精品解析：河北省承德市高新区第一中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

河北省承德市高新区第一中学 2026-2027学年上学期高二数学9月月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 36 2. 已知点、，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（ ） A. 至少一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 5. 已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ．若将这组数据中的每一个数都乘以 再减去 ，得到一组新数据 ，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 8. 若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 若直线与直线垂直，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. D. 2 10. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 11. 同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（ ） A. B. 经过点和 C. 的斜率为2，且过点 D. 与没有公共点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 设一组样本数据的方差为，则数据 的方差为_____． 13. 一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 14. 已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线，，. （1）直线与轴，轴分别交于两点，为坐标原点，求的面积； （2）直线与直线的交点，求点的坐标； （3）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程. 16. 已知的三个顶点分别是． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 17. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的英语成绩，随机抽取了100位同学的英语成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校英语成绩的中位数（保留一位小数）； （3）样本内英语分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 18. 为了让学生更好地遵守校纪校规，某中学对全校学生进行了校纪校规测试，试卷满分100分，所有学生的成绩均在[40，100].已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800，现按年级采用分层抽样的方式抽取了300名学生的成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求样本中各年级的人数； （2）根据频率分布直方图估计本次测试全校学生成绩的平均分和中位数； （3）经过计算，现已知样本方差为83，高一年级成绩的平均分是65，方差是75，高二年级的平均分是69，高三年级的方差是55，求高三年级的平均分和高二年级的方差. 19. 人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面，重塑着人们的生活方式．为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系，某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数（）分成六组：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求样本数据的第75百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市高新区第一中学 2026-2027学年上学期高二数学9月月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（     ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：每个个体被抽到的可能性为， 所以应抽取的女生人数为. 2. 已知点、，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线的斜率为. 3. 从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从到的正整数中是的倍数有共个数，概率是 4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（ ） A. 至少一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 【答案】B 【解析】 【分析】写出基本事件，根据互斥事件的定义进行判断 【详解】“至多一次中靶”包含“中靶0次和中靶1次”， A选项，“至少一次中靶”包含“中靶1次和中靶2次”， 故“至多一次中靶”与“至少一次中靶”均包含“中靶1次”，不互斥，A错误； B选项，“至多一次中靶”与“两次都中靶”互斥，B正确； C选项，“至多一次中靶”与“只有一次中靶”均包含“中靶1次”，故不互斥，C错误； D选项，“至多一次中靶”与“两次都没有中靶”均包含“中靶0次”，故不互斥，D错误 5. 已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ．若将这组数据中的每一个数都乘以 再减去 ，得到一组新数据 ，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】设原数据的平均数为 ，方差为 ，新数据 ． 由平均数的线性性质得 ；由方差的性质得 （常数项不影响方差）． 6. 甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为1． 已知甲、乙能通过面试的概率都是，则甲、乙未能通过面试的概率都是， 故面试结束后两人都没通过的概率是． 7. 已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个数据， 因为，所以该组数据的第60百分位数是. 8. 若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线为，将代入得，解得， 故直线的方程为. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 若直线与直线垂直，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据两条直线垂直系数关系列式计算求解. 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或. 故选：CD. 10. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 【答案】ACD 【解析】 【详解】直线化为，斜率为2，A正确； 令，，直线在轴上的截距为4，B错误； 直线的斜率为2，且，所以向量是直线l的一个方向向量，C正确； 令，，则直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形的面积为，D正确. 11. 同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（ ） A. B. 经过点和 C. 的斜率为2，且过点 D. 与没有公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 设一组样本数据的方差为，则数据 的方差为_____． 【答案】20 【解析】 【详解】由题意可知：，令，则． 13. 一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 【答案】 【解析】 【分析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率． 【详解】由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品，且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的． 第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为， 故产品的正品率为， 故答案为：． 14. 已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理直线方程，分离参数，求出直线恒过的定点；点到直线的距离最大值即为，依据几何性质：距离不超过两点之间线段长，当直线时取到最大值． 【详解】直线：， 整理得：． 联立，解得， 所以直线恒过定点，由几何性质，点到直线的距离， 当时等号成立，， 所以点到直线的距离的最大值为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线，，. （1）直线与轴，轴分别交于两点，为坐标原点，求的面积； （2）直线与直线的交点，求点的坐标； （3）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点，得到、长度，由坐标轴垂直可知是直角三角形，利用直角三角形面积公式求解； （2）联立​和的方程，构成二元一次方程组，方程组的解即为交点； （3）根据两条直线斜率都存在时，互相垂直的直线斜率的乘积为，由​的斜率求出的斜率，因为过已知点，所以用点斜式写出直线方程，整理为一般式即可. 【小问1详解】 对于直线，令，得，即与轴交点； 令，得，即与轴交点.  因为是直角三角形，直角边长为​，， 所以的面积为. 【小问2详解】 联立​和的方程：， 两式相加消去，得，解得， 代入得，因此交点的坐标为. 【小问3详解】 将整理为斜截式，得​的斜率为. 由两直线垂直的斜率性质：若两条直线斜率都存在，垂直时斜率乘积为，因此的斜率满足，得. 又过点，由点斜式得，整理为一般式即. 16. 已知的三个顶点分别是． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题知， 因为边上的高与垂直，两垂直直线斜率乘积为，因此高所在直线的斜率为， 又该高过点，由点斜式方程可得 ，即. 【小问2详解】 由于直线与平行，因此直线的斜率， 又直线过点，由点斜式方程可得 ，即. 17. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的英语成绩，随机抽取了100位同学的英语成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校英语成绩的中位数（保留一位小数）； （3）样本内英语分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 【答案】（1） （2）中位数约为105.7分． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答. （2）利用频率分布直方图求中位数的方法列式计算作答. （3）求出分数在内的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，分数在区间的频率分别为0.34，0.62， 因此该校英语成绩的中位数， 则，解得， 所以该校英语成绩的中位数约为105.7分． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人， 因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人， 记内的4人为，在内的1人为， 则样本空间． 记“选出的2人中恰有一人成绩在”为事件，则， 所以， 即选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率为． 18. 为了让学生更好地遵守校纪校规，某中学对全校学生进行了校纪校规测试，试卷满分100分，所有学生的成绩均在[40，100].已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800，现按年级采用分层抽样的方式抽取了300名学生的成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求样本中各年级的人数； （2）根据频率分布直方图估计本次测试全校学生成绩的平均分和中位数； （3）经过计算，现已知样本方差为83，高一年级成绩的平均分是65，方差是75，高二年级的平均分是69，高三年级的方差是55，求高三年级的平均分和高二年级的方差. 【答案】（1） 样本中高一、高二、高三年级的人数分别为，，； （2） 平均分为，中位数为； （3） 高三年级的平均分为，高二年级的方差为. 【解析】 【小问1详解】  由题意可知，全校学生总人数为人. 抽样比为. 则样本中高一人数为， 高二人数为， 高三人数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： ：；：；：； ：；：；：. 平均分为. 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内.设中位数为， 则，解得. 故估计本次测试全校学生成绩的平均分为，中位数为. 【小问3详解】 设高一、高二、高三年级的样本容量分别为，平均分分别为，方差分别为， 总样本的平均分为，方差为. 由题意知，.；；. 由，得，即， 解得. 由分层抽样总方差公式， 得， 即， ，解得. 故高三年级的平均分为，高二年级的方差为. 19. 人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面，重塑着人们的生活方式．为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系，某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数（）分成六组：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求样本数据的第75百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 【答案】（1） （2）84 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1列方程求参数值； （2）根据百分位数的定义及直方图求第75百分位数 （3）应用样本均值、方差与总体方差的关系列方程求落在内样本数据的方差. 【小问1详解】 由题意， 解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第75百分位数在第5组即区间上， 设第75百分位数为，则， 解得； 【小问3详解】 样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以， 而， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $