圆锥曲线：第1讲 椭圆的定义与标准方程（提高）专项训练-2027届高三数学一轮复习

椭圆的定义与标准方程 定义、焦点三角形与标准方程 椭圆的定义与焦点三角形 定义在提高题里换了一副面孔：它常常以中位线的形式出现。设 是椭圆中心（也就是 的中点）， 是线段 的中点，那么在 中， 是中位线，于是 且 。再配上定义式 ，就能把 与 的和写成只含 的式子。看到「中点」「中心」这类字眼，先想中位线，往往比坐标法快得多。 第二副面孔是向量。由 、，而 ，两式作数量积得 。又因为 在椭圆上介于 与 之间（短轴端点到中心最近），所以这个数量积的取值范围是 。这条式子把「向量数量积的范围」直接翻译成「、、 的代数关系」。 由它可以读出一类存在性问题。「椭圆上存在点 使 」等价于 有解，也就是 能取到；而 的最小值是 ，所以条件是 。一般地， 存在当且仅当 —— 离心率越大，焦点处能张开的角度越大。这条判断把「角的存在性」与「离心率的范围」接了起来，是选填题的常客。 焦点三角形的面积最大值还有一个容易记错的邻居：椭圆的内接矩形面积最大值是 （四个顶点分别是长、短轴端点），而焦点三角形面积最大值是 。两者都由同一个「 到 轴的距离不超过 」推出来，但系数不同，选择题里常用两个都放进选项来制造干扰。另外过焦点的弦长最小值为 （通径，垂直于长轴那条），这也是从 、、 直接算出来的。 最后一条经验：多选里给出的四个判定，往往是定义、面积、数量积、存在性各占一个。做题时不要一上来就算，先把每一项归到上面四类里的哪一类，再挑最熟的那类式子去代 —— 这样既快，也不容易被某一项卡住而拖掉整道题。 例1（单选·★★★☆☆） 已知，是椭圆：的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（ ） A. B. C. 8 D. 10 【切入点】与基础例 2 是同一个模型，只是 、 换成带根号的值，做法完全一样：周长为 。 【关键】由 得 、，。 在椭圆上，定义给出 ，底边 。所以 的周长为 。故选 A。 【易错】 时焦距是 而不是 —— 「 是半焦距、 才是焦距」这一步在本讲反复出现。另外本类题与 的位置无关，不必讨论 在哪一段弧上。 【答案】A 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【切入点】问的是两个圆的位置关系，其中一个圆以 为直径，圆心是 的中点 —— 正是「中点 + 中心」的中位线模型。 【关键】由 得 、、，左焦点 ，右焦点 ，中心 。设 为 的中点，则圆 的半径 。在 中， 是 的中点、 是 的中点，所以 是中位线，。由定义 ，所以 ，即 。【关键】另一个圆是 ，圆心为 、半径 。两圆圆心距 与两半径满足 ，这正是「两圆内含」的条件（半径小的圆完全落在大的里面），所以两圆内含。故选 A。 【易错】判断两圆位置关系的四组条件要分清：外离 、外切 、相交 、内切 、内含 。本题两式相加恰好消去了 ，得到常数 —— 这类「算出来与 无关」是本模型的标志，碰到就该想到中位线。 【答案】A 例2（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 【切入点】四项分别问离心率、面积最大值、直角的存在性、数量积的最小值 —— 正好是本知识点四条主线的各一个代表。先把 、、 算出来。 【关键】由 得 、、。A 项：，A 对。B 项：焦点三角形面积 ，短轴端点处取到，B 对。【关键】C 项： 存在等价于 有解，而该数量积等于 ， 的最小值是 ，所以最小值为 ，取不到 ，C 错。D 项：，，所以取值范围是 ，最小值为 ，D 对。故选 ABD。 【易错】C 项的判据是 还是 最容易记反：要存在 ，需要 能小到 ，而它最小只能到 ，所以条件是 。本题 ，取不到直角 —— 也可以直接从答案回推：若 C 对，则数量积最小值为 而非 ，与 D 矛盾，这一对选项本身就是互相牵制的。 【答案】ABD 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标是一个向量数量积的取值范围，把它化成与中心距有关的式子，再用 到中心的距离范围收口。 【关键】由 得 、、，、。因为 、，且 ，两式作数量积得 。【关键】 在椭圆上时， 的最小值在短轴端点取到、为 ；最大值在长轴端点取到、为 。所以 ，数量积的取值范围是 。故选 D。 【易错】把 的范围记成 是对的，但「到中心最近的点是短轴端点」这一步要说得清：设 ，则 ，它是 的增函数，，于是最小值 、最大值 。有了这个表达式，范围两端也不会记反。 【答案】D 变式2-2（多选·★★★☆☆） 设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为2 C. 若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D. 若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【切入点】四项分别在问「距离的最大值」「乘积的最大值」「直角的存在性」「恒成立的条件」，都是定义加基本量 的直接推论。 【关键】由 （）得 、。A 项：取 ，则 ， 的最大值为 ，A 对。B 项：由基本不等式 ，取 得最大值 （ 在短轴端点时取到），B 对。【关键】C 项：存在 使 等价于 有解，即 ，也就是 ，。此时离心率 ，与选项给的 方向正好相反，C 错。D 项：要求任意 都有 ，即 的最大值不超过 。由 ，它在 （下顶点）处，只要 ，就取到最大值 ；所以条件等价于 ，于是 ，D 对。故选 ABD。 【易错】C、D 两项看着是一对，实际方向相反：C 问「存在直角」是一个下界条件（ 要够大），D 问「不超出范围」是一个上界条件（ 要够小），所以它们的离心率区间一个在右端、一个在左端。D 项里 是关于 的二次函数，开口向下，必须先判断顶点是否落在 内再取最值 —— 直接代端点会漏掉 那一支。 【答案】ABD 例3（多选·★★★☆☆） 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则（ ） A. 若的面积，则满足题意的点有四个 B. 若，则的面积 C. 椭圆内接矩形面积的最大值为12 D. 若为钝角三角形，则的面积的取值范围为 【切入点】四项都在问焦点三角形，所以先备好两把尺子：面积 与 ，再顺手记住内接矩形面积的最大值。 【关键】由 得 、、。A 项：，得 。它小于 ，说明 取正、取负各有两处，共四个点，A 对。B 项：，B 对。C 项：内接矩形面积最大值为 ，不是 ，C 错。【关键】D 项： 要成为钝角三角形。钝角若在 处，需要 ，而 ，不可能；所以钝角只能在 或 处。以钝角在 为例，条件为 ，即 ，解得 。此时 ：当 时 ，（取不到 ）；当 时 ，。所以 ，D 对。故选 ABD。 【易错】C 项的「内接矩形」四个顶点就是椭圆的长轴端点与短轴端点，面积 ，与焦点三角形面积最大值 是两码事，两个数字别混。D 项容易只算一半：钝角可能在 处也可能在焦点处，要先由 的最小值把「钝角在 」这一支排除掉，再算剩下那一支的范围，而且两端都是开的（ 取不到 与 本身）。 【答案】ABD 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 【切入点】四项分别问点到直线的距离、数量积的符号、三角形面积的最大值、两条线段长的乘积。先把顶点与焦点坐标全部写出来。 【关键】由 得 、、，、，左顶点 、下顶点 ， 在第一象限。A 项：直线 过 、，方程 ，原点到它的距离 ，A 对。【关键】B 项：，要它小于 ，需要 。由椭圆 得 ，小于 给出 ，即 ，与选项给的 不符，B 错。C 项： 的面积为 ，而 、，所以 。令 、，则 ，所以 ，C 对。【关键】D 项：设 是直线 与 轴的交点、 是直线 与 轴的交点，要证 。直线 ：，令 得 ，于是 。直线 的斜率为 ，方程 ，令 得 ，于是 。两式相乘得 。由 展开分子：，所以乘积恒为 ，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项是本题唯一错的，错因是「」换到横坐标时算错了界 —— 必须先把 用 表示再代入，直接拿 去估会得到偏小的界。D 项的定值检验有个省事的办法：取一个特殊点（如 ）算一遍，若得到 就可以放心往下证，否则立刻回头查直线方程有没有写错。 【答案】ACD 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（ ） A. 的周长为8 B. C. 的最小值为 D. 存在直线，使得 【切入点】过左焦点 的弦 与右焦点 组成的三角形，周长由定义直接给出；其余三项要分别处理。 【关键】由 得 、、，、。A 项：、 都在椭圆上，、，而 ，所以 的周长为 ，A 对。【关键】B 项：设 、，则 ，由基本不等式 ，等号在 为短轴端点时取到，B 对。C 项： 的最小值是通径 ，不是 ，C 错。D 项：要证存在直线 使 。设 （过 ）的倾斜角为 ，记 。由焦半径公式，过左焦点的弦满足 。于是 ， 的方向向量为 ，。由 得 ，即 。 把 代入，得 ，即 。它的判别式为 ，两根 都在 内，所以这样的 确实存在，D 对。故选 ABD。 【易错】C 项的「最小值 」是最常见的干扰值 —— 过焦点的弦最短是通径 ，它是把 代入椭圆解出 后乘 得到的。D 项属于存在性问题，先试一个方向（垂直长轴）不行，就要设角老老实实解一次；本题判别式为正且两根都在范围内，所以答案落在「存在」这一边。 【答案】ABD 椭圆的标准方程与基本量 提高题的第一个变化是焦点位置要自己判断。题目只写「椭圆 」而不说焦点在哪，这时 、 的大小关系是未知的，必须先分「」与「」两类分别求，最后把不合题意的解去掉。判断的依据通常是题目给的另一个条件（某个点在其上、离心率的大小、或与另一条曲线共焦点），把它代进去就能筛。 第二个变化是基本量藏在几何关系里。「过焦点的弦满足某个比例」「三角形内切//外接圆」「某两条线段相等」这类叙述，都要先用定义把边换算成 、，再用余弦定理或勾股定理建方程。例如过焦点的一条弦 上有 、（ 是另一个焦点）这样的条件，把每个长度都用 表示出来之后，在某个三角形中用余弦定理，一次就能解出 与 的比值。 第三个变化是顶点间的距离。椭圆的四个顶点是 与 ，两两之间的距离只有三种：长轴长 、短轴长 、以及相邻顶点之间 。题目说「某两个顶点间的距离为 」，就要把 、、 三种情形都列出来分别解，一张选项给出多个值，多半就是这三种情形。 第四个变化是多选的整体判断。这类题的四个选项通常分散在「基本量换算」「点到直线距离」「三角形面积」「线段乘积为定值」几个方向上。做法是先由条件把椭圆方程彻底定下来，再逐项用定义或坐标法验算。其中「线段乘积为定值」这一项看起来最麻烦，但它的算法是固定的：把两条直线分别写出，用截距式求出交点到定点的距离，相乘后整理 —— 整理过程中「点在某条曲线上」那个等式会把 代进去，参数随之消掉，留下的就是常数。 最后一条提醒：遇到新定义的题（比如「倒椭圆」），先按定义把新曲线的方程写出来，再把每一个选项翻译成它熟悉的说法。本讲的「倒椭圆」就是把 与切点条件 对上，看出来之后，选项 C 几乎是白送的。 例4（填空·★★★★☆） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【切入点】题目给的都是线段长度的关系，所以先把每个长度用椭圆的定义换成只含 （与 ）的式子，再用余弦定理建方程。 【关键】设 ，则由 得 ，由 得 。 在椭圆上：，所以 。于是 ，， 在椭圆上又给 。【关键】在 中，，，所以 。又 、 都在过 的直线上，，于是 。在 中用余弦定理：，整理得 ，即 。【关键】另一方面，题设的椭圆是 ，所以 。与上式联立得 ，即 ，从而 ，椭圆方程为 。 【易错】本题的椭圆方程里已经含参 ，所以求出的 要同时用两条路表示：一条从「 直接读」、一条从几何条件算出来，两式相等才解得出 。只用其中一条是解不动的。另外 、 在 的两侧是画图时必须确认的一步，它决定了两个角互补还是相等；若弦不过焦点，这个互补关系就不成立了。 【答案】 变式4-1（单选·★★★☆☆） 设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上。 若，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【切入点】、 都是顶点，所以椭圆方程立刻定为 。 说明四边形 是梯形，面积用「两底和乘高除以 」。 【关键】由顶点坐标得 、，椭圆 。直线 的斜率为 ，方程为 。设直线 ，代入椭圆得 ，所以 、，（要求 ）。【关键】两条平行线之间的距离 ，而 。于是梯形面积 。取 ：。而在 上逐段估计可知 ，所以最大值为 。故选 B。 【易错】设置直线 的截距 时， 对应 与 重合，四边形退化成线段，必须剔除；所以 的取值范围是 去掉 。另一处是弦长里 的 用 ：，与平行线距离的分母 正好约掉一半，这一步约分算错就会得到一个带根号的怪结果。 【答案】B 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点。为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 【切入点】先把椭圆方程定下来：圆 过两个焦点，这直接给出 ；再由 的面积定 。 【关键】圆 经过椭圆的两个焦点，所以 。 的面积为 ，得 。而 又在圆上， 给出 ，所以 是上顶点，，，，椭圆为 ，右顶点 。A 项：，A 错。【关键】B 项：直线 过 、，方程 ，原点到它的距离 ，B 对。C 项： 以 为底，，高为 ，所以面积最大值为 ，C 对。【关键】D 项：直线 与 轴交于 ，直线 与 轴交于 。设 。直线 ：，令 得 ，；直线 ：斜率 ，令 得 ，。把 （即 ）代入整理，乘积恒为 ，D 对。故选 BCD。 【易错】A 项是最容易误选的一项：本题的 、，离心率是 ，而 对应的是 那种情形，两者长得像，要老老实实算。D 项的乘积是定值，建议先用一个特殊点（如 ）验一遍数值，确认无误再去整理代数式 —— 否则整理到一半发现不对，很难判断是算错还是结论错。 【答案】BCD 变式4-3（多选·★★★★☆） 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为4 C. 过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D. 椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 【切入点】「倒椭圆」是一个新定义：把原方程里的 与 对调。先把 写出来，再逐项翻译成熟悉的问题。 【关键】由定义， 的倒椭圆为 。A 项：、、，，A 对。【关键】B 项：设 在 上，记 、，则 ，要求 的最小值。由柯西不等式 ，而括号里等于 ，所以 ，即 ，B 错。【关键】C 项：过 作两坐标轴的垂线，垂足 、，直线 的方程为 。它与椭圆 相切的条件是 ，而 在 上恰好给出 ，两者是同一个等式（两边同乘 再除以 ），所以直线 一定与 相切，C 对。D 项：取 的四个顶点处的切线，它们分别是 与 ；而 上的点满足 、，把 代入 得 ，即 ，无解，所以这四条切线与 都没有公共点，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项算出来的是 而不是 —— 柯西不等式右边是 ，不是 ，也不是 。C 项的「相切」判据值得单独记：直线 与椭圆 相切当且仅当 ，这正是「倒椭圆」这个名字的由来；看出这一点，C 项就不必再算判别式了。 【答案】ACD 例5（多选·★★★☆☆） 若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（ ） A. B. C. D. 2 【切入点】「某两个顶点间的距离为 」，而椭圆顶点两两之间只有三种距离，所以答案至多三个值 —— 这就是本题的解题框架。 【关键】由 （）得 、，且 ，焦点在 轴上。四个顶点为 、。【关键】逐类讨论。① 长轴两端之间的距离为 的算术平方根的两倍，即 给 、，所以 ，，。② 短轴两端之间的距离 给 、，。③ 相邻顶点之间 ，即 ，，，。所以 的可能值为 、、。故选 BCD。 【易错】这一题最容易漏掉第三种情形。记忆的办法是：椭圆的顶点是一个矩形（）的四个中点，所以两两距离只有「长边」「短边」「对角线」三种。另一处要注意 与 谁大：本题 ，焦点在 轴，若把它写成焦点在 轴，三种距离的表达式就全变了。 【答案】BCD 变式5-1（多选·★★★★☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】、 关于原点对称，所以 是一条过中心的弦。四点共圆的最简判据是「有一条公共的对角线且两对角线互相平分」，于是先看这条对角线能否与已知的弦相等。 【关键】由 得 、、，、，、，。设 （非顶点），。A 项： 与 都过原点。若 ，则 是矩形，四点共圆。，，需要 ；而 ，令其等于 得 ，可以取到，A 对。【关键】B 项：若 与 相等，需要 ，而 只在短轴端点取到，那些点正是顶点，与「 是除顶点外的点」矛盾，所以不可能，B 错。C 项：要使 、、、 共圆，因为 、 关于原点对称，圆心必在直线 的垂直平分线上，即圆心可取作 。令 ：，整理得 。只要 就能解出 ，四点共圆；而 在椭圆上只有两个解，取其余的点即可，C 对。D 项与 C 同理，只需换 ，方程变成 ，同样一般有解，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项是本题唯一错的，判断的关键是「 的最小值是 ，且只在短轴端点取到」——短轴端点正是被排除的顶点，所以 B 不可能。C、D 两项不必去构造具体的圆，只要说明「圆心所在的直线上存在一点，使它到另外两点的距离相等」即可；这个方程关于 是一次方程，除了极个别方向外都有解，这正是「可能共圆」的含义。 【答案】ACD 例6（填空·★★★★☆） 已知椭圆：及点，，点是上与不共线的动点，若周长的最大值为，则 = ________. 【切入点】周长最大值要拆成 ，其中 是常数，剩下的 要化成与椭圆定义有关的形式 —— 先看清楚 是什么点。 【关键】由 （）得 、，所以 ，，两个焦点是 。于是 恰是右焦点，记作 。【关键】由椭圆定义 ，所以 。由三角不等式 ，而 、，。所以 ，△ 的周长 。【关键】题给周长最大值为 ，所以 ，，即 ，。 【易错】本题的突破口是「认出 就是右焦点」——若不认出来， 的最值就要用坐标法硬算，而且椭圆上动点与两个定点的距离和没有现成公式。认出焦点后，用定义把 换成 ，问题立刻变成「 的最大值」，由三角不等式一步给出。另外取值时要注意 不能与 、 共线，本题取到的位置不在直线 上，所以最大值真的可以取到。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆的定义与标准方程 定义、焦点三角形与标准方程 椭圆的定义与焦点三角形 定义在提高题里换了一副面孔：它常常以中位线的形式出现。设 是椭圆中心（也就是 的中点）， 是线段 的中点，那么在 中， 是中位线，于是 且 。再配上定义式 ，就能把 与 的和写成只含 的式子。看到「中点」「中心」这类字眼，先想中位线，往往比坐标法快得多。 第二副面孔是向量。由 、，而 ，两式作数量积得 。又因为 在椭圆上介于 与 之间（短轴端点到中心最近），所以这个数量积的取值范围是 。这条式子把「向量数量积的范围」直接翻译成「、、 的代数关系」。 由它可以读出一类存在性问题。「椭圆上存在点 使 」等价于 有解，也就是 能取到；而 的最小值是 ，所以条件是 。一般地， 存在当且仅当 —— 离心率越大，焦点处能张开的角度越大。这条判断把「角的存在性」与「离心率的范围」接了起来，是选填题的常客。 焦点三角形的面积最大值还有一个容易记错的邻居：椭圆的内接矩形面积最大值是 （四个顶点分别是长、短轴端点），而焦点三角形面积最大值是 。两者都由同一个「 到 轴的距离不超过 」推出来，但系数不同，选择题里常用两个都放进选项来制造干扰。另外过焦点的弦长最小值为 （通径，垂直于长轴那条），这也是从 、、 直接算出来的。 最后一条经验：多选里给出的四个判定，往往是定义、面积、数量积、存在性各占一个。做题时不要一上来就算，先把每一项归到上面四类里的哪一类，再挑最熟的那类式子去代 —— 这样既快，也不容易被某一项卡住而拖掉整道题。 例1（单选·★★★☆☆） 已知，是椭圆：的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（ ） A. B. C. 8 D. 10 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 例2（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为2 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式2-2（多选·★★★☆☆） 设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为2 C. 若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D. 若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 例3（多选·★★★☆☆） 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则（ ） A. 若的面积，则满足题意的点有四个 B. 若，则的面积 C. 椭圆内接矩形面积的最大值为12 D. 若为钝角三角形，则的面积的取值范围为 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（） A. 坐标原点O到直线AB的距离为 B. 若，则的取值范围为 C. 的面积最大值为 D. 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（ ） A. 的周长为8 B. C. 的最小值为 D. 存在直线，使得 椭圆的标准方程与基本量 提高题的第一个变化是焦点位置要自己判断。题目只写「椭圆 」而不说焦点在哪，这时 、 的大小关系是未知的，必须先分「」与「」两类分别求，最后把不合题意的解去掉。判断的依据通常是题目给的另一个条件（某个点在其上、离心率的大小、或与另一条曲线共焦点），把它代进去就能筛。 第二个变化是基本量藏在几何关系里。「过焦点的弦满足某个比例」「三角形内切//外接圆」「某两条线段相等」这类叙述，都要先用定义把边换算成 、，再用余弦定理或勾股定理建方程。例如过焦点的一条弦 上有 、（ 是另一个焦点）这样的条件，把每个长度都用 表示出来之后，在某个三角形中用余弦定理，一次就能解出 与 的比值。 第三个变化是顶点间的距离。椭圆的四个顶点是 与 ，两两之间的距离只有三种：长轴长 、短轴长 、以及相邻顶点之间 。题目说「某两个顶点间的距离为 」，就要把 、、 三种情形都列出来分别解，一张选项给出多个值，多半就是这三种情形。 第四个变化是多选的整体判断。这类题的四个选项通常分散在「基本量换算」「点到直线距离」「三角形面积」「线段乘积为定值」几个方向上。做法是先由条件把椭圆方程彻底定下来，再逐项用定义或坐标法验算。其中「线段乘积为定值」这一项看起来最麻烦，但它的算法是固定的：把两条直线分别写出，用截距式求出交点到定点的距离，相乘后整理 —— 整理过程中「点在某条曲线上」那个等式会把 代进去，参数随之消掉，留下的就是常数。 最后一条提醒：遇到新定义的题（比如「倒椭圆」），先按定义把新曲线的方程写出来，再把每一个选项翻译成它熟悉的说法。本讲的「倒椭圆」就是把 与切点条件 对上，看出来之后，选项 C 几乎是白送的。 例4（填空·★★★★☆） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上。 若，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点。为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 变式4-3（多选·★★★★☆） 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为4 C. 过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D. 椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 例5（多选·★★★☆☆） 若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（ ） A. B. C. D. 2 变式5-1（多选·★★★★☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★★★☆） 已知椭圆：及点，，点是上与不共线的动点，若周长的最大值为，则 = ________. 学科网（北京）股份有限公司 $