专题：指数函数与对数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

（决战高考）专题：指数函数与对数函数-2027年高三数学复习题 一、选择题 1．已知函数且在上的值域为，则（　　） A．4 B．2 C． D． 2．已知函数，则（　　） A． B． C． D． 3．若、，且，则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数，若恒成立，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则（　　） A． B． C． D． 6．若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（　　） A． B．2 C． D．3 二、多项选择题 9．下列不等式正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则（　　） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 11．已知函数，则（　　） A．当时，是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．不存在整数，使得的最大值为2 D．当时，在上恰有个零点 三、填空题 12．已知函数是偶函数，则　 　． 13．已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是　 　． 14．已知，若存在实数，满足有且仅有三个不同的实数使得下列关于的方程在等于时均无解．则的取值范围是　 　． 四、解答题 15．已知函数． （1）若，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围． 16．已知函数（为常数，且）． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 17．已知函数是偶函数， （1）求的值． （2）令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 18．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 19．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. （1）已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. （2）已知函数有两个零点，记作，若，证明： 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A,B,D 10．【答案】A,B 11．【答案】A,C,D 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得， 令，解得，由，得，由，得， 则函数极小值点为，无极大值点； （2）解：函数，求导可得， 化简可得， 当时，易知，所以函数在上单调递减； 当时，令，解得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）解：由（2）易知当时，函数不存在两个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，令得， 易知函数在上单调递增，则得， 由，当时，， 所在函数在与分别存在一个零点， 故的取值范围为. 16．【答案】（1）解：当时，函数定义域为， 令，即，解得； 令，即，解得， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）解：因为，所以，得， 设，则， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以， 又，所以当时，；当时，，且， 由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值． 17．【答案】（1）解：是偶函数，， 则， ， ， ， ． （2）解：（ⅰ）由（1）可得． ， 令，则， ，， 在上单调递增， ， 的值域为． （ⅱ）令，则， 所以， 则不等式可化为， 所以对任意恒成立， 令， 因为的对称轴为，只需． 当时，恒成立， 当时，在单调递增， 则， 解得； 当时，在单调递减， 则， 解得， 综上所述，的取值范围是． 18．【答案】（1）解：由题意可知，， 若开始盈利，则， 所以， 解得， 因为， 所以，第二年开始盈利. （2）解：设年平均利润为， 则， 当且仅当时，即当时等号成立， 则当时，最终获利万元. 19．【答案】（1）（i）解：法一：由，且化简得，即， 令，可知在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，显然在上单调递减， 所以，即，故实数的取值范围为. 法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得， 故问题转化为恒成立. 又，则恒成立，即恒成立， 因为， 故令，显然在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围为； （ii）证明：要证，即证， 即证， 又， 由拉格朗日中值定理可知，存在， ， . 由题意知，当时，在上单调递增， 则，故， 即，所以命题得证. （2）证明：函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根. 令， 所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根， 所以，则，则由，得， 所以，则， 要证，即证， 又，令， 令， 又，所以，故在上单调递增， 所以， 所以，故在上单调递减，所以， 即， 即，所以不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $