精品解析：贵州黔西市世杰中学2026－2027学年九年级上学期数学第一次阶段学情自测（北师大版）

练习（一） 九年级数学（北师大） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则代数式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线，，则菱形的边长是（ ） A. 5 B. 9 C. D. 40 7. 已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A. B. C. D. 9. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 10. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 12. 我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 14. 如图，在长方形中，，，，则点的坐标为________． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围为______． 16. 如图，在正方形中，点为上一点，分别交于，垂足为，连接．若，，则的长为______． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 老师让同学们解方程，小红同学给出了如下的解答过程： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 （1）小红同学是用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第______步开始出现错误． （2）请你用适当的方法解该方程． 19. 如图，四边形ABCD是菱形，∠ADB=30°，AC=6，求： （1）∠ABC，∠BCD的度数． （2）BC，BD 的长． 20. 如图，为平行四边形的对角线，，E是的中点，F是的中点，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 21. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 22. 如图，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，则四边形的面积是___________． 23. 已知：关于x的方程． （1）若，求该方程的解． （2）若是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 24. 如图，在中，对角线与相交于点，点，是线段上的两点，且，连接，，，． （1）请你从①；②；③中分别选一个填入下面的横线中： I：若添加条件________，可证四边形为矩形； II：若添加条件________，可证四边形为菱形； （2）从第（1）问的I，II中任选一个，写出证明过程． 25. 阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． ______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 练习（一） 九年级数学（北师大） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则代数式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，原方程是关于的一元二次方程，方程整理后，的最高次数为，且只含未知数，依次代入选项验证即可． 【详解】解：选项A：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故A选项不符合要求； 选项B：将代入，可得：，整理为，是关于的一元二次方程，故B选项符合要求； 选项C：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故C选项不符合要求； 选项D：将代入，可得：，含有，两个未知数，不是关于的一元二次方程，故D选项不符合要求． 2. 传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半列出计算即可． 【详解】解：∵菱形窗花的两条对角线长度分别为和， ∴这个菱形窗花的面积是． 3. 关于x的一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 利用方程的根的定义，将代入方程即可直接求出的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， 即． 故选：A． 6. 如图，在菱形中，对角线，，则菱形的边长是（ ） A. 5 B. 9 C. D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 7. 已知方程，利用根的判别式判断方程的根的情况，则a，b，c对应的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式，对应找出各项系数，注意系数要包含本身的符号． 【详解】解：∵原方程为 ，符合一元二次方程的一般形式， ∴对应可得 ，，． 8. 如图，要使成为菱形，需要添加的条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识．根据菱形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：根据对角线垂直的平行四边形是菱形，可知选项B正确， 故选：B． 9. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案． 【详解】解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握对角线互相平分． 10. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，求解即可． 【详解】解：由刻度尺的读数可知，， 在中，点是斜边的中点， ∴． 11. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该方案错误． 选项B：两组对边分别相等只能判定这个四边形是平行四边形，不能直接得出它是矩形，该方案错误． 选项C：仅对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，该方案错误． 选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量出四边形有三个角为直角，就可以判定它是矩形，该方案正确． 12. 我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】先利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，对比即可得出结论． 【详解】解：配方得， 解得，， 线段长度必须为正数， 该方程符合几何意义的解为， 在中，， ，， 由勾股定理得， 在斜边上截取， ． 线段的长表示方程的一个解． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 14. 如图，在长方形中，，，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得轴，轴，，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∴轴，轴，， ∴点的坐标为． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围为______． 【答案】m≤4## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点为上一点，分别交于，垂足为，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，如图所示，过点作，交于点，可得是的垂直平分线，再证明，得到，，由等面积法得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是的中垂线，即， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等面积法求高，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法计算即可； （2）先展开括号并移项，再利用直接开平方法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴． 18. 老师让同学们解方程，小红同学给出了如下的解答过程： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 （1）小红同学是用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第______步开始出现错误． （2）请你用适当的方法解该方程． 【答案】（1）配方法；二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程． （1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变； （2）可使用配方法求解． 【小问1详解】 解：由解方程步骤可知：小红同学是用的配方法求解， 第二步等式右边没有加，出现错误 故答案为：配方法，二； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开平方，得， ∴，． 19. 如图，四边形ABCD是菱形，∠ADB=30°，AC=6，求： （1）∠ABC，∠BCD的度数． （2）BC，BD 的长． 【答案】（1）60°，120° （2）6， 【解析】 【分析】（1）四边形ABCD是菱形，得到AO＝CO＝3，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝AD，ADBC，ABCD，得到∠ABD＝30°，∠CBD＝30°，即可得到∠ABC的度数，进一步得到∠BCD的度数； （2）在Rt△BOC中，可得BC＝2OC＝6，由勾股定理可得BO的长度，进一步得到BD的长 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝3，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝AD，ADBC，ABCD， ∴∠ABD＝∠ADB＝30°，∠CBD＝∠ADB＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝60°， ∵ABCD， ∴∠BCD＝180°－∠ABC＝120°． 【小问2详解】 解：在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OC＝3，∠CBD＝30°， ∴ BC＝2OC＝6， 由勾股定理得， ， ∴， ∴ BD＝2BO＝6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20. 如图，为平行四边形的对角线，，E是的中点，F是的中点，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ，， ∵F是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E是的中点， ， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线、菱形的判定等知识；掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，由平行线的性质得，，由可判定，则，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得，即可得证． （2）由三角形中位线可求出的长，由勾股定理求出，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵E是的中点，F是的中点， ， ∵四边形是菱形． ， ，， ， ， ， ． 21. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为边上一点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由和，得四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是矩形． （2）根据两直线平行得内错角相等，，又有平分，所以得，等量代换得，由等角对等边得 ，所以得，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形． ∴，即， 在中，有， ∴． 22. 如图，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，则四边形的面积是___________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可证明，再证明，据此结合全等三角形的判定定理可证明结论； （2）连接交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，可证明，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ． 23. 已知：关于x的方程． （1）若，求该方程的解． （2）若是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：由题意可分为：当时，则方程变为，此时方程有解； 当时， ∵， ∴， ∴方程恒有实数解； 综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解； 即小慧同学的观点正确． 【解析】 【分析】（1）把代入方程，然后根据因式分解法求解方程即可； （2）把代入方程得，然后求解即可； （3）根据题意可分为当和两种情况进行分类求解． 【小问1详解】 解：把代入方程得：， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：把代入方程得， 化简得：， 解得：； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，对角线与相交于点，点，是线段上的两点，且，连接，，，． （1）请你从①；②；③中分别选一个填入下面的横线中： I：若添加条件________，可证四边形为矩形； II：若添加条件________，可证四边形为菱形； （2）从第（1）问的I，II中任选一个，写出证明过程． 【答案】（1）Ⅰ③；Ⅱ①或② （2）证明：选择I时，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， 当添加条件③时， ， 平行四边形是矩形； 选择II时，有两种情况： A．当添加条件①时，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当添加条件①时，则平行四边形是菱形； ， ， 平行四边形为菱形； B．当添加条件②时，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当添加条件②时，则平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题目要求添加合适的条件即可； （2）根据不同的选择，利用平行四边形的判定与性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． ______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 【答案】（1）． （2），；阴影部分的面积是． 【解析】 【分析】（）按照题中提供的解法思路进行求解即可； （）根据正方形的边长为，即可表示出与； 由题意得，则阴影部分的面积为，设，，则，，再求出，最后代入即可求解． 【小问1详解】 解：设，， 则，， 所以； 【小问2详解】 解：由题意可知，， 故答案为：，； 由题意，得， 阴影部分的面积为， 设，， 则，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因此，阴影部分的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $