3.6 同步作业【防抄袭分层】2026-2027学年苏科版数学九年级上册

九年级上 3.6 正多边形与圆　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 11 题、第 12 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 1．B．36° 2．D．72° 3．A．30° 4．45 5．B．12 6．4π﹣12 7．13 8．2cm 9．B． 10．B．①②④ 【异】11． 【甲】 【乙】 12 【异】12． 【甲】 D．30m 【乙】 A．30m 13． 14．【解答】（1）解：由题意可知AC为⊙O的切线，　则∠OEC＝90°，　∵∠C＝30°，　∴OE＝tan30°•EC2，　故答案为：2；　（2）证明：∵∠OEC＝∠A＝90°，　∴AD∥OE，　又∵AD＝OE，　∴四边形ADOE为平行四边形，　∴∠BDO＝∠A＝90°，　又∵点D为半径OD的外端，　∴AB为⊙O的切线；　（3）解：∵∠C＝30°，∠OEC＝90°，　∴∠EOC＝60°，∠B＝60°，　∵AD∥OE，　∴OD∥AE，即OD∥AC，　∴∠DOF＝∠ACB＝30°，　∴BD＝tan30°•DO．　∴＝﹣DO•BD，　＝﹣，　故两阴影部分面积的和为+． 15．（1）如图，连接OA，OF，　∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，　∴．　∴；　（2）连接PO，EO，DO，　由题意可得：．　∵点P为的中点，　∴，　∴n＝360÷30＝12． 16．⊙O的半径R＝5cm． 17．（1）证明：∵点C是弧AF的中点，　∴　∴∠AOC＝∠COF．　∵∠AOC＝∠BON，∠COF＝∠DOM，　∴∠BON＝∠DOM．　∵OB＝OD，OM＝ON，　∴△BON≌△DOM（SAS）．　（2）证明：连接AF交OC于点H．如图，　∵OA＝OF，　∴∠OAF＝∠AFO，且∠BOF＝2∠AFO，　∵∠BOF＝2∠G，　∴∠G＝∠AFO，　∴AF∥CG．　∵点C是弧AF的中点，　∴半径OC⊥AF，　∴半径OC⊥CG，　∴CG是⊙O的切线；　（3）解：设⊙O的半径为r．　∵四边形ONBF是平行四边形，　∴BF＝ON＝2，BN＝OF＝r．　∵△BON≌△DOM，　∴DM＝BN＝r．　∵点C是的中点，　∴点H是AF的中点．　∵点O是AB的中点，　∴，　∴DH＝r+1．　∵AM＝2，　∴AD＝r+2．　∵＝﹣＝﹣，　∴（r+2﹣（r+1＝﹣，　整理得﹣2r﹣4＝0，　解得或（舍去）．　∴⊙O的半径为． 18．证明：（1）如图，连接OC，OD，　∵AC＝AD，　∴A在CD的垂直平分线上，　∵OC＝OD，　∴O在CD的垂直平分线上，　∵两点确定一条直线，　∴AO是CD的垂直平分线，　∴AB⊥CD；　（2）如图，连接BD，　∵DG⊥AC，AB⊥CD，　∴∠AGD＝∠AED＝90°，　∴∠CAE＝90°﹣∠ACD＝∠GDC，　∵∠CAE与∠CDB都是弧BC所对的圆周角，　∴∠CAE＝∠CDB，　∴∠GDC＝∠CDB，即CD平分∠FDB，　∵∠GDC+∠DFB＝90°，∠CDB+∠DBF＝90°，　∴∠DFB＝∠DBF，　∴DF＝DB，　∵CD平分∠FDB，　∴EF＝BE；　（3）解：如图，连接OC，　设∠CAB＝x，　∵DG⊥AC，　∴∠AGF＝90°，　∴∠AFH＝90°﹣x，　∵∠HPF+2∠CAB＝90°，　∴∠HPF＝90°﹣2x，　∴∠H＝180°﹣∠HPF﹣∠AFH＝3x，　∴∠QAD＝∠H＝3x，　连接AD，　∵AC＝AD，AB⊥CD，　∴∠DAB＝∠CAB＝x，　∴∠QAB＝∠QAD+∠DAB＝4x，　延长QA至T，使AT＝AB，连接TB，　∴∠T＝∠ABT＝2x，　∵AB为圆O直径，　∴∠AQB＝90°，　在Rt△AQB中，　设AO＝r，则QB，TQ＝2r，　∴，　在Rt△OCE中，CE＝DE＝3，，∠COE＝∠COB＝2x，　∴，　∴，　∴5﹣7r﹣90＝0，　解得r或5，　∵r＞0，　∴r＝5，　即圆O的半径为5． 19．（1）证明：∵∠ACB＝45°，　∴∠ADB＝∠ACB＝45°，　∵∠ABD＝45°，　∴∠ADB+∠ABD＝90°，　∴∠BAD＝90°，　∴BD是△ABD的外接圆的直径；　（2）证明：作AE⊥AC，交CD的延长线于E，　∵∠ACD＝∠ABD＝45°，　∴△ACE是等腰直角三角形，　∴AC＝AE，∠CAE＝90°，CEAC，　∵△ABD是等腰直角三角形，　∴AB＝AD，∠BAD＝90°，　∴∠BAC＝∠DAE，　∴△BAC≌△DAE（SAS），　∴DE＝BC，　∴CD+BCAC；　（3）解：2+＝，理由如下：　延长MB交⊙O于F，连接AF，DF，　∵∠ACB＝∠AFB＝∠AMB＝45°，　∴∠MAF＝90°，AM＝AF，　∴+＝2＝，　∵AM＝AC，　∴AF＝AC，　∴，　∵，　∴，　∴，　∴DF＝BC＝BM，　∵BD为直径，　∴∠BFD＝90°，　在Rt△MFD中，有+＝，　∴2+＝． 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层 【解答】 A．25° B．36° C．35° D．40° 　　如图，连接OM，ON． 　　∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点， 　　∴OM⊥AE，ON⊥AB， 　　∴∠OMA＝∠ONA＝90°， 　　∵∠A＝108°， 　　∴∠MON＝180°﹣108°＝72°， 　　∴∠MFN∠MON＝36°， 　　答：B．36° 第 2 题　基础层 【解答】 A．60° B．54° C．66° D．72° 　　连接OB、OC，则OB＝OC， 　　∵⊙O为正五边形的外接圆，CF与⊙O相切于点C， 　　∴CF⊥OC， 　　∴∠OCF＝90°， 　　∵∠FBC＝∠BOC360°＝72°， 　　∴∠OCB＝∠OBC（180°﹣72°）＝54°， 　　∴∠FCB＝90°﹣54°＝36°， 　　∴∠F＝180°﹣72°﹣36°＝72°， 　　答：D．72° 第 3 题　基础层 【解答】 A．30° B．40° C．45° D．60° 　　连接OC，OD， 　　∵六边形ABCDEF是正六边形， 　　∴∠COD60°， 　　∴∠CPDCOD＝30°， 　　答：A．30° 第 4 题　基础层 【解答】 　　正八边形的中心角等于360°÷8＝45°． 第 5 题　基础层 【解答】 A．16 B．12 C．8 D．6 　　∵正多边形的一个内角是150°， 　　∴该正多边形的一个外角为30°， 　　∵多边形的外角之和为360°， 　　∴边数n＝360÷30＝12， 　　∴该正多边形的边数是12． 　　答：B．12 第 6 题　基础层 【解答】 　　∵⊙O的半径为2， 　　∴⊙O的面积S＝4π， 　　如图，设AB是⊙O内接正十二边形的一条边，连接OA，OB， 　　∴OA＝OB＝2， 　　∵圆的内接正十二边形的中心角为30°， 　　∴∠AOB＝30°， 　　过点A作AC⊥OB于点C， 　　∴ACOA＝1， 　　∴圆的内接正十二边形的面积， 　　∴S﹣＝4π﹣12． 第 7 题　基础层 【解答】 　　如图所示：AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD， 　　依题意，TE＝10mm，ED＝7mm， 　　∵OC⊥TE， 　　∴，CD＝5+7＝12（mm）， 　　∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， 　　∴， 　　∴， 第 8 题　基础层 【解答】 　　【解答】解：设⊙O的半径为a， 　　由题意可得：2πa＝8π， 　　解得a＝4， 　　连接OC，OD，如图， 　　∵∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝4，OM⊥CD于点M， 　　∴∠COM＝30°， 　　∴OM＝OC•sin60°＝42（cm）， 　　故答案为：2cm． 第 9 题　提升层 【解答】 A． B． C． D． 　　正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG， 　　如图，连接OC，AC，AD 　　∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， 　　∴，AD为⊙O的直径． 　　又∵OC＝OD， 　　∴△COD是等边三角形， 　　∴CD＝OC＝OD＝2cm． 　　∵AD是⊙O的直径， 　　∴AD＝4cm，∠ACD＝90°， 　　∴在Rt△ACD中，， 　　∵G是CD的中点， 　　∴， 　　在Rt△ACG中，∠ACG＝90° 　　． 　　答：B． 第 10 题　提升层 【解答】 A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 　　如图，AC、AD、AE分别是直径为AB的⊙O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边，AC＝2，连接CO，DO，EO，则AO＝CO＝DO＝EO， 　　∴∠AOC＝360÷6＝60°，∠AOD＝360÷4＝90°，∠AOE＝360÷3＝120°． 　　∴△AOC是等边三角形，△AOD是等腰直角三角形，△AOE是等腰三角形且∠OAE＝∠OEA＝30°， 　　∴AC＝AO＝BO＝2， 　　∴AB＝4， 　　故结论①正确； 　　∵AO＝DO＝2，△AOD是等腰直角三角形， 　　由勾股定理得：． 　　故结论②正确； 　　∵AO＝EO＝2，△AOE是等腰三角形且∠OAE＝∠OEA＝30°， 　　∴， 　　∴AE≠2AC． 　　故结论③不正确； 　　∵∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°， 　　∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°， 　　∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝30°， 　　∴． 　　故结论④正确， 　　综上所述，正确结论的序号为①②④． 　　答：B．①②④ 第 11 题　提升层 【解答】 【甲卷】 题干：如图，在一根半径为12cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2cm，则这个正三角形边长最大为 ___ cm． 如图所示：设正△ABC的中心为O，作OD⊥AB于D，连接OA， ∵△ABC是等边三角形，OD⊥AB，设这个正三角形边长为a， ∴，， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∵在一根半径为12cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2cm， ∴OA≤12﹣2＝10（cm）， 即， ∴， 答： 【乙卷】 题干：如图，在一根半径为15cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于3cm，则这个正三角形边长最大为　 　 cm． 如图所示：设正△ABC的中心为O，作OD⊥AB于D，连接OA， ∵△ABC是等边三角形，OD⊥AB，设这个正三角形边长为a， ∴，， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∵在一根半径为15cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于3cm， ∴OA≤15﹣3＝12（cm）， 即， ∴． 答：12 第 12 题　提升层 【解答】 题干：中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ___ ） 【甲卷】 选项：A．15m B．20m C．25m D．30m 地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形， ∵，OA＝OB＝5m， ∴△AOB等边三角形， ∴AB＝OA＝5m， ∴这个正六边形地基的周长为6×5＝30（m）， 答：D．30m 【乙卷】 选项：A．30m B．15m C．20m D．25m 地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形， ∵，OA＝OB＝5m， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝5m， ∴这个正六边形地基的周长为6×5＝30（m）． 答：A．30m 第 13 题　提升层 【解答】 　　过F点作FH⊥AO于点H，连接OA，OF，如图： 　　∵六边形ABCDEF是正六边形， 　　∴， 　　∵OA＝3，OA＝OF， 　　∴AF＝OA＝3，△AOF是等边三角形， 　　∴， 　　∴， 　　∴等边△AOF的面积为：， 　　∴正六边形ABCDEF的面积为：， 　　答： 第 14 题　提升层 【解答】 　　【解答】（1）解：由题意可知AC为⊙O的切线， 　　则∠OEC＝90°， 　　∵∠C＝30°， 　　∴OE＝tan30°•EC2， 　　故答案为：2； 　　（2）证明：∵∠OEC＝∠A＝90°， 　　∴AD∥OE， 　　又∵AD＝OE， 　　∴四边形ADOE为平行四边形， 　　∴∠BDO＝∠A＝90°， 　　又∵点D为半径OD的外端， 　　∴AB为⊙O的切线； 　　（3）解：∵∠C＝30°，∠OEC＝90°， 　　∴∠EOC＝60°，∠B＝60°， 　　∵AD∥OE， 　　∴OD∥AE，即OD∥AC， 　　∴∠DOF＝∠ACB＝30°， 　　∴BD＝tan30°•DO． 　　∴＝﹣DO•BD， 　　＝﹣， 　　故两阴影部分面积的和为+． 　　答：两阴影部分面积的和为． 第 15 题　提升层 【解答】 　　（1）如图，连接OA，OF， 　　∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， 　　∴． 　　∴； 　　（2）连接PO，EO，DO， 　　由题意可得：． 　　∵点P为的中点， 　　∴， 　　∴n＝360÷30＝12． 　　答：n＝12． 第 16 题　提升层 【解答】 　　连接OB，OC，OD， 　　∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边， 　　∴∠BOC360°＝120°，∠BOD360°＝30°， 　　∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°， 　　∵OC＝OD， 　　∴∠OCD＝45°， 　　∴OC＝CD•cos45°＝55（cm）． 　　即⊙O的半径R＝5cm． 第 17 题　拓展层 【解答】 　　（1）证明：∵点C是弧AF的中点， 　　∴ 　　∴∠AOC＝∠COF． 　　∵∠AOC＝∠BON，∠COF＝∠DOM， 　　∴∠BON＝∠DOM． 　　∵OB＝OD，OM＝ON， 　　∴△BON≌△DOM（SAS）． 　　（2）证明：连接AF交OC于点H．如图， 　　∵OA＝OF， 　　∴∠OAF＝∠AFO，且∠BOF＝2∠AFO， 　　∵∠BOF＝2∠G， 　　∴∠G＝∠AFO， 　　∴AF∥CG． 　　∵点C是弧AF的中点， 　　∴半径OC⊥AF， 　　∴半径OC⊥CG， 　　∴CG是⊙O的切线； 　　（3）解：设⊙O的半径为r． 　　∵四边形ONBF是平行四边形， 　　∴BF＝ON＝2，BN＝OF＝r． 　　∵△BON≌△DOM， 　　∴DM＝BN＝r． 　　∵点C是的中点， 　　∴点H是AF的中点． 　　∵点O是AB的中点， 　　∴， 　　∴DH＝r+1． 　　∵AM＝2， 　　∴AD＝r+2． 　　∵＝﹣＝﹣， 　　∴（r+2﹣（r+1＝﹣， 　　整理得﹣2r﹣4＝0， 　　解得或（舍去）． 　　∴⊙O的半径为． 第 18 题　拓展层 【解答】 　　证明：（1）如图，连接OC，OD， 　　∵AC＝AD， 　　∴A在CD的垂直平分线上， 　　∵OC＝OD， 　　∴O在CD的垂直平分线上， 　　∵两点确定一条直线， 　　∴AO是CD的垂直平分线， 　　∴AB⊥CD； 　　（2）如图，连接BD， 　　∵DG⊥AC，AB⊥CD， 　　∴∠AGD＝∠AED＝90°， 　　∴∠CAE＝90°﹣∠ACD＝∠GDC， 　　∵∠CAE与∠CDB都是弧BC所对的圆周角， 　　∴∠CAE＝∠CDB， 　　∴∠GDC＝∠CDB，即CD平分∠FDB， 　　∵∠GDC+∠DFB＝90°，∠CDB+∠DBF＝90°， 　　∴∠DFB＝∠DBF， 　　∴DF＝DB， 　　∵CD平分∠FDB， 　　∴EF＝BE； 　　（3）解：如图，连接OC， 　　设∠CAB＝x， 　　∵DG⊥AC， 　　∴∠AGF＝90°， 　　∴∠AFH＝90°﹣x， 　　∵∠HPF+2∠CAB＝90°， 　　∴∠HPF＝90°﹣2x， 　　∴∠H＝180°﹣∠HPF﹣∠AFH＝3x， 　　∴∠QAD＝∠H＝3x， 　　连接AD， 　　∵AC＝AD，AB⊥CD， 　　∴∠DAB＝∠CAB＝x， 　　∴∠QAB＝∠QAD+∠DAB＝4x， 　　延长QA至T，使AT＝AB，连接TB， 　　∴∠T＝∠ABT＝2x， 　　∵AB为圆O直径， 　　∴∠AQB＝90°， 　　在Rt△AQB中， 　　设AO＝r，则QB，TQ＝2r， 　　∴， 　　在Rt△OCE中，CE＝DE＝3，，∠COE＝∠COB＝2x， 　　∴， 　　∴， 　　∴5﹣7r﹣90＝0， 　　解得r或5， 　　∵r＞0， 　　∴r＝5， 　　即圆O的半径为5． 　　答：⊙O的半径为5． 第 19 题　拓展层 【解答】 　　（1）证明：∵∠ACB＝45°， 　　∴∠ADB＝∠ACB＝45°， 　　∵∠ABD＝45°， 　　∴∠ADB+∠ABD＝90°， 　　∴∠BAD＝90°， 　　∴BD是△ABD的外接圆的直径； 　　（2）证明：作AE⊥AC，交CD的延长线于E， 　　∵∠ACD＝∠ABD＝45°， 　　∴△ACE是等腰直角三角形， 　　∴AC＝AE，∠CAE＝90°，CEAC， 　　∵△ABD是等腰直角三角形， 　　∴AB＝AD，∠BAD＝90°， 　　∴∠BAC＝∠DAE， 　　∴△BAC≌△DAE（SAS）， 　　∴DE＝BC， 　　∴CD+BCAC； 　　（3）解：2+＝，理由如下： 　　延长MB交⊙O于F，连接AF，DF， 　　∵∠ACB＝∠AFB＝∠AMB＝45°， 　　∴∠MAF＝90°，AM＝AF， 　　∴+＝2＝， 　　∵AM＝AC， 　　∴AF＝AC， 　　∴， 　　∵， 　　∴， 　　∴， 　　∴DF＝BC＝BM， 　　∵BD为直径， 　　∴∠BFD＝90°， 　　在Rt△MFD中，有+＝， 　　∴2+＝． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 3.6 正多边形与圆　同步作业 九年级上 3.6 正多边形与圆　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 1–4 题型二　确定正多边形的边数（中心角·外角） 5 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 6 题型四　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 7 题型五　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 8 提升练习 · 分层题型目录 题型一　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 9–11 题型二　正多边形与圆中求周长（边长·弧长公式） 12 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 13–14 题型四　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 15 题型五　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 16 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 17 题型二　正多边形与圆中的证明（全等·相似） 18–19 基础练习 题型一　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 1．【来源：2026•福山区一模】如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（ ___ ） A．25° B．36° C．35° D．40° 2．【来源：2026•文昌二模】如图，⊙O为正五边形的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点F，则∠F的度数为（ ___ ） A．60° B．54° C．66° D．72° 3．【来源：2026•云浮二模】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（ ___ ） A．30° B．40° C．45° D．60° 4．【来源：2026•杨浦区二模】正八边形的中心角等于 ___ 度． 题型二　确定正多边形的边数（中心角·外角） 5．【来源：2026•启东市模拟】如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（ ___ ） A．16 B．12 C．8 D．6 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 6．【来源：2025•新余校级期末】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似地估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为2，则S﹣＝ ___ ． 题型四　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 7．【来源：2026•阳谷县三模】一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为 ___ mm． 题型五　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 8．【来源：2026•红寺堡区二模】如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为 ___ ． 提升练习 题型一　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 9．【来源：2026•绵阳一模】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，则AG的长度为（ ___ ）cm． A． B． C． D． 10．【来源：2025•安新县期末】如图，AC、AD、AE分别是直径为AB的⊙O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AC＝2，给出下面四个结论：①AB＝4；②；③AE＝2AC；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ___ ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．【来源：2025•四平一模】如图，在一根半径为15cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于3cm，则这个正三角形边长最大为　 　 cm． 题型二　正多边形与圆中求周长（边长·弧长公式） 12．【来源：2025•和田地区期末】中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ___ ） A．30m B．15m C．20m D．25m 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 13．【来源：2024•和平区期末】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的面积为 ___ ． 14．【来源：2025•进贤县校级期中】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，O是边BC上一点，以点O为圆心的半圆与边AC相切于点E，与边AB，BC分别交于点D，F，G，连接OD，OE．已知AE＝2，，AD＝OE．（1）⊙O的半径为 ___ ．（2）求证：AB是⊙O的切线．（3）求图中两阴影部分面积的和． 题型四　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 15．【来源：2025•武威校级期末】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为上一点，连接AP，FP．（1）求∠APF的度数；（2）当点P为的中点时，PE是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 题型五　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 16．【来源：2025•工业园区校级期中】如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R． 拓展练习 题型一　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 17．【来源：2026•泸县校级一模】如图，AB，CD，EF均为⊙O的直径，点C是弧AF的中点，点N在OD上，且四边形ONBF是平行四边形，OM＝ON＝AM＝2．（1）求证：△BON≌△DOM；（2）若点G在EF的延长线上，且∠BOF＝2∠G，证明：CG是⊙O的切线；（3）求⊙O的半径． 题型二　正多边形与圆中的证明（全等·相似） 18．【来源：2026•中山市校级模拟】已知AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连接AC、AD，AC＝AD．（1）如图，求证：AB⊥CD；（2）如图，过点D作DG⊥AC于点G，DG交AB于点F，求证：EF＝BE；（3）如图，在（2）的条件下，延长DG交⊙O于点H，Q为弧AD上一点，连接AQ、HQ，HQ交AB于点P，若AQ，DE＝3，∠HPB+2∠CAB＝90°，求圆O半径． 19．【来源：2026•越秀区校级期中】如图，点C为△ABD ___ 外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°．（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC＝BC+CD；（3）若△ABC ___ 关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 3.6 正多边形与圆　同步作业 九年级上 3.6 正多边形与圆　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 1–4 题型二　确定正多边形的边数（中心角·外角） 5 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 6 题型四　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 7 题型五　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 8 提升练习 · 分层题型目录 题型一　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 9–11 题型二　正多边形与圆中求周长（边长·弧长公式） 12 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 13–14 题型四　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 15 题型五　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 16 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 17 题型二　正多边形与圆中的证明（全等·相似） 18–19 基础练习 题型一　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 1．【来源：2026•福山区一模】如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（ ___ ） A．25° B．36° C．35° D．40° 2．【来源：2026•文昌二模】如图，⊙O为正五边形的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点F，则∠F的度数为（ ___ ） A．60° B．54° C．66° D．72° 3．【来源：2026•云浮二模】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（ ___ ） A．30° B．40° C．45° D．60° 4．【来源：2026•杨浦区二模】正八边形的中心角等于 ___ 度． 题型二　确定正多边形的边数（中心角·外角） 5．【来源：2026•启东市模拟】如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（ ___ ） A．16 B．12 C．8 D．6 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 6．【来源：2025•新余校级期末】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似地估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为2，则S﹣＝ ___ ． 题型四　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 7．【来源：2026•阳谷县三模】一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为 ___ mm． 题型五　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 8．【来源：2026•红寺堡区二模】如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为 ___ ． 提升练习 题型一　正多边形与圆中求线段长度（垂径定理·弦心距） 9．【来源：2026•绵阳一模】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm，若G为CD的中点，连接AG，则AG的长度为（ ___ ）cm． A． B． C． D． 10．【来源：2025•安新县期末】如图，AC、AD、AE分别是直径为AB的⊙O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AC＝2，给出下面四个结论：①AB＝4；②；③AE＝2AC；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ___ ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．【来源：2025•四平一模】如图，在一根半径为12cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2cm，则这个正三角形边长最大为 ___ cm． 题型二　正多边形与圆中求周长（边长·弧长公式） 12．【来源：2025•和田地区期末】中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ___ ） A．15m B．20m C．25m D．30m 题型三　正多边形与圆中求面积（割补·容斥） 13．【来源：2024•和平区期末】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的面积为 ___ ． 14．【来源：2025•进贤县校级期中】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，O是边BC上一点，以点O为圆心的半圆与边AC相切于点E，与边AB，BC分别交于点D，F，G，连接OD，OE．已知AE＝2，，AD＝OE．（1）⊙O的半径为 ___ ．（2）求证：AB是⊙O的切线．（3）求图中两阴影部分面积的和． 题型四　正多边形与圆中求角度（圆周角·弦切角） 15．【来源：2025•武威校级期末】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为上一点，连接AP，FP．（1）求∠APF的度数；（2）当点P为的中点时，PE是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 题型五　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 16．【来源：2025•工业园区校级期中】如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R． 拓展练习 题型一　正多边形与圆中求半径（勾股·方程法） 17．【来源：2026•泸县校级一模】如图，AB，CD，EF均为⊙O的直径，点C是弧AF的中点，点N在OD上，且四边形ONBF是平行四边形，OM＝ON＝AM＝2．（1）求证：△BON≌△DOM；（2）若点G在EF的延长线上，且∠BOF＝2∠G，证明：CG是⊙O的切线；（3）求⊙O的半径． 题型二　正多边形与圆中的证明（全等·相似） 18．【来源：2026•中山市校级模拟】已知AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连接AC、AD，AC＝AD．（1）如图，求证：AB⊥CD；（2）如图，过点D作DG⊥AC于点G，DG交AB于点F，求证：EF＝BE；（3）如图，在（2）的条件下，延长DG交⊙O于点H，Q为弧AD上一点，连接AQ、HQ，HQ交AB于点P，若AQ，DE＝3，∠HPB+2∠CAB＝90°，求圆O半径． 19．【来源：2026•越秀区校级期中】如图，点C为△ABD ___ 外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°．（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC＝BC+CD；（3）若△ABC ___ 关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $