第14节 直线与圆的方程基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第14节 直线与圆的方程 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某市轨道交通 5 号线的一段规划走向在坐标图上近似为直线 3x − 4y + 5 = 0（单位：百米），一处拟建换乘枢纽的坐标定为 (1, 4)。为了给站房留出合规退距，需要先算出该枢纽到这段规划线的最短距离，其值为 A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】点到直线的距离公式是 d = ，使用时要注意分子取绝对值、分母是两系数平方和的算术平方根。 这里 A = 3，B = −4，C = 5，点的坐标为 (1, 4)，代入得分子 = = 8，分母为 = = 5。 于是 d = （百米），对应选项 A。 最容易失分的是只算了分子就急着选 B；另外 B = −4 是负数，代入时把符号丢掉会得到 = 24，务必谨慎。 【考查知识点】点到直线的距离公式及其直接应用 【易错点】只算分子忘了除以 ；代入时把负系数的符号弄错 2． 某型号智慧路灯的照明区边界在设计图上是一个圆，测绘组把它记录为一般方程 + − 4x + 6y + 4 = 0（单位：米）。若沿边界等距安装灯带，需要先弄清这个圆的半径，其值为 A. 9 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】处理一般方程的通用办法是配方： − 4x = − 4， + 6y = − 9。 代回原式得 − 4 + − 9 + 4 = 0，整理为 + = 9。 与标准方程对照可知是圆心 (2, −3)、半径的平方等于 9 的圆，故半径 r = 3，选 C。 选项 A 是把等号右边的 9 直接当成了半径，忘了它其实是 r 的平方；选项 B 则是误用配出来的 4 + 9 = 13。 【考查知识点】一般方程配方化标准方程，求圆心与半径 【易错点】把配方后等号右边的常数当成半径，忘了再开一次方 3． 某港口龙门吊的回转大车轨道俯视图是一个圆，方程为 + = 25（单位：米）。安装阶段要在轨道围成的场地内画一条检修基准通道，其所在直线为 3x + 4y + 13 = 0，则这条通道落在场地内的部分长为 A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】圆心为 (2, −1)，半径 r = 5。先算圆心到直线的距离：d = = = 3。 因为 d = 3 < 5 = r，直线与圆相交于两点，落在场地内的部分就是一条弦。 用半径、弦心距与半弦长构成的直角三角形求半弦长： = = = 4。 故弦长为 2 × 4 = 8（米），选 B。 选项 A 只算了半弦长，漏乘 2；选项 D 是直径，那只有在直线过圆心时才会出现。 【考查知识点】弦长公式：半弦长等于 【易错点】把半弦长当成弦长；或直接用直径充当弦长 4． 一架测绘无人机沿一条圆形航线巡航，航线方程为 + = 5（单位：百米）。当它飞到航线上一点 P(4, 2) 时需立即直线脱离，脱离方向取航线在该点的切线方向，则这条切线所在的直线方程为 A. x − 2y = 0 B. 2x − y − 6 = 0 C. x + 2y − 8 = 0 D. 2x + y − 10 = 0 【答案】D 【解析】先确认 P 与圆的位置关系： + = 4 + 1 = 5，等式成立，说明 P 恰在圆上，过 P 的切线唯一。 圆心为 (2, 1)，连接圆心与 P 得到半径，其斜率为 = 。 切线与半径垂直，斜率之积为 −1，故切线斜率为 −2。 由点斜式 y − 2 = −2(x − 4)，整理得 2x + y − 10 = 0，选 D。 四个选项都经过 P(4, 2)，区分点全落在斜率上：选项 A 是半径所在的直线，选项 B 丢了垂直关系中的负号，选项 C 把斜率取成了 −。 【考查知识点】过圆上一点的切线方程：切线垂直于该点处的半径 【易错点】混淆"切线斜率"与"半径斜率"，或漏掉垂直关系中的负号 5． 某市轨道交通有两条待建的规划线，在图上分别记为 : ax + 2y − 1 = 0 与 : 2x − 4y + 3 = 0。若设计要求两条线路同向平行敷设且不重合，则实数 a 的值为 A. −1 B. 1 C. 4 D. −4 【答案】A 【解析】把两条直线都化成斜截式看斜率： 化为 y = x + ，斜率为 ； 化为 y = −x + ，斜率为 −。 平行且不重合要求斜率相等，令 − = ，解得 a = −1。 此时 为 −x + 2y − 1 = 0，把它与 的系数作比： = ≠ ，两线确实不重合，符合题意，选 A。 常见的错解是选项 C：把平行条件误当成垂直条件（斜率之积为 −1），由 (−) × = −1 解出 a = 4，条件用错一步就偏了。 【考查知识点】两直线平行的斜率判定与不重合的验证 【易错点】把平行条件与垂直条件混用；求出参数后别忘了检查是否重合 6． 某型号智慧路灯沿一条人行步道单侧立杆，实测灯杆基座中心的坐标为 (−1, 2)，有效照明半径为 2（单位：米），步道中心线所在直线为 3x + 4y − 6 = 0。则这条步道中心线与照明区边界的位置关系为 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 圆心落在步道中心线上 【答案】C 【解析】判定直线与圆的位置关系，只需比较圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小。 d = = = 。 因为 < 2 = r，直线与圆有两个公共点，即相交，选 C。 若把 4 × 2 前的加号误写成减号，会算出 = 17，从而落入选项 A；选项 D 要求 d 恰好为 0，与算出的 不符。 【考查知识点】直线与圆的位置关系判定：d 与 r 比较大小 【易错点】代入点到直线距离公式时符号出错，导致位置关系判反 7． 某圆形无人机巡航区的边界方程为 + = 25（单位：百米），一台地面测控车停在点 P(7, 1) 处，向边界发射一束恰好与圆相切的直线信号，则这束信号切线段的长为 A. 5 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】圆心为原点 O，半径 r = 5。设切点为 T，则半径 OT 垂直于切线 PT，切线长、半径与 OP 构成以 OP 为斜边的直角三角形。 先算 = = = 5。 于是 = = = = 5（百米），选 B。 选项 A 是把 本身当成了切线长；选项 D 是把勾股关系错写成平方相加；选项 C 则是丢掉了纵坐标的平方算了 。 【考查知识点】切线长公式：切线长等于 【易错点】把外点到圆心的距离当成切线长；勾股关系中斜边、直角边认错 8． 某片区要并排布设两座同型号智慧路灯的圆形照明区，其边界在设计图上分别为 : + = 4 与 : + = 9（单位：米）。这两块照明区边界之间的位置关系为 A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 外切 【答案】D 【解析】 的圆心是 (0, 0)，半径 = 2； 的圆心是 (5, 0)，半径 = 3。 圆心距 = = 5。 而 + = 2 + 3 = 5，圆心距恰好等于两半径之和，所以两圆外切，选 D。 判定的口诀要记牢：圆心距大于半径和是外离，等于半径和是外切，介于两半径之差与之和之间是相交，等于半径之差是内切，小于则是内含。 【考查知识点】两圆位置关系的圆心距判别法 【易错点】只用圆心距与半径和比较，忽略了内切、内含时要和半径之差比较 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某光伏场区沿山脊修了一条圆形巡检环道，记其俯视图边界为 C: + = 25（单位：百米）；一条清洗车间的进出通道所在直线为 4x + 3y − 4 = 0。就圆 C 与这条通道给出的下列判断中，成立的有 A. 圆心到进出通道的距离为 4 B. 通道被圆形环道截得的部分长为 6 C. 坐标原点恰好落在圆形环道上 D. 圆形环道上的点到进出通道的最小距离为 9 【答案】ABC 【解析】圆心为 (3, 4)，半径 r = 5，先算圆心到直线的距离：d = = = 4，A 项正确。 半弦长为 = = 3，故通道被截得的部分长为 2 × 3 = 6，B 项正确。 原点到圆心 (3, 4) 的距离为 = = 5，恰好等于半径，所以原点在圆上，C 项正确。 圆上的点到直线的最大距离为 d + r = 4 + 5 = 9，最小距离为 r − d = 5 − 4 = 1；选项 D 给出的是最大值而不是最小值，故 D 项错误。 综上，成立的判断是 A、B、C 三项。处理这类多选题的诀窍是先把 d 与 r 算出来，其余各项都在它们身上做加减。 【考查知识点】圆心到直线的距离、弦长与圆上点到直线距离的最值 【易错点】混淆"最大距离 d + r"与"最小距离 r − d"；截得部分长要记得乘 2 10． 某智慧园区用含参数方程 + − 6x + 2y + m = 0（m 为实数）来拟合不同时段的圆形照明边界。就这个方程给出的下列判断中，成立的有 A. 当 m = 1 时，所得圆的半径为 3 B. 该方程表示一个圆时，应满足 m < 10 C. 该方程表示圆时，圆心总落在直线 x + 3y = 0 上 D. 当 m = 6 时，坐标原点落在所得圆的内部 【答案】ABC 【解析】先配方： + = 10 − m，圆心恒为 (3, −1)，半径的平方为 10 − m。 A 项：m = 1 时半径的平方为 9，半径为 3，正确。 B 项：方程表示一个圆必须满足半径的平方大于 0，即 10 − m > 0，解得 m < 10，正确。 C 项：把圆心 (3, −1) 代入 x + 3y 得 3 + 3 × (−1) = 0，圆心确实在直线 x + 3y = 0 上，正确。 D 项：m = 6 时半径的平方为 4，半径为 2，而原点到圆心的距离为 = ，它大于 2，原点在圆外，故 D 项错误。 综上，成立的判断是 A、B、C 三项。含参数的二元二次方程一定先配方，把"是不是圆"和"圆心在哪"一次性看清楚。 【考查知识点】含参数的二元二次方程表示圆的条件、圆心与半径 【易错点】忘记"表示圆"要求半径的平方严格大于 0；判断点与圆的位置关系要比距离和半径 11． 某测绘队为一处临时禁飞区划定了圆形边界 C: + = 2（单位：千米），一条备选航线的所在直线记为 kx − y + 2 = 0（k 为实数）。就这条直线与禁飞区给出的下列判断中，成立的有 A. 无论 k 取什么值，该直线都经过定点 (0, 2) B. 点 (0, 2) 恰好落在禁飞区边界上 C. 无论 k 取什么值，该直线与禁飞区边界总有公共点 D. 当 k = −1 时，该直线与禁飞区边界相切 【答案】ABC 【解析】A 项：把 x = 0、y = 2 代入 kx − y + 2 得 k × 0 − 2 + 2 = 0，等式与 k 无关，故直线恒过定点 (0, 2)，正确。 B 项：把 (0, 2) 代入圆的左边得 + = 1 + 1 = 2，恰好等于半径的平方，该点在圆上，正确。 C 项：直线族中每一条都经过圆上的一个定点，因此与圆至少有一个公共点，不可能相离，正确。 D 项：k = −1 时直线为 x + y − 2 = 0，圆心 (1, 1) 到它的距离为 = 0，说明直线穿过圆心，此时是相交而不是相切，故 D 项错误。 综上，成立的判断是 A、B、C 三项。含参数的直线方程先找它恒过的定点，往往一击见效。 【考查知识点】含参数直线恒过定点的分析，以及直线与圆公共点的存在性 【易错点】把"直线过圆心"误判为相切；含参数直线要先化为"过定点的直线族"来思考 三、填空题（5×3=15分） 12． 某市轨道交通 4 号线的一段线路在图上为直线 3x − 4y + 12 = 0（单位：百米），一个待选址的社区出入口坐标为 (2, 3)。在测算最小拆迁退距时，需要知道该出入口到这段线路的距离，这个距离为 ___________。 【答案】 【解析】直接套用点到直线的距离公式，此处 A = 3，B = −4，C = 12，点的坐标为 (2, 3)。 分子为 = = 6，分母为 = 5。 所以 d = （百米）。 答案为 。 【考查知识点】点到直线的距离公式 【易错点】代入时把 B = −4 的负号丢掉，会算出 = 30，得到错误的结果 6 13． 某圆形无人机巡航区的边界方程为 + = 4（单位：百米）。一条巡检航线所在直线为 x + y − 1 = 0，它与边界圆交于 M、N 两点，则这段航线落在巡航区内的长度 为 ___________。 【答案】2 【解析】圆心为 (1, 2)，半径 r = 2。圆心到直线的距离 d = = = 。 因为 < 2 = r，直线与圆相交，落在圆内的部分是一条弦。 半弦长为 = = ，故 = 2（百米）。 答案为 2。 【考查知识点】弦长公式与分母有理化 【易错点】把 直接当成 的近似值而不用分母有理化，容易算出错误的 d 14． 某园区一条主干道的中心线方程为 3x + 4y + c = 0（单位：米），路边一盏智慧路灯的圆形照明边界圆心为 (2, −1)、半径为 2。若主干道中心线恰好与该照明边界相切，则正数 c 的值为 ___________。 【答案】8 【解析】相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，据此列方程。 由 = 2，即 = 2，得 = 10。 去掉绝对值符号得 2 + c = 10 或 2 + c = −10，解得 c = 8 或 c = −12。 题目要求 c 为正数，故取 c = 8。 答案为 8。若漏掉"正数"这一限制会多写一个 c = −12，这也是本题最主要的失分点。 【考查知识点】由直线与圆相切反求参数，绝对值方程的分类讨论 【易错点】解绝对值方程只取正的一支；同时要注意题干中"正数"的限定 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某测绘组在一片开阔地上标定三处无人机信标，坐标分别为 A(0, 0)、B(2, 0)、D(0, 4)（单位：百米）。现要画一个恰好经过这三点的圆，作为无人机的巡航边界。 （1）求这个圆的标准方程； （2）判断第四个待定点 P(3, 3) 落在该圆的内部、圆上还是外部，并说明理由。 【答案】解：（1）三点 A、B、D 不共线，故过这三点的圆唯一。用弦的垂直平分线来找圆心。 A(0, 0) 与 B(2, 0) 都在横轴上，弦 AB 的中点为 (1, 0)，它的垂直平分线是 x = 1； A(0, 0) 与 D(0, 4) 都在纵轴上，弦 AD 的中点为 (0, 2)，它的垂直平分线是 y = 2。 两条垂直平分线交于一点，即圆心 C(1, 2)。 半径的平方为 + = 1 + 4 = 5， 所以所求圆的标准方程为 + = 5。 （2）把 P(3, 3) 的坐标代入方程左边，得 + = 4 + 1 = 5， 它恰好等于半径的平方，说明 P 到圆心的距离等于半径，故 P 落在该圆上。 【解析】思路点睛：三点定圆的通法是找两条弦的垂直平分线求交点。本题的弦 AB 落在横轴上、弦 AD 落在纵轴上，两条垂直平分线一眼就能写出来，完全不必设圆心坐标列方程组。 关键步骤：由 x = 1 与 y = 2 联立得圆心 (1, 2)，再由它到 A 的距离算出半径的平方等于 5。 判定点与圆的位置关系时，不必开方求半径，直接比较坐标代入后的值与半径的平方即可，比值等于 5 就是在圆上。 【考查知识点】三点定圆（垂直平分线求圆心）与点与圆的位置关系 【易错点】把半径的平方 5 当成半径 ；第二问若仍用勾股关系而不用代入法，计算量会明显变大 16． 某市轨道交通 2 号线的一段线路在图上近似为直线 l: 3x + 4y − 20 = 0（单位：百米），一处夜间停车用的圆形调度场地以原点为圆心、半径为 5。 （1）判断直线 l 与圆形场地边界的位置关系，并说明理由； （2）若两者相交，求 l 被圆形场地边界截得的弦长。 【答案】解：（1）圆心为原点 O，半径 r = 5。 O 到 l 的距离为 d = = = 4。 因为 d = 4 < 5 = r，所以直线 l 与圆形场地边界相交，且有两个公共点。 （2）记两个公共点为 M、N，过圆心 O 作弦的垂线，垂足为 H。 在直角三角形 OHM 中，斜边 OM = r = 5，直角边 OH = d = 4， 于是半弦长 MH = = = = 3。 所以弦长 = 2 × 3 = 6（百米）。 【解析】思路点睛：判断直线与圆的位置关系，永远先把圆心到直线的距离 d 算出来，再与 r 作比较，不必去解方程组求交点。 关键步骤：分子 = 20，分母 = 5，得 d = 4，小于半径 5，因此用弦长公式成立。 弦长公式记成"半弦长等于 "，最后别忘了乘 2；这里也可记成常见的勾股数 3、4、5，半弦长直接就是 3。 【考查知识点】直线与圆的位置关系判定及弦长计算 【易错点】算出 d 之后忘记与 r 比较就套弦长公式；或把半弦长 3 误写成弦长 17． 某港区一台新型龙门吊的回转验收线俯视图为圆 C: + = 4（单位：十米），一名验收员站在点 P(4, 0) 处，用激光笔沿两条切线方向分别照向回转圆。 （1）求过点 P 的圆 C 的切线方程； （2）求激光束从 P 到切点之间的长度。 【答案】解：（1）先确认 P 与圆的位置： + = 16 > 4，P 在圆外，故过 P 有两条切线。 若切线没有斜率，其方程只能是 x = 4，此时圆心到它的距离为 4，不等于半径 2，所以它不是切线；可见两条切线的斜率都存在。 设切线方程为 y = k(x − 4)，即 kx − y − 4k = 0。 由圆心到切线距离等于半径，得 = 2，即 = 2。 两边平方得 = 4( + 1)，化简为 = 4，即 = ，解得 k = ±。 代入得两条切线分别为 y = (x − 4) 与 y = −(x − 4)， 化为一般式即 x − y − 4 = 0 与 x + y − 4 = 0。 （2）设切点为 T，则半径 CT 垂直于切线 PT，在直角三角形 PCT 中，斜边为 = 4。 于是 = = = = 2（十米）。 【解析】思路点睛：过圆外一点的切线一定有两条，用点斜式设方程时，要先把"斜率不存在"的情形单独排除掉，否则会漏解，这是本题的第一处得分点。 关键步骤：把"圆心到直线的距离等于半径"列成关于 k 的方程，解出 k = ±，再化成对称的两条一般式。 第二问不必先求切点，直接用切线长公式 ，抓住半径垂直于切线构造直角三角形即可。 【考查知识点】过圆外一点的切线方程（判别式与距离法）与切线长 【易错点】设点斜式时漏掉斜率不存在的情形；切线长忘了用勾股关系而误取 本身 18． 某体育场外围修了一圈圆形巡检步道，记其俯视图边界为 C: + = 25（单位：十米）；一条运送器材的直线通道所在直线为 l: 3x + 4y − 5 = 0。 （1）判断直线 l 与圆形步道的位置关系，并求 l 被该圆截得的弦长； （2）拟在圆形步道上选一处安装照明灯，使它到通道 l 的距离最大，求这个最大距离及此时灯所在的坐标。 【答案】解：（1）圆心为 C(2, −2)，半径 r = 5。 圆心到 l 的距离为 d = = = 。 因为 < 5 = r，所以直线 l 与圆相交。 半弦长为 = = = = ， 故弦长为 2 × = （十米）。 （2）直线 l 的系数为 (3, 4)，取与之垂直的方向 (, )，它刚好是单位向量。 把圆心 C(2, −2) 代入 3x + 4y − 5，得 6 − 8 − 5 = −7 < 0， 因此由圆心沿上述单位向量的反方向移动半径长，到达的点到 l 的距离最大。 该点坐标为 (2 − 5 × , −2 − 5 × ) = (−1, −6)。 最大距离为 d + r = + 5 = （十米）。 检验： + = 9 + 16 = 25，该点确实在圆 C 上；它到 l 的距离为 = ，与所得结论一致。 【解析】思路点睛：第一问仍是"先算 d 再比 r"，算弦长时善于用 25 − 凑成一个完全平方数 ，可以少走弯路。 关键步骤：第二问的关键是把最大距离认清为 d + r，而取最大距离的点落在"从圆心出发、垂直于 l 且背离 l"的半径端点上。 判断移动方向的小技巧：把圆心坐标代入直线的左边表达式，若结果为负，就沿法向量的反方向走；若为正，就沿法向量的方向走。 最后一定要把求出的点代回圆的方程验一次，确认它没有跑到圆外去。 【考查知识点】直线与圆相交的弦长，以及圆上点到直线距离的最大值 【易错点】混淆"最大距离 d + r"与"最小距离 r − d"；取点时弄错移动方向会得到 (−1, −6) 的对径点 (5, 2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第14节 直线与圆的方程 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某市轨道交通 5 号线的一段规划走向在坐标图上近似为直线 3x − 4y + 5 = 0（单位：百米），一处拟建换乘枢纽的坐标定为 (1, 4)。为了给站房留出合规退距，需要先算出该枢纽到这段规划线的最短距离，其值为 A. B. 8 C. D. 2． 某型号智慧路灯的照明区边界在设计图上是一个圆，测绘组把它记录为一般方程 + − 4x + 6y + 4 = 0（单位：米）。若沿边界等距安装灯带，需要先弄清这个圆的半径，其值为 A. 9 B. C. 3 D. 4 3． 某港口龙门吊的回转大车轨道俯视图是一个圆，方程为 + = 25（单位：米）。安装阶段要在轨道围成的场地内画一条检修基准通道，其所在直线为 3x + 4y + 13 = 0，则这条通道落在场地内的部分长为 A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 4． 一架测绘无人机沿一条圆形航线巡航，航线方程为 + = 5（单位：百米）。当它飞到航线上一点 P(4, 2) 时需立即直线脱离，脱离方向取航线在该点的切线方向，则这条切线所在的直线方程为 A. x − 2y = 0 B. 2x − y − 6 = 0 C. x + 2y − 8 = 0 D. 2x + y − 10 = 0 5． 某市轨道交通有两条待建的规划线，在图上分别记为 : ax + 2y − 1 = 0 与 : 2x − 4y + 3 = 0。若设计要求两条线路同向平行敷设且不重合，则实数 a 的值为 A. −1 B. 1 C. 4 D. −4 6． 某型号智慧路灯沿一条人行步道单侧立杆，实测灯杆基座中心的坐标为 (−1, 2)，有效照明半径为 2（单位：米），步道中心线所在直线为 3x + 4y − 6 = 0。则这条步道中心线与照明区边界的位置关系为 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 圆心落在步道中心线上 7． 某圆形无人机巡航区的边界方程为 + = 25（单位：百米），一台地面测控车停在点 P(7, 1) 处，向边界发射一束恰好与圆相切的直线信号，则这束信号切线段的长为 A. 5 B. 5 C. D. 8． 某片区要并排布设两座同型号智慧路灯的圆形照明区，其边界在设计图上分别为 : + = 4 与 : + = 9（单位：米）。这两块照明区边界之间的位置关系为 A. 相交 B. 内切 C. 外离 D. 外切 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某光伏场区沿山脊修了一条圆形巡检环道，记其俯视图边界为 C: + = 25（单位：百米）；一条清洗车间的进出通道所在直线为 4x + 3y − 4 = 0。就圆 C 与这条通道给出的下列判断中，成立的有 A. 圆心到进出通道的距离为 4 B. 通道被圆形环道截得的部分长为 6 C. 坐标原点恰好落在圆形环道上 D. 圆形环道上的点到进出通道的最小距离为 9 10． 某智慧园区用含参数方程 + − 6x + 2y + m = 0（m 为实数）来拟合不同时段的圆形照明边界。就这个方程给出的下列判断中，成立的有 A. 当 m = 1 时，所得圆的半径为 3 B. 该方程表示一个圆时，应满足 m < 10 C. 该方程表示圆时，圆心总落在直线 x + 3y = 0 上 D. 当 m = 6 时，坐标原点落在所得圆的内部 11． 某测绘队为一处临时禁飞区划定了圆形边界 C: + = 2（单位：千米），一条备选航线的所在直线记为 kx − y + 2 = 0（k 为实数）。就这条直线与禁飞区给出的下列判断中，成立的有 A. 无论 k 取什么值，该直线都经过定点 (0, 2) B. 点 (0, 2) 恰好落在禁飞区边界上 C. 无论 k 取什么值，该直线与禁飞区边界总有公共点 D. 当 k = −1 时，该直线与禁飞区边界相切 三、填空题（5×3=15分） 12． 某市轨道交通 4 号线的一段线路在图上为直线 3x − 4y + 12 = 0（单位：百米），一个待选址的社区出入口坐标为 (2, 3)。在测算最小拆迁退距时，需要知道该出入口到这段线路的距离，这个距离为 ___________。 13． 某圆形无人机巡航区的边界方程为 + = 4（单位：百米）。一条巡检航线所在直线为 x + y − 1 = 0，它与边界圆交于 M、N 两点，则这段航线落在巡航区内的长度 为 ___________。 14． 某园区一条主干道的中心线方程为 3x + 4y + c = 0（单位：米），路边一盏智慧路灯的圆形照明边界圆心为 (2, −1)、半径为 2。若主干道中心线恰好与该照明边界相切，则正数 c 的值为 ___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某测绘组在一片开阔地上标定三处无人机信标，坐标分别为 A(0, 0)、B(2, 0)、D(0, 4)（单位：百米）。现要画一个恰好经过这三点的圆，作为无人机的巡航边界。 （1）求这个圆的标准方程； （2）判断第四个待定点 P(3, 3) 落在该圆的内部、圆上还是外部，并说明理由。 16． 某市轨道交通 2 号线的一段线路在图上近似为直线 l: 3x + 4y − 20 = 0（单位：百米），一处夜间停车用的圆形调度场地以原点为圆心、半径为 5。 （1）判断直线 l 与圆形场地边界的位置关系，并说明理由； （2）若两者相交，求 l 被圆形场地边界截得的弦长。 17． 某港区一台新型龙门吊的回转验收线俯视图为圆 C: + = 4（单位：十米），一名验收员站在点 P(4, 0) 处，用激光笔沿两条切线方向分别照向回转圆。 （1）求过点 P 的圆 C 的切线方程； （2）求激光束从 P 到切点之间的长度。 18． 某体育场外围修了一圈圆形巡检步道，记其俯视图边界为 C: + = 25（单位：十米）；一条运送器材的直线通道所在直线为 l: 3x + 4y − 5 = 0。 （1）判断直线 l 与圆形步道的位置关系，并求 l 被该圆截得的弦长； （2）拟在圆形步道上选一处安装照明灯，使它到通道 l 的距离最大，求这个最大距离及此时灯所在的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第14节 直线与圆的方程 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 点到直线的距离 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 配方法求圆的半径 数学运算 基础 C 3 单项选择题 5 弦长的计算 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 过圆上一点的切线 逻辑推理 基础 D 5 单项选择题 5 两直线平行求参 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 直线与圆的位置关系 逻辑推理 基础 C 7 单项选择题 5 切线长的计算 数学运算 基础 B 8 单项选择题 5 两圆的位置关系 直观想象 基础 D 9 多项选择题 6 弦长与距离最值 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 圆的方程与参数条件 逻辑推理 中档 ABC 11 多项选择题 6 直线族过定点与位置关系 直观想象 中档 ABC 12 填空题 5 点到直线的距离 数学运算 基础 {f|6|5} 13 填空题 5 弦长的计算 数学运算 中档 2{s|2} 14 填空题 5 相切求参数 逻辑推理 中档 8 15 解答题 6 三点定圆与位置判定 直观想象 中档 见解析 16 解答题 6 位置关系与弦长 数学运算 中档 见解析 17 解答题 7 切线方程与切线长 数学运算 略难 见解析 18 解答题 8 弦长与距离最大值 直观想象 略难 见解析 难度分布：基础 9 题，中档 7 题，略难 2 题。全卷共 18 题，满分 100 分。选择题与填空题覆盖点到直线的距离、圆的方程互化、弦长、切线与位置关系的判定；四道解答题依次处理三点定圆、位置关系与弦长、切线方程与切线长、以及距离最大值问题，突出"一切先用距离说话"这一解析几何基本套路。 学科网（北京）股份有限公司 $