精品解析：河北省保定市唐县河北省唐县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

唐县一中2024级高二9月月考数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，故. 故选：C. 2. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 3. 直线，则 “”的充要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 4. 已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 5. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 6. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 7. 已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找到点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短，连接与轴的交点即为所求的点. 【详解】对于点关于轴的对称点为.已知，那么关于轴的对称点.设直线的方程为. 根据两点求斜率公式，可得. 把和代入得，解得. 所以直线的方程为. 因为点在轴上，令，代入得，解得. 所以点的坐标为. 故选：D. 8. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则 ，， ， ， 所以 ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知直线l过点，，则（ ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 10. 设圆，则下列命题正确的是（ ） A. 所有圆的面积都是 B. 存在，使得圆C过点 C. 经过点的圆C有且只有一个 D. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可. 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图： 在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，， 所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简已知圆的方程得圆心，进一步由两点间距离得半径，由此即可得解. 【详解】圆的标准方程为，则圆心， 因为圆过点半径， 则圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出，根据点到平面距离的向量公式进行求解即可. 【详解】， 故点A到平面的距离为. 故答案为： 14. 我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线. （1）方程表示的直线与轴围成的面积为______； （2）若方程表示的是两条直线，则为______. 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】（1）由题可知表示的直线为和，联立方程组，求出两直线交点坐标，以及两直线与轴交点坐标，结合三角形面积公式即可求解； （2）由方程特点可知该方程必能表示为两个二元一次式的乘积，设，比较系数即可求解. 【详解】（1）由题可知表示的直线为和，联立方程组，解得，所以两直线交点为，两直线与轴交点分别为和. 故两直线与轴围成的三角形面积为. （2）由方程特点可知该方程必能表示为两个二元一次式的乘积，设， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：；. 四、解答题（本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量，，． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列方程求得，进而应用坐标求模长； （2）根据向量平行的坐标表示求得，再由向量夹角的坐标公式求夹角余弦值. 【小问1详解】 空间向量，， 因为，所以，解得， 所以，则． 【小问2详解】 因为，则存在实数k，使得， 所以，解得，则， 故． 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】（1） （2）以为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【小问1详解】 因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． 【小问2详解】 设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 【答案】（1），，为的中点， 四边形为平行四边形，， 又，，即， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平面，进而证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量表示点的位置，通过向量的点积和夹角公式，求解二面角大小为时，的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为的中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，，，，， 设，， ，又， 设平面的法向量为，则，即. 令，得， 二面角为，，解， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐县一中2024级高二9月月考数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 直线，则 “”的充要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 4. 已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知直线l过点，，则（ ） A. 点在直线l上 B. 直线l的两点式方程为 C. 直线l的一个方向向量的坐标为 D. 直线l的截距式方程为 10. 设圆，则下列命题正确的是（ ） A. 所有圆的面积都是 B. 存在，使得圆C过点 C. 经过点的圆C有且只有一个 D. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是__________. 13. 已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为___________. 14. 我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线. （1）方程表示的直线与轴围成的面积为______； （2）若方程表示的是两条直线，则为______. 四、解答题（本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量，，． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $