03知识点18 对数式的运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点18对数式的运算 1.对数的定义与性质 如果a>0,a≠1，且N>0,则以a为底N的对数记为logaN,满足 dogN=N° 基本性质： ●loga1=0 。log。a=1 。零和负数没有对数（真数必须大于0） 2.对数运算性质 如果a>0,a≠1，且M>0,N>0,那么： ●积的对数：loga(MN)=log。M+log。N 商的对数：1ogN =l0g M-log N 。幂的对数：logoM"=n log M(n∈R) 3.换底公式与重要推论 ·换底公式：1bg.b=1bgb a>0,a≠1，c>0,c≠1，b>0) logca 。常用推论： o logb"=nloga b m 1-(b>0,b≠1) o logab=logpa 核心公式速记 公式类型 公式 说明 基本性质 loga1=0 1的对数为0 log a=1 底数的对数为1 log (MN)=l0g M+log N 运算性质 乘变加 1og 4)=logM-log。N N 除变减 log M"=nlogaM 幂指数变系数 aoB.N=N 恒等式 对数的逆运算 换底公式 logob= logcb 任意底转同底 logca 推论 108b"=Ilog,b 底和真数的指数 m logab= 1 ogpa 底真互换取倒数 实战演练 一、单选题 1.已知a=log45,b=log,6,c=log67,则() A.c>b>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 2.“3°=3”是“lga=lgb”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.lg 2+lg5=( A.0 C.1 D.2 4.设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，若f(x1:x2'x3…x2o=50,则 fX)+f(x)+f(x)++f(x的值为（) A.2500 B.50 C.100 D.log50 5.设a=log23,b=log49,c=l0g827,则() A.a=b=c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 6.设a=log263,b=0.25,c=logg2,则() A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 0且a≠1，b>0日b≠1，若2+1。=1，则a+4b的 是() A.2V3 B.43 c.8 D.16 8.已知3*=12,9=81 6’ 则x+y=() A.2 B.3 C.4 D.52 二、多选题 9.下列说法等式正确的有() A.Ig(1g10)=0 B.Ig(Ine)=0 c.若lgx=10,则x=10 D.若lnx=e,则x=e2 10.已知非零实数x,y满足2=3'，则下列各式中为定值的是() A.x+y B.xIn2-yln3 C. y D. y 11.已知c>1,a>0,b>0,下列等式恒成立的有() A.ca×ab=cb B. C.loge(a)=blog a D.logc ax logcb=logc(ab) 三、填空题 12.若a8x+x80=2a2(a>0,且a≠1，则x=。 131og23×l0g34×log48=—° 14.已知log[log.(log2x]=log[log2logy]=logz[Iog(log4z月=0，则= 四、解答题 15.(1)已知loga2=m,1oga3=n,求a2m+n的值； (2)已知10°=2,10°=3，求1002a-b的值。 16.尝试比较10g35与1og511的大小。 17.若2°=5=m,且+=4，求m. a b 18.求1og43log38的值。 19.比较下列三个数值的大小：1og32,10g43,1og54。 参考答案 一、单选题 1.答案：（D) 解析：由对数函数的性质可知，a=log45>log44=1,同理b>1,c>1, 因为2-eg-,6464-24f525-1所 a loga5 b<a 又因为c=o8s2=log67-log65< log67+log652_1og63521og6362 < =1,所以 b logs6 2 22 c<b' 因此，a>b>c. 2.答案：（B 解析：若3°=3°，由于指数函数y=3是R上的单调递增函数，因此可推出a=b: 当a=b≤0时，lga与lgb均无意义，无法推出lga=lgb,故充分性不成立： 若lga=lgb,根据对数函数的定义域要求，可得a>0,b>0, 再由对数函数y=lgx在(0，+oo)上单调递增，可推出a=b,因此3°=3°，故必要性 成立 3.答案：(B) 解析：g2+g5=g2x51=g10=910=号 4.答案：（C) 解析：已知f(x1X2…x20o9）=loga(x1x2…X20s=50。 &f(x好)+f(x)+..+fx3o9) =&loga xi+l0gax2+...+loga X2009 =&2logax1+2logax2+...+2loga X2009 =&21og.(x1X2…X209J=2×50=100 5.答案：（A) 解析：利用换底公式：b=1og49=1og,32=1og23=a,c=log27=log23=log23=a (a=b=c)° 6.答案：(B) 解析： a=lgs3262=26≥3→0<a<号*0.333 6=025- c=lg2:3c<2 大小关系：(b<a<c)。 7.答案：（B 1=log3a,log 解析：换底公式：1og。3 1=1og3b. 条件：log3a+log3b=1→log3ab)=1→ab=3,(a>0,b>0)。 基本不等式：a+4b≥2Va·4b=2√4ab=2V/12=4V3 当且仅当a=461,即b-q=2取等号。最小值45。 8.答案：（B) 解析： 3*=12 9y8g3- →3=9。 4 3x+y)=3*-3'=12×9=27=33 4 所以（x+y)=3。 二、多选题 9.答案：（A(B 解析： A:1g 10=1,lg(1g10)=1g1=0 B:Ine=1,lg(Ine)=1g1=0 C:lgx=10→x=1010≠10 D:lnx=e→x=e≠e2 10.答案：(B)(C) 解析：2=3'，两边取自然对数：xln2=yln3。 A:(x+y)不是定值 B:xln2-yln3=0,定值 2定值 C: x_In3 D:x不是定值。 11.答案：(B)(C) 解析： A:ca≠c”,底数不同 B:(cP=c,幂的乘方运算法则 C:logca°=blogca,对数幂运算法则 D:logca+logb=logc(ab),相乘不成立 三、填空题 12.答案：4 解析：恒等式dog2*=xgza 原式化为：2a3x=2a2→as2=a2。 a>0,a≠1' 故1og2x=2→x=4° 13.答案：3 解析：换底连锁约分 1og,3-lbg,4-1og48=g3.g4.g8=g8=1og,8=3 1g2 1g3 1g 4 1g2 14.答案：36 解析，从外向内逐层求解： 1.1og3[1og4(1og2x)]=0→log4(1og2x)=1→1og2x=4→x=16 2.log4[1og21og3y]=0→log21og3y)=1→log3y=2→y=9 3.log2[1og31og4z]=0→log3(1og4z)=1→log4z=3→z=64 z_9×64=36 x16 四、解答题 15.解： (1)己知log2=m→a"=2:1ogm3=n→a”=3。 a2m+m=a2m·a”=(am)2:a”=2×3=12 2）1024-=102Pa-0=10a-2b=10-2=16 (102329 16.解： 1og5=g5≈0690≈1.465 lg30.4771 1og11=lgL≈10414≈1.490 lg50.6990 所以：1og35<log511。 17.解：a=l0g2m,b=log5m. 换底推论： l8g.26-lo85 10gm2+1ogm5=4→10gm10=4→m4=10 (m>0)'m=10 18.解： 1og43-1og,8=g3.98_g8-3g2_3 lg 4 1g3 1g4 21g2 2 19.解： 1-1os2&=log号 1-l0g43&=l0g 4 1-l0g54=logs4 31og 有1og 41og54 即1-1og32>1-log43>1-log54, 故：1og32<log43<1og54。