圆锥曲线 ：第1讲 椭圆的定义与标准方程（基础）专项训练-2027届高三数学一轮复习

椭圆的定义与标准方程 定义、焦点三角形与标准方程 椭圆的定义与焦点三角形 椭圆的定义只有一句话：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 的点的轨迹，其中 。那两个定点就是焦点，它们之间的距离记作 。由 、、 围成的直角三角形（ 是短半轴）给出全书最常用的一条关系：，也就是 。记账的诀窍是「斜边永远是 」——因为短轴端点到任一焦点的距离恰好等于 ，所以那两条直角边是 与 。把它记住，椭圆的题目就有了落脚点。 定义里的「和」是常数，这一条能直接算周长。设 是椭圆上一点，则 ，再加上底边 ，焦点三角形 的周长恒为 。过某个焦点的弦 与另一个焦点 组成的三角形也一样：，其中 是另一个焦点。所以「过焦点的弦围出的三角形周长是 」也是定义给出的。 焦点三角形的面积有两条路。一条是走底和高：把 当底， 到 轴的距离 当高，得 ；因为 ，所以面积的最大值是 ，在短轴端点取到。另一条是走夹角：设 ，由余弦定理与定义式可以推出 。两条路各有各的用处 —— 题目给高就用前者，给角就用后者。 还有一组由定义加余弦定理得到的等式，做提高题时几乎必用。在 中，；把 代入并整理，可得 。这一步说明：只要角定了，乘积就定了，面积也就定了。反过来，题目给面积求角，或者给角求面积，都是在这条式子上做文章。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则 = （ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★☆☆☆） 椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 变式3-3（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方。 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 椭圆的标准方程与基本量 椭圆的标准方程有两种，区别只在焦点落在哪条轴上。焦点在 轴上时写作 ，焦点在 轴上时写作 ，两式都要求 。合起来看就是一条规则：分母大的那一项，字母对应的轴就是焦点所在的轴。所以拿到一个方程先看两个分母谁大，焦点位置立刻确定；反过来，题目说焦点在哪条轴上，就是在给两个分母的大小关系。 三个基本量 、、 之间只有一条关系：（写成 更好记，它的几何来源是「短轴端点到焦点的距离等于 」）。这条关系把三个量串在一起：知道其中任意两个就能求出第三个。常用的换算还有：长轴长 、短轴长 、焦距 、 的取值范围是 。注意「 是长半轴、 是半焦距」这两个词不能混，题里给 还是 要看清楚。 求椭圆的标准方程，走的是「先定位、再定量」两步。第一步问自己：焦点在哪条轴上？题目直接说了就用它；没说的话，要由已知点的位置、或由分母的大小关系推断，实在定不下来就得分两类讨论。第二步凑两个独立条件：「过某点」给出一个方程，「、、 的某个关系」给出另一个。两个条件解两个未知量，方程就定了。 常见的入口只有几类，认得出就能少走弯路。一是给两个点：直接代入，联立求 、（记作 、）更快；二是给一个焦点和一个点：先用 把 、 挂钩，再代点；三是给两个顶点：顶点坐标直接就是 、；四是给长短轴的关系与离心率等条件：先把条件写成 、、 的等式。还有一类是椭圆的定义反过来用：已知到两定点距离之和为常数，那个常数的一半就是 ，两定点的中点就是中心。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知椭圆的一个焦点为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 例5（单选·★★☆☆☆） 椭圆经过和两点，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 抛物线的准线与椭圆交于，两点，则 = （ ） A. B. C. D. 1 例6（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______． 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆的定义与标准方程 定义、焦点三角形与标准方程 椭圆的定义与焦点三角形 椭圆的定义只有一句话：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 的点的轨迹，其中 。那两个定点就是焦点，它们之间的距离记作 。由 、、 围成的直角三角形（ 是短半轴）给出全书最常用的一条关系：，也就是 。记账的诀窍是「斜边永远是 」——因为短轴端点到任一焦点的距离恰好等于 ，所以那两条直角边是 与 。把它记住，椭圆的题目就有了落脚点。 定义里的「和」是常数，这一条能直接算周长。设 是椭圆上一点，则 ，再加上底边 ，焦点三角形 的周长恒为 。过某个焦点的弦 与另一个焦点 组成的三角形也一样：，其中 是另一个焦点。所以「过焦点的弦围出的三角形周长是 」也是定义给出的。 焦点三角形的面积有两条路。一条是走底和高：把 当底， 到 轴的距离 当高，得 ；因为 ，所以面积的最大值是 ，在短轴端点取到。另一条是走夹角：设 ，由余弦定理与定义式可以推出 。两条路各有各的用处 —— 题目给高就用前者，给角就用后者。 还有一组由定义加余弦定理得到的等式，做提高题时几乎必用。在 中，；把 代入并整理，可得 。这一步说明：只要角定了，乘积就定了，面积也就定了。反过来，题目给面积求角，或者给角求面积，都是在这条式子上做文章。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】焦点已知，说明 、。下面只要看四个等式各自对应的是「和」「差」「积」「商」里的哪一个。 【关键】由定义，。A 项给出这个和为 ，取 即可，A 能成立。B 项要求 。而由三角形两边之差小于第三边，，与 矛盾，B 不可能成立。故选 B。 【易错】四个选项里最容易漏判的是 C、D —— 它们并不显然。C 项乘积为 ：取 为短轴端点时 ，乘积为 ，令 即可。D 项商为 ：设 、，则和 、差 ，取 得 ，也能成立。本题的判据只有一条：差值绝不超过焦距。 【答案】B 例2（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】问的是焦点三角形的周长。上顶点 到两个焦点的距离之和由定义给出，底边由焦距给出。 【关键】由 得 、，于是 ，。 是上顶点，由定义 。所以周长为 。故选 D。 【易错】不必真的算出 和 —— 周长只需要它们的和，定义直接给出。另一个常见错是把周长记成 ：底边是焦距 ，不是 。换到别的位置（比如长轴端点）时周长同样是 ，这个值与本无关。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】过焦点的弦长，最稳的办法是「设线、联立、用弦长公式」；本题直线过 且倾斜角已知，斜率直接可写。 【关键】由 得 、、，所以 。倾斜角 给出斜率 ，直线 。代入椭圆：，整理得 ，所以 ，。由弦长公式 。故选 B。 【易错】 里的 是直线斜率 ，不是倾斜角；倾斜角 对应 ，两者数值恰好相同，容易蒙对。另外 用两根之差，本题其中一个根是 ，所以就是另一个根，若换成一般的焦点弦就要用 。 【答案】B 例3（单选·★★☆☆☆） 椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 【切入点】求面积的最大值，先把面积写成「底乘高的一半」，底是焦距（定值），高是 的纵坐标绝对值。 【关键】由 得 、，，所以 。。 因为 在椭圆上，，所以 ，最大值在短轴端点取到。故选 A。 【易错】最大值是 ，不是 或别的组合 —— 底用的是 、高用的是 ，常数 。另外要说明取等确实可达： 取短轴两个端点时 ， 确实是三角形（三点不共线），所以最大值能取到。 【答案】A 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知面积，说明 的纵坐标定了；要求的是 ，把它化成与 有关的式子最省事。 【关键】由 得 、、，。。把 代入椭圆得 ，即 。于是 ，。故选 D。 【易错】若老老实实把 、、 的坐标代进去算，会得到 ，与上面的式子其实是同一个 —— 但要先解出 ，多一步。另一处易错是面积公式漏掉 ：底是 ，。 【答案】D 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【切入点】椭圆与双曲线共焦点，先把 定出来；交点 同时满足两条曲线的定义式，两式联立就能拿到所需的乘积。 【关键】椭圆 的 ；双曲线 的 。两者共焦点，所以 ，解得 ，。 在椭圆上：； 在双曲线上：。两式各自平方再相加，得 。而 ，所以 ，即 。【关键】于是 。由 得 ，所以 ，。故选 B。 【易错】「共焦点」给的是 相等，不是 或 相等 —— 两条曲线的 完全不同，代错了整题就废。另有一步容易漏：把两个定义式平方后相加时，交叉项是 的一正一负，正好抵消，才得到干净的结果。 【答案】B 变式3-3（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方。 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【切入点】给面积定出 的纵坐标，再回代椭圆求出 的横坐标，最后算斜率 —— 一条直线走完。 【关键】由 得 、、，。，又 在 轴上方，所以 。代入椭圆：，得 —— 也就是说 恰好是上顶点 。于是直线 （）的斜率 。 【易错】 正好等于 ，这是一个「巧合」，不要因此以为面积公式里用的是 —— 一般情形还要把 回代求 。另外斜率的分子分母顺序：，本题 是负的，符号不能丢。 【答案】 椭圆的标准方程与基本量 椭圆的标准方程有两种，区别只在焦点落在哪条轴上。焦点在 轴上时写作 ，焦点在 轴上时写作 ，两式都要求 。合起来看就是一条规则：分母大的那一项，字母对应的轴就是焦点所在的轴。所以拿到一个方程先看两个分母谁大，焦点位置立刻确定；反过来，题目说焦点在哪条轴上，就是在给两个分母的大小关系。 三个基本量 、、 之间只有一条关系：（写成 更好记，它的几何来源是「短轴端点到焦点的距离等于 」）。这条关系把三个量串在一起：知道其中任意两个就能求出第三个。常用的换算还有：长轴长 、短轴长 、焦距 、 的取值范围是 。注意「 是长半轴、 是半焦距」这两个词不能混，题里给 还是 要看清楚。 求椭圆的标准方程，走的是「先定位、再定量」两步。第一步问自己：焦点在哪条轴上？题目直接说了就用它；没说的话，要由已知点的位置、或由分母的大小关系推断，实在定不下来就得分两类讨论。第二步凑两个独立条件：「过某点」给出一个方程，「、、 的某个关系」给出另一个。两个条件解两个未知量，方程就定了。 常见的入口只有几类，认得出就能少走弯路。一是给两个点：直接代入，联立求 、（记作 、）更快；二是给一个焦点和一个点：先用 把 、 挂钩，再代点；三是给两个顶点：顶点坐标直接就是 、；四是给长短轴的关系与离心率等条件：先把条件写成 、、 的等式。还有一类是椭圆的定义反过来用：已知到两定点距离之和为常数，那个常数的一半就是 ，两定点的中点就是中心。 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知椭圆的一个焦点为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】焦点给了 ，说明焦点在 轴上 —— 这一句同时定下了分母的大小关系与 的值。 【关键】焦点在 轴上，所以 项的分母更大，即 ，于是 、。由 ，而焦点 给出 ，即 ，所以 ，。故选 D。 【易错】若不看焦点位置就直接套 、，会得到 ，即 —— 但 时 项分母更小，焦点应在 轴上，与题设矛盾。所以「先定位」这一步不能省，它往往就是排除干扰项的关键。 【答案】D 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【切入点】抛物线给了焦点，等于给了椭圆的一个焦点坐标；再把它与椭圆方程里的参数对上就行。 【关键】抛物线 的焦点为 ，所以椭圆 有一个焦点是 ——焦点在 轴上，。于是 ，，，，长轴长 。故选 C。 【易错】题目问的是长轴长（），不是 ；选项里 的 就是用来抓这个的。另外抛物线 的焦点是 （因为 ，，焦点为 ），把 直接当成 会算成 。 【答案】C 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 【切入点】方程里 、 的系数是 与 ，先把它化成标准形式，再看两个分母谁大。 【关键】把 改写成 。焦点在 轴上，等价于 项的分母更大，即 。由 ，两边乘 得 。所以 的取值范围是 。 【易错】化成标准形式的这一步不能省：直接把 里的 与 当分母比较是错的，因为 项的系数 是分子上的。另外要记得用题给的 才敢在不等式两边乘 ；若没有这个条件，还要讨论 的情形。 【答案】 例5（单选·★★☆☆☆） 椭圆经过和两点，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【切入点】椭圆过 与 两点，这两点恰好在两条坐标轴上，可以直接读出两个分母。 【关键】把 代入标准方程得 ，所以 ；把 代入得 ，所以 。于是 ，，焦距 。故选 D。 【易错】题目问的是焦距，不是 —— 选项里 就是 ，专门用来抓只算了一半的人。另外这两点都在坐标轴上，代入时各自的另一个坐标为 ，这正是「顶点型条件」的特征，看到轴上的点就该立刻想到顶点。 【答案】D 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 【切入点】题目把 、、 三者各给了一条线索：长短轴的关系给 与 ，抛物线的焦点给 。顺着 把它们串起来即可。 【关键】长轴长是短轴长的 倍，即 ，所以 ，。又 ，所以 ，即 。抛物线 的焦点为 ，它就是椭圆的右焦点，所以 ，。于是 。故选 A。 【易错】「长轴长是短轴长的 倍」说的是 与 的比，写的时候两边的 可以同时约掉，得 ；若误写成 就全错了。另一处是 与 的焦点不同：前者的 就是 里的 ，焦点 ，不能套后者「焦点为 」的经验。 【答案】A 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 抛物线的准线与椭圆交于，两点，则 = （ ） A. B. C. D. 1 【切入点】抛物线只负责提供一条直线（准线），真正的计算是「直线与椭圆相交，求弦长」。 【关键】抛物线 的准线为 。把它代入椭圆 ：，所以 ，。于是 、 两点的纵坐标互为相反数，。故选 B。 【易错】准线与 轴垂直，所以弦 是竖直的，弦长就是两个纵坐标之差的绝对值 —— 不必去套 那一套（斜率为无穷）。另外 的准线是 （由 、 得到），写成 是最常见的错。 【答案】B 例6（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______． 【切入点】「两个焦点分别是 、」既定了焦点在 轴，又给了 ；再代入已知点即可。 【关键】焦点在 轴上，设方程为 （），且 ，所以 。代入点 ：。记 ，则 ，两边乘 得 ，整理得 ，解得 （ 舍去）。于是 、，标准方程为 。 【易错】设方程时要保留 这个前提，它是筛掉 的依据。另一处常见失误是直接把 当成 代入 —— 里出现的是 。最后要按题目的要求写成标准形式，左边保留两个平方项、右边是 ，不要写成 。 【答案】 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【切入点】焦点与离心率都是 、 的条件，两条一起用就能把 定下来，再由 求 。 【关键】中心在原点、右焦点为 ，说明焦点在 轴上且 。由 得 ，所以 ，。椭圆方程为 。故选 D。 【易错】选项里 是 ，那是把 的产物 —— 焦点在 轴上时 不是 ，。另外本题的离心率只作为条件出现，目标是方程；若题目改成「求离心率」，那就属于《椭圆的几何性质与离心率》那一讲的范围了。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $