几个关系式中， 与 是反比例关系的有（　B　） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 【详解】①中， 与 成正比例，故 与 不是反比例关系； ②中， 与 成正比例，故 与 不是反比例关系； ③中， 与 是反比例关系； ④中， 与 成反比例，故 与 不是反比例关系； ⑤中， 与 是反比例关系； ⑥中， 与 成反比例，故 与 不是反比例关系。 综上所述， 与 是反比例关系的有2个。 【巩固训练2 反比例关系的表示与变化规律】 与 成反比例关系，当 时，；当 时， 的值是________。 解：∵ 与 成反比例关系， ∴ 设 ， ∵ 当 时，， ∴ ， 当 时，，解得 。 故答案为：。 【变式】 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示。 （1）这批货物共有多少吨？ （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ 解：（1）由表可得，，，， ∴ 这批货物共有800吨。 （2）观察表格，可以看出运输的天数随着每天运输的吨数的变化而变化，它们是两种相关联的量。从左往右看，每天运输的吨数越少，所需要运输的天数越多；从右往左看，每天运输的吨数越多，所需要运输的天数越少。 【巩固训练3 正比例关系与反比例关系的区别】 长方形面积为 ，则它的长和宽成_______比例。 解：∵ 长×宽 ， 即长与宽的积一定， ∴ 长和宽成反比例。 故答案为：反。 【变式3-1】如果等腰三角形的面积为10，底边长为 ，底边上的高为 ，那么 与 的比例关系式为________， 与 成_______关系。 解：∵ 等腰三角形的面积为10，底边长为 ，底边上的高为 ， ∴ ， ∴ 与 的比例关系式为 ， 与 成反比例关系。 故答案为：，反比例。 【变式3-2】物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大，压力的作用效果越明显。对于固体，物体的压力 （单位：N）一定时，压强 （单位：Pa）与受力面积 （单位：cm²）成反比例，其部分对应数值如下表，则 值为（　　） A．980　　　B．920　　　C．14　　　D．10 【详解】解：∵ 压强 与受力面积 成反比例， ∴ ， ∴ 。 当 时，即 ，解得 。 故选：C。 ▲1、两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 关键数量关系：两个量的乘积固定不变。 ▲2、正比例关系与反比例关系 正比例关系：两个相关联的量 ， 的比值一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量也随着增大。 反比例关系：两个相关联的量 ， 的乘积一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量随着减小。 题型一： 反比例关系的识别 1．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（   ） A．被减数一定，减数和差 B．练习本的单价一定，购买的本数和总价 C．路程一定，速度和时间 D．球的半径和它的表面积 【答案】C 【分析】本题考查两种量成反比例关系，读懂题意，根据成反比例的定义“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量”求解即可得到答案． 【详解】解：、被减数一定，减数和差的和一定，不成反比例关系，故本选项不符合题意； 、练习本的单价一定，购买的总价与本数的比值一定，成正比例关系，故本选项不符合题意； 、路程一定，速度和时间的积一定，成反比例关系，故本选项符合题意； 、球的半径和它的表面积不成反比例关系，故本选项不符合题意； 故选：． 2．下面各题中的两个量不是反比例关系的是（   ） A．煤的总量一定，使用天数与平均每天的用煤量 B．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 C．差一定，被减数和减数 D．完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的定义，掌握反比例的定义是解题的关键． 根据反比例定义进行分析即可． 【详解】解：A．煤的总量一定时，使用天数与平均每天的用煤量成反比例关系，故此选项不符合题意； B．当长方体的体积一定时，它的长方体的底面积与高两个量成反比例关系，故此选项不符合题意； C．差一定，被减数和减数不成反比例关系，故此选项符合题意； D．完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数两个量成反比例关系，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列问题中的两个量成反比例关系的是（   ） A．每天阅读半小时，阅读的总时长与天数 B．50米短跑测试，跑步的平均速度与时间 C．圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 D．长方形的周长一定，长方形相邻两边的长 【答案】B 【分析】本题考查成反比例关系的意义和辨别，熟练掌握两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系．根据成反比例关系的意义对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、每天阅读半小时，阅读的总时长与天数成正比例关系，故此选项不符合题意； B、50米短跑测试，跑步的平均速度与时间成反比例关系，故此选项符合题意； C、圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系，故此选项不符合题意； D、长方形的周长一定，长方形相邻两边的长不成比例关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．下面说法错误的是（   ） A．长方形的面积一定，长与宽成反比例 B．在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成正比例 C．在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例 D．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 【答案】B 【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量乘积一定成反比例，比值一定成正比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、长方形的面积一定，长与宽成反比例，该选项说法正确，不合题意； 、在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，该选项说法错误，符合题意； 、在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例，该选项说法正确，不合题意； 、圆柱的体积一定，底面积和高成反比例，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 5．下列各说法中的两种量成反比例关系的是（   ） ①圆锥的体积一定，它的底面积和高；②长方形周长一定，它的长和宽；③比的前项一定，比的后项和比值；④圆的面积和它的半径 A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了成反比例，两种量乘积一定成反比例关系，据此判断即可求解，掌握反比例关系的定义是解题的关键． 【详解】解：①圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例关系，该选项符合题意； ②长方形周长一定，它的长和宽不成比例关系，该选项不会题意； ③比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，该选项符合题意； ④圆的面积和它的半径不成比例关系，该选项不会题意； ∴两种量成反比例关系的是①③， 故选：． 6．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（    ） A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y 【答案】D 【分析】根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫做反比例关系． 【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； C、，即，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意； D、，即，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例关系，比例的性质，熟知反比例函数的关系的定义是解题的关键． 7．①时间一定，路程与速度；②烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数；③车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数．以上各选项中，两种量成反比例关系的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查反比例的定义，根据反比例的定义判断即可． 【详解】解：①时间一定，路程与速度成正比，故错误； ②烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数成反比，故正确； ③车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数成正比，故错误； 故答案为：②． 8．某农场的粮食总产量为1500吨，农场共有y人，人均占有粮食x吨．根据表格所给数据，请你写出农场人数y（人）和人均占有粮食量x（吨）之间的关系式 ．请你判断表格中的两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”）． 农场人数/人 10 20 30 50 人均占有粮食量/吨 150 75 50 30 【答案】 =1500 反比例 【分析】本题考查反比例的定义，关键是掌握积是定值的两个量成反比例关系． 由表格中数据可得出x、y之间的关系式，并根据关系得出表格中的两个量的关系． 【详解】解：由表格中数据可得：=1500 ， ∴农场人数y（人）和人均占有粮食量x（吨）之间的关系式为=1500 ， ∴表格中的两个量成反比例关系， 故答案为：=1500 ，反比例． 题型二： 反比例关系的实际应用 10．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例关系，根据下表，则（　　） 电流I 10 2 电阻R 50 60 100 A．20 B．16 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例关系的含义，根据两个量的乘积一定，则这两个量成反比可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例关系， ∴， 解得：， 故选：C 11．把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】(1)见解析 (2)成反比例关系；因为每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定） (3)60毫升 【分析】本题考查了反比例关系，掌握反比例关系的概念是关键； （1）由表可计算出一瓶果汁的总量，即可求得平均分成4杯时每杯的果汁量； （2）由题意知，每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定），即可判断分得的杯数和每杯的果汁量的关系； （3）果汁总量除以分得的杯数即可求解． 【详解】（1）解：一瓶果汁共有，， 表格补充如下： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 （2）解：成反比例关系； 因为每杯的果汁量分得的杯数， 所以分得的杯数和每杯的果汁量是反比例关系； （3）解：， 答：每杯的果汁量是60毫升． 12．糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如表所示． 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … (1)这批水果糖共有多少颗？ (2)用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系．n与m成什么比例关系？ 【答案】(1)3600颗 (2)，反比例关系 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是找到题中的数量关系进行解答． （1）用每袋装的颗数乘总袋数即可得到答案； （2）根据每袋装的颗数乘总袋数，用式子表示出n与m的关系，再根据成反比例关系的定义即可解答． 【详解】（1）解：（颗）， 答：这批水果糖共有3600颗． （2）解：由（1）得，这批水果糖共有3600颗， 用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数， ， ， n与m成反比例关系． 13．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表： 每名学生分得的图书数 学生人数 (1)这批图书共有多少本？ (2)若用表示学生人数，表示每名学生分得图书数，则与成什么比例关系． 【答案】(1)600本 (2)n与成反比例关系 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数乘法的实际应用： （1）用每名学生分得的图书数乘以对应的人数即可得到答案； （2）由（1）可得，即m与n的乘积一定，据此可得答案． 【详解】（1）解：本， 答：这批图书共有600本； （2）解：由（1）可得，即m与n的乘积一定， ∴n与m成反比例关系． 14．某工厂要生产一批电动车，平均每天生产的辆数和所需的天数如下表： 平均每天生产的辆数      所需的天数      (1)这批电动车共多少辆？ (2)所需的天数是怎样随着平均每天生产的辆数的变化而变化的？ (3)用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系？ 【答案】(1)这批电动车共辆 (2)所需的天数随着平均每天生产的辆数的增加而减少 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例的应用，掌握当两个变量乘积一定时这两个量成反比例关系是解题的关键． （1）根据通过 “每天生产的辆数 × 所需天数” 计算，结果均为，即可得到答案； （2）观察表格可知，每天生产的辆数依次增加，所需的天数依次减少即可得到答案； （3）根据题意，用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，乘积一定成反比例关系． 【详解】（1）解：∵（辆）， （辆）， （辆）， （辆）， （辆）， ∴这批电动车共辆； （2）观察表格的数据可知：随着每天生产的电动车的辆数从辆依次增加到辆，所需天数从天依次减少到天，故所需的天数随着每天生产的电动车的辆数增加而减少； （3）根据题意，用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，由（1）可知，生产总量为辆，根据“总辆数= 平均每天生产的辆数 × 所需天数”，可得关系式，因为两种变量的乘积为定值，所以与成反比例关系． 15．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (1)这批货物共有多少吨？ (2)运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ (3)用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)500吨 (2) 解：观察表格，可以看出运输的天数随着每天运输的吨数的变化而变化，它们是两种相关联的量．从左往右看，每天运输的吨数越少，所需要运输的天数越多；从右往左看，每天运输的吨数越多，所需要运输的天数越少； (3)或，与成反比例关系 【分析】本题考查了反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则成反比例关系． （1）根据每天运输的吨数与运输的天数乘积一定为500解答即可； （2）根据表格可得运输的天数随着每天运输的吨数的减少而增加； （3）根据可得，因为乘积一定，所以t与a成反比例关系． 【详解】（1）解：由表可得，，，，，⋯， 所以这批货物共有500吨； （2）略 （3）解：由题意得，与的关系为或，因为与的乘积一定为500，所以与成反比例关系． 16．一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【答案】(1)，； (2)越来越少； (3)与成反比例关系． 【分析】本题主要考查了有理数的运算的应用，成反比例关系，理解题意，根据表格得出结果是解题的关键． （）用表格中的一组数据，求出两数的积即可； （）观察表格数据即可求解； （）根据书的总页数等于每天读的页数乘以天数，得到与的关系，根据积一定，两个变量成反比例关系，作答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：观察表格数据可得：随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会越来越少； （3）解：∵， ∴与的关系是， ∴与成反比例关系． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1列代数式表示数量关系（第3课时） 导学案 1.理解反比例关系的概念，能识别两个量是否成反比例关系，能用代数式表示反比例关系。 2.理解正比例关系与反比例关系的区别，并能在实际问题中分析数量关系，判断并表示反比例关系。 3.经历从实际问题中抽象出反比例关系概念的过程，发展观察、分析和归纳能力。 学习重点：反比例关系的概念及其代数式表示。 学习难点：在实际问题中分析数量关系，正确判断比例类型，并用代数式准确表示。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 情景引入 师：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 。根据每天造雪量，如何计算所需的造雪天数？ 造雪天数＝造雪总量÷ 。 列表计算： 每天造雪量为 时，造雪天数为 （天）； 每天造雪量为 时，造雪天数为 （天）； 每天造雪量为 时，造雪天数为 （天）。 观察数据和计算结果，每天造雪量越来越大，造雪天数越来越小。这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 造雪天数随着每天造雪量的变大而 ；而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是 。 例如： 新知自研：自研课本第73--75页的内容． 【学法指导】 自研课本P73-75的内容，思考： ●探究一：反比例关系的概念 ◆1.问题引入 上述问题中“每天造雪量”和“造雪天数”是两个相关联的量。一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的乘积一定。这样的两个量之间是什么关系？ ◆2.方法总结 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作 。 关键数量关系：两个量的 固定不变。 ◆3.例题巩固 下列各式中，表示 与 成反比例关系的是（ ） A. 　 　B. 　 　C. D. =+2 ●探究二：反比例关系的表示与变化规律 ◆1.问题引入 思考：我们已经知道了什么是反比例关系，怎样用代数式来表示反比例关系呢？ 如果用 ， 表示两个相关联的量，用 表示它们的积（ 是一个确定的值，且 ），反比例关系可以表示为： ，也可以写成： 。 注意： 必须是确定的值，且 。如果 ，那么 ， 和 中至少有一个为 ，就不存在“一个量变化另一个量也随着变化”的关系了。 ◆2.例题巩固 题目：用代数式表示下列各题中的反比例关系： （1）一个长方形的面积为 ，长为 cm，宽为 cm； （2）一辆汽车行驶的路程为 km，速度为 km/h，时间为 h。 ●探究三：正比例关系与反比例关系的区别 ◆1.问题引入 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由。 （1）普通投影仪灯泡的使用寿命约为 h，它的可使用天数 （天）与平均每天使用的时间 （h）； （2）一种商品的单价为 元，所花费的钱数 元与购买的件数 （件）； （3）小明应完成的作业量 一定，他已完成的作业量 和未完成的作业量 ； （4）一批零件 个，一个工人每小时做 个，人数 与完成任务所需的时间 （h）。 【解答】 ◆2.方法总结 正比例关系：两个相关联的量 ， 一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量也随着 。 反比例关系：两个相关联的量 ， 的 一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量随着 。 ◆3.知识小结 根据 （）判断正、反比例关系： 如果 是定值，那么 与 乘积一定， 与 成 关系。 如果 或 有一个量是定值，那么 或 ， 与 （或 ）成 关系。 ，， 在不同实际问题中所表示的量不同，如销售问题中的销售总额、销售单价、销售量；行程问题中的路程、速度、时间；工程问题中的总工作量、工作效率、工作时间。 ◆4.例题巩固 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 ，，，。分别往这四个容器中注入 的水。 （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用 （单位：）和 （单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 与 的关系， 与 成什么比例关系？ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨反比例关系的意义（两个量的乘积一定，即 ，k≠0），会用代数式表示反比例关系，并与正比例关系对比。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：k 不为 0、分清正 / 反比例、用代数式正确表示。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 反比例关系的概念】 下面四个关系式中， 和 成反比例关系的是（　 　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【分析】根据反比例的性质可知当两个变量的积为定值时，这两个变量成反比例关系，进而求解。 【变式】在下列几个关系式中， 与 是反比例关系的有（　 　） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 【巩固训练2 反比例关系的表示与变化规律】 与 成反比例关系，当 时，；当 时， 的值是________。 【变式】 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示。 （1）这批货物共有多少吨？ （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ 【巩固训练3 正比例关系与反比例关系的区别】 长方形面积为 ，则它的长和宽成_______比例。 【变式3-1】如果等腰三角形的面积为10，底边长为 ，底边上的高为 ，那么 与 的比例关系式为________， 与 成_______关系。 【变式3-2】物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大，压力的作用效果越明显。对于固体，物体的压力 （单位：N）一定时，压强 （单位：Pa）与受力面积 （单位：cm²）成反比例，其部分对应数值如下表，则 值为（　　） A．980　　　B．920　　　C．14　　　D．10 ▲1、两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作 。 关键数量关系：两个量的 固定不变。 ▲2、正比例关系与反比例关系 正比例关系：两个相关联的量 ， 的 一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量也随着 。 反比例关系：两个相关联的量 ， 的 一定，即 （ 是确定的值，且 ）。变化规律：一个量增大，另一个量随着 。 题型一： 反比例关系的识别 1．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（   ） A．被减数一定，减数和差 B．练习本的单价一定，购买的本数和总价 C．路程一定，速度和时间 D．球的半径和它的表面积 2．下面各题中的两个量不是反比例关系的是（   ） A．煤的总量一定，使用天数与平均每天的用煤量 B．长方体的体积一定，长方体的底面积与高 C．差一定，被减数和减数 D．完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数 3．下列问题中的两个量成反比例关系的是（   ） A．每天阅读半小时，阅读的总时长与天数 B．50米短跑测试，跑步的平均速度与时间 C．圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 D．长方形的周长一定，长方形相邻两边的长 4．下面说法错误的是（   ） A．长方形的面积一定，长与宽成反比例 B．在工程问题中，工作总量一定，工作效率与工作时间成正比例 C．在行程问题中，速度一定，路程与时间成正比例 D．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例 5．下列各说法中的两种量成反比例关系的是（   ） ①圆锥的体积一定，它的底面积和高；②长方形周长一定，它的长和宽；③比的前项一定，比的后项和比值；④圆的面积和它的半径 A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 6．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（    ） A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y 7．①时间一定，路程与速度；②烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数；③车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数．以上各选项中，两种量成反比例关系的是 （填序号）． 8．某农场的粮食总产量为1500吨，农场共有y人，人均占有粮食x吨．根据表格所给数据，请你写出农场人数y（人）和人均占有粮食量x（吨）之间的关系式 ．请你判断表格中的两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”）． 农场人数/人 10 20 30 50 人均占有粮食量/吨 150 75 50 30 题型二： 反比例关系的实际应用 10．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例关系，根据下表，则（　　） 电流I 10 2 电阻R 50 60 100 A．20 B．16 C．12 D．10 11．把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 12．糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如表所示． 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … (1)这批水果糖共有多少颗？ (2)用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系．n与m成什么比例关系？ 13．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表： 每名学生分得的图书数 学生人数 (1)这批图书共有多少本？ (2)若用表示学生人数，表示每名学生分得图书数，则与成什么比例关系． 14．某工厂要生产一批电动车，平均每天生产的辆数和所需的天数如下表： 平均每天生产的辆数      所需的天数      (1)这批电动车共多少辆？ (2)所需的天数是怎样随着平均每天生产的辆数的变化而变化的？ (3)用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系？ 15．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … (1)这批货物共有多少吨？ (2)运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ (3)用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 16．一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $