专题：指数函数与对数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：指数函数与对数函数（分层作业）-2026-2027学年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•西城区校级月考）已知a＝3﹣0.2，b＝cos3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 2．（2026秋•观山湖区校级月考）若集合M＝{x∈Z|0≤x≤5}，P＝{x∈N|2x＜15}，则（　　） A．∅∈M B．M∩P＝M C．M∪P＝P D．P⊆M 3．（2026秋•南京校级作业）f（x）＝x2+（m﹣2）x+2m﹣1恰有一个零点在区间（0，1）内，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026秋•海淀区校级月考）一种声信号在岩层中传播，信号强度满足指数衰减，其中I0为初始信号强度，x为传播距离（单位：km），k＞0．信号传播5km后，强度降为原来的．当信号强度降为原来的时，接收器恰好不能识别，则最大可识别距离约为（　　） （参考数据：log23≈1.585） A．7.6km B．8.2km C．9.1km D．10.4km 5．（2025秋•闵行区校级期末）已知f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），则“存在实数x0，使得x0既是函数y＝f（x）的零点，又是函数y＝f（x）的驻点“是“函数y＝f（x）恰好有两个零点“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025秋•荔湾区校级期末）若函数有4个零点，则正数ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）7．（2026春•南阳期末）下列命题正确的有（　　） A．若，则x＝16 B．若a+a﹣1＝3，则 C． D．lg25+lg2lg50+（lg2）2＝2 （多选）8．（2026•涿州市校级一模）蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）．已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（　　） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从t＝5到t＝15，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从t＝a到t＝a+5，蜥蜴的体温下降15℃ （多选）9．（2025秋•宁夏校级期末）函数，若方程f（x）＝m有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是（　　） A．0≤m≤2 B．x1x2＝1 C．x3+x4＝16 D．x1x2x3x4∈（48，55） 三．填空题（共3小题） 10．（2026秋•鼓楼区校级月考）若二次函数y＝ax2+2x+1有两个零点，则实数a的取值范围是_________________ ． 11．（2026秋•合肥校级月考）若函数在[0，2]上的最大值为2，则实数a＝_____ ． 12．（2026秋•中卫校级月考）对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令f（x）＝x﹣[x]下列说法正确的有________ ． ①f（2023.24）＝0.24 ②当1≤x＜2时，f（x）＝x﹣1 ③f（x+1）＝f（x）+1 ④不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集为{x|2≤x＜4} 四．解答题（共6小题） 13．（2026•乾县校级模拟）已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 14．（2026春•上海校级月考）已知． （1）当a＝﹣2时，解关于x的不等式f（x）＜1； （2）若关于x的方程f（x）＝log2[（4﹣a）x+3]的解集中恰有一个元素，求a的取值范围． 15．（2026春•福建校级单元）已知函数f（x）＝x2e﹣x． （1）求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）若关于x的方程f（x）＝k有两个不相等的实数根，求实数k的值． 16．（2025秋•开州区校级同步）平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格s（t）（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式为：（k为常数且k＞0）．其销售量v（t）（单位：件）与时间t（单位：天）的部分数据如下表所示： t 10 15 20 25 30 v（t） 500 550 600 550 500 已知第10天的日销售收入为5050元． （1）给出如下四个函数模型：①v（t）＝at+b；②v（t）＝a|t﹣m|+b；③v（t）＝a•bt；④v（t）＝a•logbt．请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量v（t）与时间t的关系，并求出该函数解析式； （2）设该纪念品的销售收入为f（t）（单位：元），求f（t）的最小值． 17．（2026•南山区校级模拟）已知函数f（x）＝excosx，g（x）＝sinx+1． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在使得f（x）﹣ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）设方程f（x）＝g（x）在区间（n＝1，2，…，2025，2026）内的根从小到大依次为x1，x2，…，x2025，x2026，试比较x2026与x2025+2π的大小，并说明理由． 18．（2025秋•成都校级月考）已知函数f（x）是函数g（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数． （1）求函数f（x）的图象所过定点的坐标； （2）当a＝2时，h（x）＝g（x）+g（﹣x），F（x）＝f（h（x）） （i）直接指出h（x）函数的奇偶性和单调性（不证明），并解不等式； （ii）证明：方程在（0，1）有唯一实根x0，且． 专题：指数函数与对数函数（分层作业）-2026-2027学年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026秋•西城区校级月考）已知a＝3﹣0.2，b＝cos3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【解答】解：a＝3﹣0.2∈（0，1），b＝cos3＜0，c＝log23＞1， 则b＜a＜c． 故选：B． 2．（2026秋•观山湖区校级月考）若集合M＝{x∈Z|0≤x≤5}，P＝{x∈N|2x＜15}，则（　　） A．∅∈M B．M∩P＝M C．M∪P＝P D．P⊆M 【解答】解：由题意可知，集合M＝{x∈Z|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}， 因为y＝2x在R上是增函数且23＜15＜24， 所以P＝{x∈N|2x＜15}＝{0，1，2，3}， 对于A，∅是集合，不是M的元素，应为∅⊆M，故A错误； 对于B，M∩P＝P，故B错误； 对于C，M∪P＝M，故C错误； 对于D，P中的元素全部属于M，即P⊆M，故D正确． 故选：D． 3．（2026秋•南京校级作业）f（x）＝x2+（m﹣2）x+2m﹣1恰有一个零点在区间（0，1）内，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为函数f（x）＝x2+（m﹣2）x+2m﹣1恰有一个零点在区间（0，1）内， 则需要满足： ①f（0）•f（1）＜0，即（2m﹣1）（3m﹣2）＜0，解得：； ②函数f（x）刚好经过点（0，0）或者（1，0），另一个零点属于（0，1）， 把点（0，0）代入f（x）＝x2+（m﹣2）x+2m﹣1，得2m﹣1＝0，解得：， 此时方程为，两根为0，，而，不合题意，舍去； 把点（1，0）代入f（x）＝x2+（m﹣2）x+2m﹣1，得3m﹣2＝0，解得：， 此时方程为3x2﹣4x+1＝0，两根为1，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点， Δ＝（m﹣2）2﹣8m+4＝0，即m2﹣12m+8＝0，解得， 经检验，当时满足方程恰有一根在区间 （0，1）内； 综上：实数m的取值范围为． 故选：D． 4．（2026秋•海淀区校级月考）一种声信号在岩层中传播，信号强度满足指数衰减，其中I0为初始信号强度，x为传播距离（单位：km），k＞0．信号传播5km后，强度降为原来的．当信号强度降为原来的时，接收器恰好不能识别，则最大可识别距离约为（　　） （参考数据：log23≈1.585） A．7.6km B．8.2km C．9.1km D．10.4km 【解答】解：由题意可得，I0•2﹣5k，即2﹣5k， 则﹣5klg2＝lglg3， 所以klog23， 当信号强度降为原来的时，I0•2﹣kx， 则2﹣kx， 所以﹣kx＝﹣log26， 则x58.2． 故选：B． 5．（2025秋•闵行区校级期末）已知f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），则“存在实数x0，使得x0既是函数y＝f（x）的零点，又是函数y＝f（x）的驻点“是“函数y＝f（x）恰好有两个零点“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：设命题P为“存在实数x0，使得x0既是f（x）的零点又是驻点”（即f（x0）＝0且f′（x0）＝0），命题Q为“f（x）恰好有两个零点”． 若P成立，当f（x）＝x3时，f′（x）＝3x2， 则x0＝0，满足f（x0）＝0且f′（x0）＝0， 所以x0＝0既是f（x）的零点又是驻点，但是f（x）＝x3只有一个零点x0＝0，所以P⇏Q，充分性不成立， 若Q成立，即f（x）恰好有两个不同的实零点，则f（x）＝a（x﹣x1），其中x0，x1为函数的两个不同零点， 此时x0满足f（x0）＝0且f′（x0）＝0，故P成立，即Q⇒P，必要性成立， 所以P是Q成立的必要不充分条件． 故选：B． 6．（2025秋•荔湾区校级期末）若函数有4个零点，则正数ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：函数y＝lnx，y＝x在（0，+∞）上单调递增， 则函数g（x）＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增， 而，g（1）＝1＞0， 则，使得g（x0）＝0， 函数f（x）在（0，+∞）上有1个零点， 由函数f（x）有4个零点， 则函数在[﹣π，0]有3个零点， 由﹣π≤x≤0，ω＞0， 得， 则， 解得ω， 所以正数ω的取值范围是[，）． 故选：A． 二．多选题（共3小题） （多选）7．（2026春•南阳期末）下列命题正确的有（　　） A．若，则x＝16 B．若a+a﹣1＝3，则 C． D．lg25+lg2lg50+（lg2）2＝2 【解答】对于A，由，可得23，即，所以x＝24＝16，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，lg25+lg2•lg50+（lg2）2＝2lg5+lg2（lg50+lg2）＝2lg5+lg2•lg100＝2lg5+2lg2＝2（lg5+lg2）＝2lg10＝2，故D正确． 故选：AD． （多选）8．（2026•涿州市校级一模）蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）．已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（　　） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从t＝5到t＝15，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从t＝a到t＝a+5，蜥蜴的体温下降15℃ 【解答】解：因为太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃， 即，解得k＝15， 所以， 因为t≥0，所以， 所以太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃，故A正确； 因为函数在[0，+∞）上单调递减， ， 所以太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终不低于27℃，故B错误； ，T（5）﹣T（15）＝6， 所以从t＝5到t＝15，蜥蜴的体温下降了6℃，故C正确； 令T（a）﹣T（a+5）＝15， 即15， 化简得a2+15a+10＝0，该方程的两个根为负数， 所以不存在太阳落山后的a时刻， 使得从t＝a到t＝a+5，蜥蜴的体温下降15℃，D错误． 故选：AC． （多选）9．（2025秋•宁夏校级期末）函数，若方程f（x）＝m有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是（　　） A．0≤m≤2 B．x1x2＝1 C．x3+x4＝16 D．x1x2x3x4∈（48，55） 【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，log2x＜0， 则， 易得f（x）在（0，1）上单调递减，且f（x）＞f（1）＝0， 当1≤x＜4时，log2x≥0，则f（x）＝log2x， 易得f（x）在[1，4）上单调递增， 且f（1）≤f（x）＜f（4），即0≤f（x）＜2， 当4≤x≤14时，， 因为4≤x≤14， 所以x， 所以， 令，解得4≤x≤8， 所以f（x）在[4，8]上单调递减， 令，解得8≤x≤14， 所以f（x）在[8，14]上单调递增， 又，， ，， ， 作出f（x）的图象，如图所示： 因为方程f（x）＝m有四个不等的实根， 所以f（x）与y＝m的图象有四个交点， 所以0＜m＜2，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得﹣log2x1＝log2x2， 所以log2x1+log2x2＝log2x1x2＝0，则x1x2＝1，故B正确； 对于C，由正弦函数的性质结合图象可知（x3，m）与（x4，m）关于x＝8对称， 所以x3+x4＝8×2＝16，故C正确； 对于D，因为x1x2＝1，x3+x4＝16，由图可知4＜x3＜5，所以x4＝16﹣x3， 所以， 又y＝﹣（x﹣8）2+64在（4，5）上单调递增， 当x＝4时，y＝48，当x＝5时，y＝55， 因为4＜x3＜5，所以， 所以x1x2x3x4∈（48，55），故D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 10．（2026秋•鼓楼区校级月考）若二次函数y＝ax2+2x+1有两个零点，则实数a的取值范围是　（﹣∞，0）∪（0，1）　 ． 【解答】解：因为y＝ax2+2x+1是二次函数，所以a≠0， 那么ax2+2x+1＝0有两个不相等实数根，可得Δ＞0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4•a•1＝4﹣4a＞0， 解得a＜1． 综上：a∈（﹣∞，0）∪（0，1）． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）． 11．（2026秋•合肥校级月考）若函数在[0，2]上的最大值为2，则实数a＝　2　 ． 【解答】解：令g（x）＝x2﹣x+2， 根据二次函数性质可得，g（x）在[0，2]上的最大值g（x）max＝g（2）＝4， 最小值． 当a＞1时，f（x）max＝loga4＝2，解得a＝2． 当0＜a＜1时，，解得（舍去）． 综上，a＝2． 故答案为：2． 12．（2026秋•中卫校级月考）对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令f（x）＝x﹣[x]下列说法正确的有　①②④　 ． ①f（2023.24）＝0.24 ②当1≤x＜2时，f（x）＝x﹣1 ③f（x+1）＝f（x）+1 ④不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集为{x|2≤x＜4} 【解答】解：对于①，由题意可知f（2023.24）＝2023.24﹣[2023.24]＝2023.24﹣2023＝0.24，故①正确； 对于②，1≤x＜2时，[x]＝1，所以1≤x＜2时，f（x）＝x﹣[x]＝x﹣1，故②正确； 对于③，当x＝1.1时，f（x+1）＝f（2.1）＝2.1﹣2＝0.1，f（x）＝1.1﹣1＝0.1， 此时f（x+1）＝f（x），故③错误； 对于④，令t＝[x]， 则4[x]2﹣20[x]+21＜0化为4t2﹣20t+21＜0， 解得， 所以， 当[x]＝2时，2≤x＜3，当[x]＝3时，3≤x＜4， 所以2≤x＜4， 所以不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集为{x|2≤x＜4}，故④正确． 故答案为：①②④． 四．解答题（共6小题） 13．（2026•乾县校级模拟）已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），导函数， 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 当a＞0时，令f′（x）＝0，得到，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0， 此时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当a≤0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 当a＞0时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）令f（x）＝0，得到，即2xlnx﹣x＝﹣a， 令g（x）＝2xlnx﹣x（x＞0），那么导函数g′（x）＝2lnx+1，令g′（x）＝0，得到， 当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0， 因此g（x）＝2xlnx﹣x（x＞0）在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又x→+∞时，g（x）→+∞，x→0时，g（x）→0，且，g（x）的图象如图所示， 因为f（x）有两个零点，则g（x）＝2xlnx﹣x（x＞0）与y＝﹣a有两个交点， 因此，即， 因此a． 14．（2026春•上海校级月考）已知． （1）当a＝﹣2时，解关于x的不等式f（x）＜1； （2）若关于x的方程f（x）＝log2[（4﹣a）x+3]的解集中恰有一个元素，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝﹣2时，，不等式f（x）＜1等价于． 解，得；解，得x＜0或，取交集得，故不等式的解集为． （2）方程f（x）＝log2[（4﹣a）x+3]等价于且、（4﹣a）x+3＞0，整理得（4﹣a）x2+（3﹣a）x﹣1＝0（x≠0）． 当4﹣a＝0即a＝4时，方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，此时，（4﹣4）×（﹣1）+3＝3＞0，符合题意． 当4﹣a≠0即a≠4时，方程因式分解为[（4﹣a）x﹣1]（x+1）＝0，解得x＝﹣1或． 若，解得a＝5，此时x＝﹣1，，（4﹣5）×（﹣1）+3＝4＞0，符合题意． 若，当x＝﹣1不满足时，a≤1，此时满足，，故a≤1符合题意． 综上，a的取值范围为（﹣∞，1]∪{4}∪{5}． 15．（2026春•福建校级单元）已知函数f（x）＝x2e﹣x． （1）求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）若关于x的方程f（x）＝k有两个不相等的实数根，求实数k的值． 【解答】解：（1）由f（x）＝x2e﹣x可得，f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x， 则， 又， 故切线方程为，即． （2）令f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x＝0，解得x＝0或x＝2． 当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 故f（x）极小值为f（0）＝0，f（x）极大值为． 又x→﹣∞，f（x）→+∞，又x→+∞，f（x）→0， 故仅当时，方程f（x）＝k有两个不相等的实数根． 16．（2025秋•开州区校级同步）平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格s（t）（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式为：（k为常数且k＞0）．其销售量v（t）（单位：件）与时间t（单位：天）的部分数据如下表所示： t 10 15 20 25 30 v（t） 500 550 600 550 500 已知第10天的日销售收入为5050元． （1）给出如下四个函数模型：①v（t）＝at+b；②v（t）＝a|t﹣m|+b；③v（t）＝a•bt；④v（t）＝a•logbt．请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量v（t）与时间t的关系，并求出该函数解析式； （2）设该纪念品的销售收入为f（t）（单位：元），求f（t）的最小值． 【解答】解：（1）给出如下四个函数模型：①v（t）＝at+b；②v（t）＝a|t﹣m|+b；③v（t）＝a•bt；④v（t）＝a•logbt． 由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势， 而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的， 故选择②分段函数模型； 将点（15，550），（20，600），（25，550）代入②， 得，解得， 故函数解析式为v（t）＝﹣10|t﹣20|+600， 分别将t＝10和t＝30代入v（t）＝﹣10|t﹣20|+600， 解得v（10）＝500，v（30）＝500，与题中数据相符，因此该函数模型合理； （2）设该纪念品的销售收入为f（t）（单位：元）， 由（1）知， 又由题意知f（10）＝v（10）•s（10）＝5050， 即，解得k＝1， 所以， 故， 当1≤t≤20时，根据基本不等式可得： ； 当20＜t≤30时，，在（20，30]上单调递减， 所以； 综上所述，销售收入的最小值为4410元． 17．（2026•南山区校级模拟）已知函数f（x）＝excosx，g（x）＝sinx+1． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在使得f（x）﹣ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）设方程f（x）＝g（x）在区间（n＝1，2，…，2025，2026）内的根从小到大依次为x1，x2，…，x2025，x2026，试比较x2026与x2025+2π的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）f'（x）＝excosx+ex（﹣sinx）＝ex（cosx﹣sinx）， 当时，cosx＞sinx，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当时，cosx＜sinx，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 所以f（x）在上单调递增，在上单调递； （2）由题可知存在，使得excosx≥a（sinx+1）成立， 因为时，， 故存在，使得， 令，其中， ，且h（x）不恒为零， 故函数h（x）在上单调递减， 则， 故， 所以实数a的取值范围为（﹣∞，]； （3）x2026＞x2025+2π，理由如下： 由 f（x）＝g（x）， 可得excosx＝1+sinx， 令φ（x）＝excosx﹣sinx﹣1， 则φ'（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣cosx， 因为， 则sinx＞cosx＞0，所以φ'（x）＜0， 所以函数φ（x）在上单调递减， 因为， ， 所以存在唯一的，使得φ（x0）＝0， 所以，， 且， 所以φ（x2026﹣2π） cosx2026﹣sinx2026﹣1 φ（x2025）， 因为函数φ（x）在上单调递减， 故x2026﹣2π＞x2025， 即x2026＞x2025+2π． 18．（2025秋•成都校级月考）已知函数f（x）是函数g（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数． （1）求函数f（x）的图象所过定点的坐标； （2）当a＝2时，h（x）＝g（x）+g（﹣x），F（x）＝f（h（x）） （i）直接指出h（x）函数的奇偶性和单调性（不证明），并解不等式； （ii）证明：方程在（0，1）有唯一实根x0，且． 【解答】解：（1）根据题意可知f（x）＝logax， 因此f（x）的图象所过定点的坐标为（1，0） （2）（i）当a＝2时可得g（x）＝2x， 因此函数h（x）＝g（x）+g（﹣x）＝2x+2﹣x， 显然函数h（x）的定义域为R，且满足h（﹣x）＝2﹣x+2x＝h（x），因此h（x）为偶函数； 当x∈（0，+∞）时，可得2x∈（1，+∞），令t＝2x∈（1，+∞）， 因此，结合对勾函数性质可知h（x）在（0，+∞）上单调递增； 又由于函数h（x）为偶函数，因此h（x）在（﹣∞，0）上单调递减； 因此可知h（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减， 易知，因此等价为h（lnx）≥h（1）， 根据奇偶性和单调性可得|lnx|≥1，即lnx≥1或lnx≤﹣1， 解得x≥e或； 因此的解集为； （ii）证明：由F（x）＝f（h（x））可知， 因此即， 因此， 令函数， 根据复合函数单调性可知在（0，1）上单调递减， 又在x∈（0，1）时，此时单调递增； 显然在（0，1）上单调递减，且， 即G（0）G（1）＜0，根据单调性以及零点存在性定理可知函数G（x）在（0，1）上存在唯一零点； 即在（0，1）有唯一实根x0； 因此x0满足G（x0）＝0，即，所以； 可得，又因为x0∈（0，1），所以，， 因此，即； 因此． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $