专题：圆锥曲线的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：圆锥曲线的方程（分层作业）-2026-2027学年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共6小题） 1．（2026•东兰县模拟）双曲线的焦点坐标为（　　） A． B．（±2，0） C． D．（0，±2） 2．（2025秋•兴平市校级同步）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，则点P到x轴距离为（　　） A． B．4 C． D．3 3．（2026•吉林校级模拟）已知圆x2+y2＝4经过双曲线C：的焦点，且双曲线C的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 4．（2026•叙州区校级模拟）已知椭圆和双曲线有公共焦点F1，F2（F1为左焦点），C1与C2在第三象限交于点M，直线MF2交y轴于点N，且F1N平分∠MF1F2，则C2的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•北京校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|＝6，则△MNF的面积为（　　） A．8 B． C． D． 6．（2026•怒江州开学）已知双曲线，点P（1，1），，直线PQ交双曲线C于A，B两点，若，，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）7．（2026•咸阳模拟）已知点P（x0，y0）在抛物线C：y2＝4x上，F为其焦点，则（　　） A．抛物线C的准线方程为x＝﹣1 B．F的坐标为（2，0） C．若y0＝2，则|PF|＝2 D．|PF|≥1 （多选）8．（2026秋•广东月考）已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，则（　　） A． B．F1，F2在y轴上 C．C的离心率为2 D．直线与C没有公共点 （多选）9．（2026•河池三模）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为6 B．|PF1|的最小值为1 C．△PF1F2面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 三．填空题（共3小题） 10．（2026春•黄浦区校级同步）若对任意实数k，直线kx﹣y+k﹣1＝0与焦点在x轴上的椭圆至少有一个交点，则实数m的取值范围是____________________ ． 11．（2025秋•江北区校级期末）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为___________________ ． 12．（2026•临泉县校级开学）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过点P作l的垂线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为150°，则|PF|＝_____ 四．解答题（共6小题） 13．（2026•杭州模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F1，C的离心率为，且C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知M（8，0），N（1，0），过点N的直线与C交于A，B两点（A，B不在x轴上）．求证：∠NMA＝∠NMB． 14．（2026秋•青山湖区校级月考）已知双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．过F2的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若A，B均在C的右支上，且△ABF1的周长为，求l的方程． 15．（2026•南阳模拟）已知A，B是抛物线C：y2＝4x上异于坐标原点O的两点． （1）若C的焦点恰好是△OAB的垂心，求|AB|； （2）若直线OA与直线OB的斜率之积为﹣4． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点M（﹣2，0）关于直线AB的对称点N在C上，求△GMN的面积． 16．（2026春•武功县校级月考）已知椭圆的离心率为，A，B是C的左、右顶点，|AB|＝4． （1）求C的方程； （2）设点M在直线x＝3上，且在x轴上方，直线AM交C于另一点D，直线MP⊥BD，交x轴于点P． （i）若直线BD与直线x＝3交于点N，直线AN与直线BM的交点为T，问点T是否在C上？并说明理由； （ii）若在C上存在点Q，使得，求Q的坐标． 17．（2026秋•河南月考）已知椭圆Γ：，M（m，0）为x轴上的一点，椭圆Γ的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点． （1）若，且|F1F2|＝2|OM|，求椭圆Γ的离心率； （2）若且，A，B是Γ上两个不同的点（A，B，M不共线），求∠AMB的最大值； （3）设经过点M的直线l交椭圆Γ于P，Q两点（点P，Q均在x轴上方），若对于任意的m∈[2，3），都存在直线l，使得，求实数a的取值范围． 18．（2026秋•开福区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O为坐标原点，过点P（1，1）作斜率为k（k＜0）的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D，其中，直线OA与直线BD交于点M． （1）求抛物线C的方程； （2）记△MAD与△MOB的面积分别为S1，S2． （i）当O，A，D，B四点共圆时，求直线l的方程； （ii）求的取值范围． 专题：圆锥曲线的方程（分层作业）-2026-2027学年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026•东兰县模拟）双曲线的焦点坐标为（　　） A． B．（±2，0） C． D．（0，±2） 【解答】解：∵方程表示双曲线，∴m（m+2）＜0，解得﹣2＜m＜0， ∴曲线为，双曲线焦点在y轴上， 其中a2＝m+2，b2＝﹣m，则c2＝a2+b2＝（m+2）+（﹣m）＝2，∴， ∴焦点坐标为． 故选：C． 2．（2025秋•兴平市校级同步）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，则点P到x轴距离为（　　） A． B．4 C． D．3 【解答】解：由y2＝4x可得其焦准距为p＝2，设P（x0，y0）， 由抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6， 可得，即得x0＝5， 代入y2＝4x，解得，即点P到x轴距离为． 故选：A． 3．（2026•吉林校级模拟）已知圆x2+y2＝4经过双曲线C：的焦点，且双曲线C的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：圆x2+y2＝4的半径为r＝2． 因为c＝2，2b＝2，即b＝1，所以a， 所以． 故选：C． 4．（2026•叙州区校级模拟）已知椭圆和双曲线有公共焦点F1，F2（F1为左焦点），C1与C2在第三象限交于点M，直线MF2交y轴于点N，且F1N平分∠MF1F2，则C2的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得|F1F2|＝2c＝2，即c＝1，可得a2+b2＝1， 根据椭圆、双曲线的定义，可知，解得， 设|NF2|＝m，因为F1N平分∠MF1F2， 所以，即，整理得， 在△MF1F2中，设∠MF2F1＝α， 根据余弦定理，可得 ， 因为Rt△NOF2中，， 所以，整理得5a2+8a﹣4＝0，解得（a＝﹣2不符合题意，舍去）， 故C2的离心率． 故选：B． 5．（2026•北京校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|＝6，则△MNF的面积为（　　） A．8 B． C． D． 【解答】解：由题意抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 设M（x，y）， ∵|MF|＝6，∴x+1＝6， ∴x＝5，y＝±2， 又MN垂直y轴于点N， ∴|MN|＝x＝5， 则△MNF的面积为|MN|•|y|5． 故选：C． 6．（2026•怒江州开学）已知双曲线，点P（1，1），，直线PQ交双曲线C于A，B两点，若，，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为， 所以，解得，即， 将其代入双曲线C的方程，有，整理得28m2+24m﹣9＝0， 同理，由，得28n2+24n﹣9＝0， 所以m，n是关于x的一元二次方程28x2+24x﹣9＝0的两根， 由韦达定理知，． 故选：A． 二．多选题（共3小题） （多选）7．（2026•咸阳模拟）已知点P（x0，y0）在抛物线C：y2＝4x上，F为其焦点，则（　　） A．抛物线C的准线方程为x＝﹣1 B．F的坐标为（2，0） C．若y0＝2，则|PF|＝2 D．|PF|≥1 【解答】解：对于选项A、B，抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程是x＝﹣1，可知A选项正确，B选项错误． 对于选项C，由点P（x0，y0）在抛物线y2＝4x上，可得， 若y0＝2，则x0＝1，|PF|＝x0+1＝1+1＝2，故|PF|＝2，所以C选项正确． 对于选项D，抛物线上的点P到焦点F的距离|PF|＝x0+1，又x0≥0， 因此|PF|≥1，当且仅当x0＝0时取等号，所以D 选项正确． 故选：ACD． （多选）8．（2026秋•广东月考）已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，则（　　） A． B．F1，F2在y轴上 C．C的离心率为2 D．直线与C没有公共点 【解答】解：双曲线中，故A正确； 焦点在x轴上，即F1，F2在x轴上，故B错误； 离心率，故C正确； 是C的渐近线，与C没有公共点，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．（2026•河池三模）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为6 B．|PF1|的最小值为1 C．△PF1F2面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 【解答】解：依题意，， 所以△PF1F2的周长为2a+2c＝4+2＝6，故A正确； 若P为椭圆上任意点，则a﹣c≤|PF1|≤a+c，即1≤|PF1|≤3，当P为椭圆长轴顶点时取等号， 因为P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以1＜|PF1|＜3，故B错误； 当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，为，故C正确； 椭圆的离心率为，D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 10．（2026春•黄浦区校级同步）若对任意实数k，直线kx﹣y+k﹣1＝0与焦点在x轴上的椭圆至少有一个交点，则实数m的取值范围是　　 ． 【解答】解：直线kx﹣y+k﹣1＝0，即y＝k（x+1）﹣1，直线恒过定点P（﹣1，﹣1）， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点P（﹣1，﹣1）在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又0＜m＜4，故． 故答案为：． 11．（2025秋•江北区校级期末）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为　　 ． 【解答】解：已知双曲线的离心率为， 则， 即， 即， 即， 即两条渐近线的方程为． 故答案为：． 12．（2026•临泉县校级开学）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过点P作l的垂线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为150°，则|PF|＝　2　 【解答】解：已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，准线为l， 则，准线方程为， 设准线l与x轴交于点K， 设P（x，y）， 由题意得|KF|＝3，p＝3， 因为直线AF的倾斜角为150°， 所以∠AFK＝30°， 则有， 所以， 所以， 因为点P（x，y）在y2＝6x上， 代入，得3＝6x， 解得， 由抛物线的定义可得． 故答案为：2． 四．解答题（共6小题） 13．（2026•杭州模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F1，C的离心率为，且C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知M（8，0），N（1，0），过点N的直线与C交于A，B两点（A，B不在x轴上）．求证：∠NMA＝∠NMB． 【解答】解：（1）由，可得a2＝2b2①， 由点在上，则②， 联立①②解得：，b＝2， 所以椭圆C的方程为； （2）证明：如图，设过点N（1，0）的直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得（m2+2）y2+2my﹣7＝0，Δ＞0， 所以，， 因直线AM，BM的斜率分别为， 因为 ， 则AM，BM的倾斜角互为补角，故∠NMA＝∠NMB． 14．（2026秋•青山湖区校级月考）已知双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．过F2的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若A，B均在C的右支上，且△ABF1的周长为，求l的方程． 【解答】解：（1）因为|F1F2|＝4， 所以2c＝4，所以c＝2， 又c2＝2a2，所以a2＝2， 所以双曲线C的方程为：x2﹣y2＝2； （2）因为A，B均在C的右支上，且ΔABF1的周长为， 所以|AB|+|AF1|+|BF1|＝16， |AB|+|AF2|+2|BF2|+216， 所以|AB|＝6． 因为F2（2，0），设直线l：x＝ty+2，代入x2﹣y2＝2得：（ty+2）2﹣y2＝2， 整理得：（t2﹣1）y2+4ty+2＝0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为A，B均在C的右支上，所以t2﹣1≠0，且，所以t2＜1， ， 所以， 所以， 所以， 所以直线l的方程为：，即． 15．（2026•南阳模拟）已知A，B是抛物线C：y2＝4x上异于坐标原点O的两点． （1）若C的焦点恰好是△OAB的垂心，求|AB|； （2）若直线OA与直线OB的斜率之积为﹣4． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点M（﹣2，0）关于直线AB的对称点N在C上，求△GMN的面积． 【解答】解：（1）记C的焦点为F，由于C的焦点恰好是△OAB的垂心，因此|OA|＝|OB|，AF⊥OB， 设，那么，又因为F（1，0），由kAFkOB＝﹣1，可得， 解得或，因此． （2）（ⅰ）证明：显然直线AB的斜率不为0，设直线AB为x＝ny+t，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立抛物线，那么可得y2﹣4ny﹣4t＝0，根的判别式Δ＝（﹣4n）2﹣4×（﹣4t）＞0，y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4t， 又直线OA与直线OB的斜率之积为﹣4，因此，解得t＝1， 所以直线AB为x＝ny+1，故直线AB过定点F（1，0）． （ⅱ）根据题意知|FN|＝|FM|，可得xN+1＝3，即xN＝2，因此或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB为，由，那么可得x2﹣4x+1＝0，解得或， 即，或，， 因此，又，点到直线MN的距离为， 因此； 当时，同理可得． 综上，△GMN面积为． 16．（2026春•武功县校级月考）已知椭圆的离心率为，A，B是C的左、右顶点，|AB|＝4． （1）求C的方程； （2）设点M在直线x＝3上，且在x轴上方，直线AM交C于另一点D，直线MP⊥BD，交x轴于点P． （i）若直线BD与直线x＝3交于点N，直线AN与直线BM的交点为T，问点T是否在C上？并说明理由； （ii）若在C上存在点Q，使得，求Q的坐标． 【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，|AB|＝4， 所以， 解得a2＝4，b2＝3． 则椭圆C的方程为； （2）（i）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0）， 设D（m，n），n＞0， 因为点D在椭圆上， 所以， 即， 此时直线AD的方程为与直线x＝3的交点为， 直线BD的方程为与直线x＝3的交点为， 所以直线AN的方程为， 直线BM的方程为， 因为﹣2＜m＜2， 所以AN与BM不平行， 设直线AN与BM的交点为T（s，t）， 此时， 所以， 整理得， 则点T在C上； （ii）由（i）知BD的斜率为， 因为MP⊥BD， 所以直线MP的方程为， 令y＝0， 解得x＝3， 即P（3，0）， 由（i）知， 所以， 则P是定点， 设Q（x，y）， 因为， 所以， 又， 解得x＝1或x＝﹣7， 因为﹣2≤x≤2， 所以x＝1， 解得． 则点Q的坐标为． 17．（2026秋•河南月考）已知椭圆Γ：，M（m，0）为x轴上的一点，椭圆Γ的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点． （1）若，且|F1F2|＝2|OM|，求椭圆Γ的离心率； （2）若且，A，B是Γ上两个不同的点（A，B，M不共线），求∠AMB的最大值； （3）设经过点M的直线l交椭圆Γ于P，Q两点（点P，Q均在x轴上方），若对于任意的m∈[2，3），都存在直线l，使得，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因，则，则，a2＝c2+1＝3， 则椭圆Γ的离心率为； （2）因，则， 此时，M（m，0）在椭圆的外部，显然当MA，MB与椭圆相切时，∠AMB最大． 设过点M的直线方程为x＝ty+m，将其与联立，消去x，得（4t2+9）y2+8mty+4m2﹣9＝0， 由Δ＝64m2t2﹣4（4t2+9）（4m2﹣9）＝0化简得4t2﹣4m2+9＝0，因，代入解得， 即直线MA，MB的斜率分别为，由到角公式可得，则， 故∠AMB的最大值为； （3）依题意设l：x＝ty+m，（t∈R），代入，消去x， 整理得（t2+a2）y2+2mty+m2﹣a2＝0， 由Δ＝4m2t2﹣4（t2+a2）（m2﹣a2）＞0，化简得m2＜t2+a2①． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（*）， ， 将（*）代入，化简得， 依题意，存在t∈R，使得②成立， 因恒成立，故只需对m∈[2，3）恒成立， 则恒成立． 此外，还需满足①式，由②得，将其代入①， 整理得：对m∈[2，3）恒成立，因， 则，即（2a2+3）（2a2﹣5）≥0，解得，因a＞1，则， 因点P，Q均在x轴上方， 则|m|＞a对m∈[2，3）恒成立（当m＜0时取t＞0，当m＞0时取t＜0均能保证y1，y2为正数）， 则a＜|m|min＝2． 综上，实数a的取值范围为． 18．（2026秋•开福区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O为坐标原点，过点P（1，1）作斜率为k（k＜0）的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D，其中，直线OA与直线BD交于点M． （1）求抛物线C的方程； （2）记△MAD与△MOB的面积分别为S1，S2． （i）当O，A，D，B四点共圆时，求直线l的方程； （ii）求的取值范围． 【解答】解：（1）因为点P（1，1），则， 又， 则， 所以D（3，3）， 代入抛物线C：x2＝2py， 得到9＝6p，解得， 所以抛物线C的方程为x2＝3y． （2）（i）因为直线l方程为y＝k（x﹣1）+1（k＜0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立， 消y得到x2﹣3kx+3k﹣3＝0， 则x1+x2＝3k，x1•x2＝3k﹣3， 当O，A，D，B四点共圆时， 则有∠OBA＝∠ODA，∠BOD＝∠BAD， 故△POB∽△PAD，则， 所以|PA|•|PB|＝|PO|•|PD|， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，|PD|， 所以|PA|•|PB|＝（1+k2）|x1•x2﹣x1﹣x2+1|＝4． 即（1+k2）|3k﹣3﹣3k+1|＝4， 整理得到k2﹣1＝0， 又k＜0，所以k＝﹣1， 故直线l的方程为y＝﹣x+2． （ii）由O（0，0），得到直线OA：． 由D（3，3），，得， 直线BD：， 联立方程， 解得 由x1+x2＝3k，x1•x2＝3k﹣3， 得， 所以， ， ， 当y＝1时，由x2＝3y得， 又直线l的斜率k＜0， 则， 所以， 故的取值范围为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $