3.2 代数式的值 知识清单2026-2027 学年人教版七年级数学上册

3.2 代数式的值　知识清单2026-2027 学年七年级数学上册人教版 （复习提纲 · 中考基础考法覆盖版） 一、复习目标与重难点 维度 内容 知识目标 1. 理解代数式的值的意义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果；2. 掌握求代数式的值的规范步骤；3. 能利用行程、销售、几何等常见公式列代数式并求值。 能力目标 体会代数式是一种“计算程序”；能准确代入并规范计算，感受字母取值与代数式值之间的对应关系；会用整体代入简化求值。 重点 求代数式的值的步骤与规范（负数、分数代入加括号）；利用公式列代数式并求值。 难点 代入负数、分数时的括号与乘号还原；整体代入求值；组合图形的列式与计算。 考查形式 选择题、填空题为主（约 4—8 分），也常与解答题结合，考查“代入求值”“利用公式求值”“整体代入”；是后续学习整式、方程、函数的重要基础。 二、代数式的值是什么 代数式的值的定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 特别地，当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不相同。 以“学校购置排球”为例：每班配 5 个，学校另外留 20 个。若全校有 n 个班，则共需购置 (5n + 20) 个排球。 把字母 n 依次换成 15、20： 当 n = 15 时，5n + 20 = 5 × 15 + 20 = 95；当 n = 20 时，5n + 20 = 5 × 20 + 20 = 120。 像 95、120 这样，用具体数值代替字母后算出的结果，就是代数式 5n + 20 的值。 三、求代数式的值的步骤 求代数式的值，要按固定的四步走，一步也不能省： 规范写法示例：当 x = 15，y = 12 时，2x + 3y = 2 × 15 + 3 × 12 = 30 + 36 = 66。 注意：“当……时”不能丢，它说明这个值是在字母取这些数时得到的。 四、代入时的注意事项（最大易错点） 代入时的四条规矩： ① 还原乘号——代数式中省略的乘号，代入具体数后要补上。如 2a 代入 a = 3 得 2 × 3，不能写成 23。 ② 负数、分数加括号——如 a = -4 时， 要写成 ，否则 - 就成了 -16，结果错了。 ③ 同一个字母同一个数——代数式里同一个字母只能代同一个数，不能一会儿代这个数、一会儿代那个数。 ④ 运算符号与顺序不变——代入时原来的运算符号、数字和运算顺序都不能改变。 再看一个“先乘方、后乘除、最后加减”的例子： 代入情形的写法 代入后 结果 a = -4 时的 16 a = -4 时的 - - = -16 -16 a = 2, b = -3 时的 2 × = 2 × 9 18 x = 时的 2x 2 × 1 五、字母取值与代数式的值的对应关系 按给定的 n 值，分别计算 5n + 6 与 的值，观察变化趋势： ① 随着 n 逐渐变大，两个代数式的值都随之增大； ② 增长得更快——n = 6 时两者刚好相等（都是 36），再往后 一直更大，会先超过 100。 这提示我们：代数式的值随字母取值的变化而变化，通过观察变化趋势可以作出估计。 六、整体代入 有时不需要求出每个字母的值，只要把“一个整体”看成“一个数”代入即可——这叫整体代入。 再看一例：已知 a + 2b = 5，求 3a + 6b − 1 的值。 因为 3a + 6b = 3(a + 2b)，把 a + 2b 整体换成 5，得 3 × 5 − 1 = 14。 点评：整体代入的关键是找出所求式子与已知条件之间的倍数（或和差）关系，用提取公因数或添括号的方法把“整体”配出来。 七、利用公式列关系式并求值 生活中的许多数量关系都是固定公式，公式本身就是代数式。先记住常用公式，再“列式 → 代值 → 作答”。 1. 常见公式提示 类型 关系式 说明 行程问题 s = vt 路程 = 速度 × 时间（t = s 除以 v） 销售问题 p = mn 总价 = 单价 × 数量 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 与行程问题同构 长方形 / 正方形 S = ab；S = 长 × 宽；边长 × 边长 三角形 S = ah 底 × 高 的一半 圆 C = πd = 2πr；S = π 周长与面积 长方体 / 圆柱 V = abc；V = π 体积公式 2. 利用公式求值的步骤 ① 审清题意，找出题目中固定的数量关系（哪个公式）； ② 用字母列代数式，注意书写规范； ③ 把字母的值代入代数式，按运算顺序计算； ④ 结果要带单位，并按题目要求取近似值（如“π 取 3.14”“结果取整数”）。 3. 组合图形：大减小 组合图形的面积常常是“大的减小的”：先分别列式，再整体代入求值。 注意：图形题要先想清楚“要求的量 = 哪些基本图形面积（或长度）的和或差”。 八、分层例题精讲 【第一层：直接代入求值】 例 1　根据下列 x、y 的值，分别求代数式 3x − 2y 的值： （1）x = 3，y = 4；　　（2）x = -1，y = 2。 解：（1）当 x = 3，y = 4 时，3x − 2y = 3 × 3 − 2 × 4 = 9 − 8 = 1； 　　（2）当 x = -1，y = 2 时，3x − 2y = 3 × (-1) − 2 × 2 = -3 − 4 = -7。 点评：代入时省略的乘号要还原；代入负数要加括号，如 3 × (-1) 不能写成 3 × -1。 例 2　当 a = -4，b = -3 时，求代数式 - b 的值。 解：当 a = -4，b = -3 时， - b = - (-3) = 16 + 3 = 19。 点评：负数代入乘方一定要加括号， = 16，而 - = -16，两者完全不同；减去负数等于加它的相反数。 例 3　当 x = 5，y = -2 时，求下列代数式的值： （1） + ；　　（2）；　　（3） − y。 解：（1）当 x = 5，y = -2 时， + = + = 25 + 4 = 29； 　　（2） = = = 9； 　　（3） − y = − (-2) = 25 + 2 = 27。 点评：(1) 与 (2) 形似而结果差很多，是本节最典型的易错点： + 与 是不一样的，代入时务必先看清括号在哪儿。 【第二层：整体代入】 例 4　若 a + 2b − 1 = 0，求 3a + 6b 的值。 解：由 a + 2b − 1 = 0，得 a + 2b = 1； 所以 3a + 6b = 3(a + 2b) = 3 × 1 = 3。 点评：不需求出 a、b 各自的值，把 a + 2b 整体代入即可。 例 5　已知 m − 3n = 4，求 5 − 2m + 6n 的值。 解：因为 m − 3n = 4，所以 2m − 6n = 2(m − 3n) = 2 × 4 = 8； 所以 5 − 2m + 6n = 5 − (2m − 6n) = 5 − 8 = -3。 点评：注意添括号时要变号：−2m + 6n = −(2m − 6n)，把 2m − 6n 整体换成 8。 【第三层：利用公式求值】 例 6　某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 a，半圆形弯道的直径为 b。 （1）用代数式表示这条跑道的周长； （2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）。 解：（1）两段直道的长为 2a；两段弯道合成一个圆，直径为 b，周长为 πb； 所以跑道的周长为 2a + πb（m）。 　　（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时， 2a + πb = 2 × 67.3 + 3.14 × 52.6 = 134.6 + 165.164 ≈ 300（m）。 答：这条跑道的周长约为 300 m。 点评：两段半圆弯道合起来正好是一个圆，这是本题的关键；题目要求“π 取 3.14、结果取整数”，最后一步要按要求取近似值。 例 7　一块三角尺的形状如图，用代数式表示它的面积 S；当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时，求这块三角尺的面积（π 取 3.14）。 解：三角尺的面积 = 三角形的面积 − 圆的面积。 三角形的面积为 ab，圆的面积为 π，所以 S = ab − π； 当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时， S = × 10 × 17.3 − 3.14 × = 86.5 − 12.56 = 73.94（）。 答：这块三角尺的面积是 73.94 。 点评：组合图形用“大减小”；计算时先算乘方（ = 4），再算乘除，最后算加减。 例 8　A、B 两地相距 s km，甲、乙两人分别以 a km/h、b km/h 的速度从 A 地到 B 地，且甲用的时间较少。 （1）用代数式表示甲比乙少用的时间； （2）当 s = 180，a = 72，b = 60 时，求甲比乙少用的时间。 解：（1）甲用时为 （h），乙用时为 （h）， 所以甲比乙少用的时间是 − （h）。 　　（2）当 s = 180，a = 72，b = 60 时， − = − = 3 − 2.5 = 0.5（h）。 答：甲比乙少用 0.5 h。 点评：时间 = 路程 ÷ 速度；甲速度快、用时少，所以是“乙的时间减甲的时间”。 【第四层：规律探索与实际应用】 例 9　按规律排列：第 1 个图形有 5 个黑色瓷砖，之后每个图形都比前一个多 4 个。用含 n 的代数式表示第 n 个图形的黑色瓷砖数，并求第 6 个图形的黑色瓷砖数。 解：第 1 个有 5 个，第 2 个有 5 + 4 个，第 3 个有 5 + 4 × 2 个…… 所以第 n 个图形的黑色瓷砖数是 (4n + 1) 个； 当 n = 6 时，4n + 1 = 4 × 6 + 1 = 25（个）。 答：第 n 个图形有 (4n + 1) 个黑色瓷砖，第 6 个图形有 25 个。 点评：规律探索题先写出前几个具体值，找出“增加的部分”，再用代数式概括，最后代入求值。 例 10　某村去年的小麦总产量为 a 吨，今年比去年增加了 10%。先用代数式表示今年的总产量，再求当 a = 480 时的总产量。 解：把去年产量 a 看作单位 1，增加 10% 后为 (1 + 10%)a，即 1.1a（吨）； 当 a = 480 时，1.1a = 1.1 × 480 = 528（吨）。 答：今年小麦总产量是 1.1a 吨；当 a = 480 时为 528 吨。 点评：“增加百分之几”用 (1 + 百分数) 乘原量；“减少百分之几”用 (1 − 百分数) 乘原量。 九、方法总结与知识结构 内容 要点 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按运算关系算出的结果；字母取值不同，值一般也不同 求值四步 写条件（当……时）→ 抄代数式 → 代入数值 → 计算 代入四规矩 还原乘号；负数/分数加括号；同一字母同一数；运算符号与顺序不变 关键辨析 + 与 不同； 代入 a = -4 要写 = 16 整体代入 把“一个整体”看成“一个数”；用提公因数或添括号配出整体，注意变号 常用公式 s = vt；p = mn；S = ab；S = ；S = ah；C = πd = 2πr；S = π；V = abc 公式求值步骤 审题找关系 → 列代数式 → 代入计算 → 带单位并按要求取近似值 组合图形 “大的减小的”；先想清楚所求量 = 哪些基本图形面积（或长度）的和差 三句口诀：① 当字先写再抄式，还原乘号别漏乘；　② 负数分数加括号，乘方先算再乘除； ③ 整体代入看倍数，公式求值带单位。 易错清单（考前必看）： ① 漏写“当……时”——直接写“2x + 3y = 66”，看不出是在什么条件下求的值； ② 负数、分数代入不加括号——把 写成 -，结果由 16 错成 -16； ③ 省略的乘号忘还原——2a 代入 a = 3 时写成 23，应写成 2 × 3； ④ 字母取值代错位——“对号入座”，一个字母自始至终只代同一个数； ⑤ 运算顺序颠倒——先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号； ⑥ 整体代入变号错——5 − 2m + 6n = 5 − (2m − 6n)，添括号要变号； ⑦ 结果漏单位或漏取近似——题目要求“π 取 3.14”“结果取整数”必须照做。 学科网（北京）股份有限公司 $