精品解析：贵州黔东南苗族侗族自治州岑巩县第四中学2026-2027学年上学期九年级数学9月学情检测试卷

2026-2027学年九年级数学9月学情检测试卷 时间：120分钟，满分：150分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）． A. 5 B. C. 1 D. 7. 当时，的函数值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 12. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13. 分解因式：x2+3x=____________ 14. 一元二次方程的根是__________． 15. 用手竖直向上抛出一个沙包，沙包离地面的高度h ( 单位：m) 与抛出后沙 包运动的时间t ( 单位：s) 之间的关系式是，沙包能达到的最大高度是______________． 16. 如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 小明与小颖两位同学解方程的过程如下表： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． 他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 19. 某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 20. 阅读下面的例题：求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值． （2）判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 21. 如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． （1）修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） （2）若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 22. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ； （2）在平面直角坐标系内画出二次函数的图象； （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ； （4）根据图象回答：当的值为 时，． 23. 如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的三边长，易知，这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 24. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为450元。 25. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学9月学情检测试卷 时间：120分钟，满分：150分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：中， 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 2. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选A． 3. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 6. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）． A. 5 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用方程的根满足方程这一性质，将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 则， 解得． 7. 当时，的函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，． 8. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 9. 在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 10. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 11. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴与开口方向，将各点转化到对称轴同侧，利用增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ∵， ∴． 12. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13. 分解因式：x2+3x=____________ 【答案】x（x+3） 【解析】 【详解】考点：因式分解-提公因式法． 分析：观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案． 解答：解：x2+3x=x（x+3）． 故答案为x（x+3） 点评：主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题． 14. 一元二次方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 15. 用手竖直向上抛出一个沙包，沙包离地面的高度h ( 单位：m) 与抛出后沙 包运动的时间t ( 单位：s) 之间的关系式是，沙包能达到的最大高度是______________． 【答案】 【解析】 【分析】沙包高度是关于时间的开口向下的二次函数，最大高度对应该二次函数顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式计算即可． 【详解】解：∵ ，其中二次项系数， ∴ 函数图象开口向下，存在最大值，最大值为二次函数顶点的纵坐标， 对于二次函数，顶点纵坐标为， 将，，代入得：， 因此沙包能达到的最大高度是． 16. 如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 【答案】2或6或 【解析】 【分析】先证明，得到，，则，设，结合图形表示出，最后根据的面积等于6，即，代入列方程求解，注意本题中需要分两种情况讨论：第一种情况是点在线段上时；第二种情况是点在线段延长线上时． 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴，，， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 如图2，当点在线段延长线上时， 同理可得，， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∵ ∴； 综上所述，的长为2或6或． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 小明与小颖两位同学解方程的过程如下表： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． 他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】小明和小颖的解法都不正确． 正确解答过程如下： 移项，得， 提取公因式，得， 整理，得， 或 ， 解得，． 【解析】 【详解】解：小明的错误：方程两边同时除以含未知数的整式，未考虑的情况，导致丢失根． 小颖的错误：提取公因式时去括号符号处理错误，将错算为，导致求解结果错误． 正确解答过程略． 19. 某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为 【解析】 【分析】设吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据“4月份的销售量为320个，6月份的销售量为500个”列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 20. 阅读下面的例题：求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值． （2）判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】（1）的最小值为 （2）有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴代数式的最小值为2； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ∴代数式有最大值，最大值为． 21. 如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． （1）修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） （2）若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】（1） （2）长为20米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【小问1详解】 解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； 【小问2详解】 解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 22. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ； （2）在平面直角坐标系内画出二次函数的图象； （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ； （4）根据图象回答：当的值为 时，． 【答案】（1）， （2） （3）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （4）或1 【解析】 【分析】（1）化为顶点式求解即可； （2）根据列表、描点、连线的步骤画图即可； （3）根据图象写出一条性质即可； （4）根据图象求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：列表得： 建立平面直角坐标系并描点连线后得到该抛物线的简图略； 【小问3详解】 解：当时，y随x的增大而增大（当时，y随x的增大而减小） 【小问4详解】 解：根据图象可得，当的值为或1时，y=0． 23. 如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的三边长，易知，这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1） (答案不唯一) （2） 证明： 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理的应用、一元二次方程根的情况和完全平方公式，掌握勾股定理、一元二次方程根的情况与的关系和完全平方公式是解决此题的关键． （1）根据勾股定理，找出一组勾股数，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可写出结论； （2）求出，然后根据勾股定理和平方的非负性即可证出结论． 【小问1详解】 解：当，，时， 勾系一元二次方程为； 故答案为： (答案不唯一) 【小问2详解】 略 24. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为450元。 【答案】（1）（） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润为450元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用每盒的利润数量日销售利润列式解答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 把，和，分别代入可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（）； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润为450元． 25. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； （2）当为秒或秒，的面积等于． 【解析】 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； 【小问2详解】 解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $