专题07 扇形（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题07 扇形 1.理解扇形定义；熟记弧长公式；扇形面积公式。 2.理解圆锥母线概念；掌握圆锥侧面积、全面积计算方法。 3.掌握核心对应关系：圆锥底面圆周长 = 侧面展开扇形的弧长。 4.经历公式推导，体会从特殊到一般；通过圆锥（立体）转化为扇形（平面），体会立体转平面的转化思想。 5.感受扇形、圆锥在生活物品中的应用，提升数学应用意识。 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）。 扇形的弧长和面积公式：已知扇形的半径为R，圆心角为n°， 则扇形的弧长公式为：；扇形的面积公式为：； 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线； 圆锥侧面积公式：（r底面半径，l母线长）； 圆锥全面积公式：（r底面半径，l母线长）； 圆锥问题解题策略： 核心等量关系：圆锥的底面周长=扇形的弧长，圆锥母线 = 侧面展开扇形的半径。 题型01 求扇形的弧长 【典例】（2026·湖南益阳·二模）如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为___．（结果保留） 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南平顶山·一模）某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 题型02 求扇形的面积 【典例】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是______．（结果保留） 【变式1】（25-26九年级·江苏·专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______． 【变式2】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在三角形铁丝框中，． 现将其变形为以B为圆心，长为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），若圆心角，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山西晋中·一模）如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 题型03 求扇形的半径 【典例】（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【变式1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 题型04 求扇形的圆心角 【典例】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角为_________度． 题型05 求旋转扫过的面积与弧形运动路径长度 【典例】 （25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，边长为的正三角形放置在矩形内，其中，，且边在边上，若正三角形在矩形内沿各边翻转一周后回到原来起始的位置，则顶点在翻转过程中所走的路径总长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西晋中·一模）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，经过的路径分别是、．若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到．(1)画出；(2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 题型06 求不规则图形的面积 【典例】 （2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山西阳泉·一模）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·四川成都·二模）如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______．    题型07 求圆锥侧面积或表面积 【典例】（2026·四川绵阳·二模）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为___________． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知圆锥底面圆的半径为5，母线长为8，则其侧面展开图的面积为___________． 【变式3】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）已知圆心角为180°的扇形的半径为5，则用其围成的圆锥的全面积为________． 题型08 求圆锥的底面半径 【典例】（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是________． 【变式3】（2026·云南昭通·一模）妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 【变式4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 题型09 求圆锥的高或母线 【典例】（2026·山东东营·一模）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·广东广州·期中）把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 【变式3】（25-26九年级上·天津和平·期末）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 题型10 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】（2026·广东广州·一模）已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·天津西青·月考）一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知圆锥的母线长为，底面半径长为，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 题型11 圆锥的实际问题 【典例】（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【变式1】（2026·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．    【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算）；(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·专题练习）已知时钟的分针长10cm，初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为___________． 题型12 圆锥侧面上最短路径问题 【典例】（25-26九年级下·广东东莞·月考）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【巩固训练】 1．（2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·一模）“湾区之光”摩天轮位于深圳欢乐港湾内，是国内首个全景回转式进口轿厢摩天轮．其示意图如图所示，“湾区之光”总高米（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为米，匀速旋转一圈时间是分钟．某轿厢从点出发顺时针旋转，7分钟后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长度为（   ）米（结果保留） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃平凉·一模）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面周长为_____． 7．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是________． 8．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为__________． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为________． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 11．（2025·云南昆明·三模）云南西双版纳的傣族传统手工艺人常用竹蔑编织圆锥形帽子．某工匠制作了一顶帽子，测得帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长（从帽顶到帽檐边缘的直线距离）为25厘米．则这顶帽子侧面的竹蔑材料表面积是______平方厘米（结果保留）． 12．（2025·贵州铜仁·三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为______（结果保留）． 13．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长；(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 14．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．(1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为_____． 【强化训练】 1.（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，等腰直角中，，分别以为圆心，为半径作圆弧交于点、点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 8．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）． 9．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为______． 11．（25-26九年级下·北京·月考）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知分别与所在圆相切于点A，B，点N是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．有以下结论：①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；②；③点P到的距离为；④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．其中所有正确结论的序号是________． 12．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是______m． 13．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 扇形 1.理解扇形定义；熟记弧长公式；扇形面积公式。 2.理解圆锥母线概念；掌握圆锥侧面积、全面积计算方法。 3.掌握核心对应关系：圆锥底面圆周长 = 侧面展开扇形的弧长。 4.经历公式推导，体会从特殊到一般；通过圆锥（立体）转化为扇形（平面），体会立体转平面的转化思想。 5.感受扇形、圆锥在生活物品中的应用，提升数学应用意识。 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）。 扇形的弧长和面积公式：已知扇形的半径为R，圆心角为n°， 则扇形的弧长公式为：；扇形的面积公式为：； 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线； 圆锥侧面积公式：（r底面半径，l母线长）； 圆锥全面积公式：（r底面半径，l母线长）； 圆锥问题解题策略： 核心等量关系：圆锥的底面周长=扇形的弧长，圆锥母线 = 侧面展开扇形的半径。 题型01 求扇形的弧长 【典例】（2026·湖南益阳·二模）如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为___．（结果保留） 【答案】米 【详解】解：由题意可知，旋转木马旋转一周的时间为240秒，对应的圆心角为， 秒旋转的圆心角度数为，根据弧长公式，其中，， 该木马旋转的路径长为（米）． 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设扇形的圆心角为．根据题意，得： ，解得，即圆心角． ∵、分别为、的中点，∴， ∴的长为．故选：B． 【变式2】（2026·河南平顶山·一模）某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴，∴该轿厢所经过的路径长度为：． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 【答案】/ 【详解】解：连接，如图：∵与半圆相切，∴， ∵，，∴，，∴的长度． 题型02 求扇形的面积 【典例】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是______．（结果保留） 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ．∴扇形面积；故答案为： 【变式1】（25-26九年级·江苏·专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______． 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为 cm，由弧长公式 得：， 化简得 ，解得 ， 再根据扇形面积公式 得：，故答案为：． 【变式2】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在三角形铁丝框中，． 现将其变形为以B为圆心，长为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），若圆心角，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆心角，，扇形的面积为． 【变式3】（2026·山西晋中·一模）如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 题型03 求扇形的半径 【典例】（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【详解】解：设该扇形的半径为. 由题意得：；解得． 【变式1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设的半径为，∵，，， 代入公式得，解得，即的半径为． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为，根据题意，得，则 解得或（不符合题意，舍去），扇形的半径是． 题型04 求扇形的圆心角 【典例】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心．连接，， 在与中，，，， ，，，即所对的圆心角的大小是． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ∵扇形半径，弧长，∴，解得，∴此扇形的圆心角为． 【变式2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）半径为2的扇形，弧长为，则该扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为半径） 当，时，则，解得，即该扇形的圆心角为．故选：D． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角为_________度． 【答案】108 【详解】解：设此扇形的圆心角为n度，半径为r， 一个扇形的弧长是，面积是，∴，解得， 将代入弧长公式得，解得． 题型05 求旋转扫过的面积与弧形运动路径长度 【典例】 （25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵，∴，∵，∴， ∴，由旋转的性质得：，， ∵，∴为等边三角形，∴，，即旋转角为， ∴，∴点走过的路径长为．故选：A． 【变式1】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，边长为的正三角形放置在矩形内，其中，，且边在边上，若正三角形在矩形内沿各边翻转一周后回到原来起始的位置，则顶点在翻转过程中所走的路径总长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：正三角形旋转圈，圆心角为个和个，半径为的弧， ∴，则顶点在翻转过程中所走的路径总长度为． 【变式2】（2026·山西晋中·一模）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，经过的路径分别是、．若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，，∴， ∵旋转，∴，， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出；(2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，     线段在旋转过程中扫过的图形面积为． 题型06 求不规则图形的面积 【典例】 （2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示： ∵，，，∴，，∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即∴是等边三角形∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是故选：C． 【变式2】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，，∴四边形是菱形，，∴， ∵，，∴是等边三角形， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，即，∴， ∴，∴． 【变式3】（2026·山西阳泉·一模）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，，∴，，， ∴，，∴，∴， ∴，，，， ∴． 【变式4】（2026·四川成都·二模）如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______．    【答案】 【详解】解：设 交半圆 于，连接 、， 是等边三角形，边长为 ，，， ， ，，是等边三角形，， 同理 是等边三角形，，， 扇形 的面积 ，过点作于点， ，， 的面积 ，同理求得的面积为 重叠部分面积 的面积扇形的面积的面积．    题型07 求圆锥侧面积或表面积 【典例】（2026·四川绵阳·二模）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，高为， ∴圆锥的底面半径，∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积， ∴圆锥的表面积． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，，连接交于点， 由切线的性质可得：，由垂径定理可得：，， 由题意可得：，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴此“不倒翁”上方圆锥的表面积为，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知圆锥底面圆的半径为5，母线长为8，则其侧面展开图的面积为___________． 【答案】 【详解】解：圆锥底面圆的半径，母线长，底面周长为：， 侧面展开图的面积．故答案为：． 【变式3】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）已知圆心角为180°的扇形的半径为5，则用其围成的圆锥的全面积为________． 【答案】 【详解】解：根据弧长公式，其中圆心角，扇形半径，可得扇形弧长：， 设圆锥底面圆半径为，由扇形围成圆锥时，扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：，解得. 根据扇形面积公式，可得圆锥侧面积：. 根据圆的面积公式，可得圆锥底面积：. 圆锥全面积为侧面积与底面积之和：. 题型08 求圆锥的底面半径 【典例】（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：六边形是正六边形，， 则弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则，∴，圆锥底面半径为． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为，∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长， ∴，化简得，解得，∴该圆锥的底面圆的半径为，故选B． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是________． 【答案】 【详解】解：圆锥的母线长是，侧面积是， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：， 圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，． 【变式3】（2026·云南昭通·一模）妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 【答案】5 【详解】解：设圆锥的底面半径为，根据弧长公式，可得扇形弧长为：， 由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：，解得． 【变式4】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 【答案】9π 【详解】解：设底面半径为R，则，∴，∴圆锥的底面积为．故答案为：． 题型09 求圆锥的高或母线 【典例】（2026·山东东营·一模）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为，∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥的母线长为，由题意得，，解得，故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·广东广州·期中）把半径为4的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵原半圆的半径为，即圆锥母线长，∴半圆的弧长为， 设圆锥底面圆半径为，∵圆锥底面周长等于侧面展开半圆的弧长，∴，解得， ∵圆锥的高，底面半径，母线长构成直角三角形，满足勾股定理，∴． 【变式3】（25-26九年级上·天津和平·期末）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 【答案】10 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面直径为6，则底面半径，底面周长， 侧面展开图的圆心角为，则扇形弧长， 由，得，解得．故答案为：10． 题型10 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】（2026·广东广州·一模）已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，已知圆锥底面半径，母线长， ∴圆锥底面周长为，根据扇形弧长公式可得方程：，解得：， ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角是． 【变式1】（25-26九年级上·天津西青·月考）一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥底面半径为，则母线长， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.∴，将代入得：，故选：B. 【变式2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知圆锥的母线长为，底面半径长为，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该圆锥的侧面展开得到的扇形的圆心角为，由题意得，，解得， ∴该圆锥的侧面展开得到的扇形的圆心角为，故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 【答案】144 【详解】解：设这张扇形纸板的圆心角应为n度，由题意得，，解得， ∴这张扇形纸板的圆心角应为144度，故答案为：144． 题型11 圆锥的实际问题 【典例】（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析(2) 【详解】（1）解：能；理由如下：设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为，∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 【变式1】（2026·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．    【答案】22 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴，∴米堆的体积为：，∴米堆的斛数为：；故答案为：22． 【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算）；(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9(2)至少需要平方米的涤纶布 【详解】（1）解：∵底面直径为，∴半径， ∴底面积为， （人），∴该帐篷估计最多可住9人，故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径，根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为∴底面积为， ，答：至少需要平方米的涤纶布． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·专题练习）已知时钟的分针长10cm，初始时刻为14：00整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为___________． 【答案】 【详解】解：设分针走过的角度为，由题意可知，，解得， ∵分针1分钟转动，∴，所以分针走了10分钟，即．故答案为：． 题型12 圆锥侧面上最短路径问题 【典例】（25-26九年级下·广东东莞·月考）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，过B作于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，，则， ∵，，∴，由，可求得， ∴，，即这根绳子的最短长度是． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，∴，∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为，则， ∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示， ∴， ∵为母线的中点，∴，∴， ∴在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是：．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵底面圆半径为2，底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：，解得：，如图，∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为，， ∴，故最短路径长是．故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：， 又∵．，解得：．∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下：根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点，由（1）知 ∴∴它所走的最短路线长是．故答案为： 【巩固训练】 1．（2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得，∴∴， ∴这个几何体的体积为． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆，∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得，即这个圆锥的高为，故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设所对圆心角的度数为n， 由题意，得，解得，故选：B． 4．（2026·广东深圳·一模）“湾区之光”摩天轮位于深圳欢乐港湾内，是国内首个全景回转式进口轿厢摩天轮．其示意图如图所示，“湾区之光”总高米（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为米，匀速旋转一圈时间是分钟．某轿厢从点出发顺时针旋转，7分钟后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长度为（   ）米（结果保留） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵“湾区之光”总高米，圆心O到的距离为米，∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时分钟，轿厢从点A出发，分钟后到达点B， ∴，∴该轿厢所经过的路径长度为：米． 5．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作于点C，则， ∵圆心O到的距离为，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴胶皮的面积．故选：C． 6．（2026·甘肃平凉·一模）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面周长为_____． 【答案】 【详解】解：过O作于点E， ∵，，∴ ∴，∴，∴圆锥的底面圆的周长为． 7．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是________． 【答案】 【详解】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为，故圆锥的底面圆的半径为， 所以圆锥的高为：，该圆锥的体积是：． 8．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为__________． 【答案】 【详解】解：设圆锥侧面展开图的半径为R，圆锥底面圆的半径为r，由题意得：，， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，， ∴底面圆的半径为，． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】1 【详解】解：由圆锥侧面积公式得：，解得：．故答案为：1． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 【答案】180 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为．圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，根据弧长公式可得解得． 11．（2025·云南昆明·三模）云南西双版纳的傣族传统手工艺人常用竹蔑编织圆锥形帽子．某工匠制作了一顶帽子，测得帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长（从帽顶到帽檐边缘的直线距离）为25厘米．则这顶帽子侧面的竹蔑材料表面积是______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【详解】解：由题知，因为帽檐底面圆的半径为20厘米，帽子的母线长为25厘米， 所以这顶帽子侧面的竹篾材料表面积是：（平方厘米）．故答案为：． 12．（2025·贵州铜仁·三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为______（结果保留）． 【答案】平方米 【详解】解：根据题意知：圆锥底面半径米，高米，由勾股定理米 ． 圆锥侧面积公式，代入，，得（平方米）；故答案为：平方米 13．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长；(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为，根据题意，可得，解得； （2）如图，结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴．故答案为：． 14．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为_____． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：根据题意得：旋转过程中边“扫过”的部分是扇形， 其中，，∴“扫过”的面积为． 【强化训练】 1.（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为，由题意得，，∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D，∴， ∴，∴，∴在展开图中，之间的距离为，故选：D． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，等腰直角中，，分别以为圆心，为半径作圆弧交于点、点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：等腰直角中，，， ∴，， 分别以、为圆心的两个扇形，圆心角均为，半径均为， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·山东·自主招生）如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：连接，，为等腰三角形， 为中点，， 即， 点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置，点P所经过的路径为， 连接，为 中点，为中点，，，， ，，即，故选：A ． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：设的长为，四边形为正方形，则，， ，， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ，解得，故选：C． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ，∴，过点作于点，． ．∴，， ，垂直，，． 故这条灯带的最短长度为，故选D． 6．（2026·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：大圆柱的底面周长为，大圆柱的底面半径， ，大圆柱的高， 又小圆柱的体积为，小圆柱的底面面积为，小圆柱的底面半径， 小圆柱中放了一个最大的圆锥，圆锥的母线长， 该圆锥的侧面积为，故选：A． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，根据题意，，， ，，，扇形的圆心角，半径， ，设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为．故答案为：． 8．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）． 【答案】 【详解】解：，，，由旋转的性质可得， 是等腰三角形，，， 点B所经过路径的长度． 9．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12π 【详解】解：根据题意可知，， ∴． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【详解】解：如图，连接，∵，∴是的直径， ∵的半径为，∴，由题意，， ∴，设圆锥的底面半径为，则，∴；故答案为：1． 11．（25-26九年级下·北京·月考）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知分别与所在圆相切于点A，B，点N是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．有以下结论：①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为；②；③点P到的距离为；④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【详解】解：如图所示，设圆心为点，在上取点，连接，设交于点， ∵分别与所在圆相切于点A，B，∴， 在四边形中，， ∵，∴，故①正确； 在中，，∴，∴， ∴，，故②正确； 如图所示，设正方形的边与交于点，连接，∴， 在中，， ∴点P到的距离为，故③错误； 在中，，∴， ∴，∴， ∴以点为圆心的圆的周长为， 设不倒翁上面的圆锥形纸筒展开图的圆心角的度数为， ∴，即，解得，， ∴不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形，故④正确； 综上所述，正确的有①②④ ． 12．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是______m． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为， 则：，其中∴，如图所示：由题意可知，，且点P为的中点， 在中，，∴ (米)， 故小虫沿线段爬行，路程最短，最短的路程是米，故答案为：． 13．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析(2) 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积．∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $