30.1.1直线与圆相离、相切、相交教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题名称 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 课型 新授课 教学资源：课件、钥匙环、直尺、圆规 教学内容解析 内容：直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义及判定方法 《直线与圆的位置关系》是在学生学习了点与圆的位置关系、圆的有关性质的基础上的继续学习，是“图形与几何”领域的重要内容。直线与圆的位置关系是研究圆的切线、圆与圆的位置关系等后续知识的基础，在整个几何知识体系中起着承上启下的作用。 本节内容通过类比点与圆的位置关系的研究方法，引导学生经历观察、操作、探究、归纳等数学活动，建立直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的数量关系之间的对应联系，体会数形结合的数学思想，发展直观想象和逻辑推理的核心素养。 目标与目标解析 单元整体目标： 本章是在小学学过的圆的初步知识和前面学过的图形的性质等知识的基础上，进一步研究圆的有关性质。圆是一种特殊的曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。本章主要内容有圆的有关概念，圆的性质，直线与圆的位置关系，三角形的内切圆等。 对应课标要求： ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念。 ②探索并证明垂径定理。 ③探索圆心角、弧、弦之间的关系。 ④探索圆周角与同弧所对的圆心角的关系，证明圆周角定理及其推论。 ⑤探索并了解点与圆的位置关系。 ⑥了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 ⑦探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 ⑧了解三角形的内心。 课时目标（核心素养导向）： 1. 【数学抽象】从太阳升起、钥匙环移动等实际情境中抽象出直线与圆的三种位置关系，理解相离、相切、相交的概念，知道切线、切点、割线的含义。 2. 【逻辑推理】类比点与圆的位置关系的研究方法，探究圆心到直线的距离d与半径r的数量关系和位置关系之间的对应，掌握直线与圆位置关系的判定方法。 3. 【直观想象】能根据d与r的数量关系判断直线与圆的位置关系，能根据位置关系说出d与r的大小关系，体会数形结合的思想方法。 4. 【数学运算】能正确计算圆心到直线的距离，并利用d与r的数量关系解决简单的实际问题。 课时目标解析： 达成目标1的标志是：学生能从实际情境中识别直线与圆的三种位置关系，能说出相离、相切、相交的定义，能准确指认切线、切点和割线。 达成目标2的标志是：学生能通过类比点与圆的位置关系，自主探究得出d与r的数量关系对应法则，理解为什么相切时恰好d=r。 达成目标3的标志是：学生能熟练运用d>r、d=r、d<r三种数量关系判断直线与圆的位置关系，反之也能根据位置关系判断d与r的大小。 达成目标4的标志是：学生能结合已学的距离计算方法（如面积法求斜边上的高）求出圆心到直线的距离，并正确判断位置关系。 学情分析 已有的知识、认知水平： 九年级学生已经学习了点与圆的位置关系、圆的基本性质、点到直线的距离等知识，具备了一定的观察、操作和探究能力。学生在生活中也积累了直线与圆位置关系的感性经验（如太阳与地平线），这为学习本节内容奠定了基础。同时，学生已经初步掌握了类比、归纳等数学思想方法，能够在教师引导下进行简单的探究活动。 困惑点或探索点： 学生容易混淆“直线与圆有公共点”时公共点的个数（1个还是2个），特别是相切时“有且只有一个公共点”中的“有且只有”的含义需要重点辨析。另外，学生在计算圆心到直线的距离时，遇到需要用面积法求斜边上的高等技巧性问题时可能会遇到困难。 教学重难点 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法（d与r的数量关系） 教学难点：理解相切时“有且只有一个公共点”的含义；灵活运用d与r的数量关系判断直线与圆的位置关系 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：直线与圆的位置关系是圆的重要内容之一，既是对点与圆位置关系研究方法的延续，又是后续学习切线的性质与判定、三角形内切圆等知识的基础，在整个几何知识体系中具有承上启下的重要地位。 学什么：理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的概念；掌握根据圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判断直线与圆位置关系的方法。 怎么学：采用“情境引入—操作探究—归纳总结—应用巩固”的教学模式。通过太阳升起的生活情境和钥匙环移动的动手操作，让学生直观感知直线与圆的三种位置关系；类比点与圆的位置关系的研究方法，引导学生探究d与r的数量关系对应法则；通过讲练结合，巩固所学知识，培养学生运用知识解决问题的能力。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾： 问题1：点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 问题2：什么是点到直线的距离？ 情境引入： 如果我们把太阳看成一个圆，把地平线看成一条直线，那你能想象一下，太阳升起的过程中，太阳与地平线有几种不同的位置关系吗？ 师：前面我们研究了点与圆的位置关系，大家回忆一下，点与圆有哪几种位置关系？我们是怎么判定的？ 生：点在圆外、点在圆上、点在圆内。通过比较点到圆心的距离d与半径r的大小来判定：d>r时点在圆外，d=r时点在圆上，d<r时点在圆内。 师：很好。那大家再想想，什么是点到直线的距离？ 生：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 师：如果我们把太阳看成一个圆，把地平线看成一条直线，那太阳升起的过程中，太阳与地平线有几种不同的位置关系呢？今天我们就来研究直线与圆的位置关系。 学生能准确说出点与圆的三种位置关系及判定方法 学生能正确描述点到直线的距离的概念 学生能从生活情境中发现直线与圆的位置关系 通过复习点与圆的位置关系和点到直线的距离，为新课学习做好知识铺垫。从学生熟悉的太阳升起的生活情境引入，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学与生活的密切联系。 概念探究 活动一：动手操作，感知位置关系 在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，观察直线与圆的公共点个数的变化。 填空： ①直线与圆______公共点，这时称直线与圆______； ②直线与圆______公共点，这时称直线与圆______，这条直线叫作圆的______，这个点叫作______； ③直线与圆______公共点，这时称直线与圆______，这条直线叫作圆的______。 活动二：探究数量关系 类比点与圆的位置关系的研究方法，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，思考：直线l与⊙O的位置关系与d、r之间有什么对应关系？ 想一想：为什么相切时恰好有d=r？ 师：请同学们拿出钥匙环（或用圆圈代替），在画有直线的纸上移动，观察直线与圆的公共点个数有什么变化。 （学生动手操作，观察并交流） 师：通过观察，你发现直线与圆有几种位置关系？ 生：三种。有时候没有交点，有时候有一个交点，有时候有两个交点。 师：很好。我们把这三种位置关系分别叫做相离、相切、相交。 教师板书： - 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离； - 直线与圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； - 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。 师：我们研究点与圆的位置关系时，是通过比较d与r的大小来判定的。那直线与圆的位置关系，能不能也用d与r的数量关系来判定呢？请大家类比点与圆的情况，小组讨论一下。 （学生小组讨论，教师巡视指导） 生：我们发现，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离d比半径r大；当直线与圆相切时，d等于r；当直线与圆相交时，d比r小。 师：非常好！谁能说说为什么相切时恰好d=r？ 生：因为当d=r时，圆心到直线的垂线段的长度正好等于半径，也就是说垂足正好在圆上，这时候直线与圆只有这一个公共点。 教师总结并板书： 直线l与⊙O相离 ⇔ d > r 直线l与⊙O相切 ⇔ d = r 直线l与⊙O相交 ⇔ d < r 学生能通过动手操作正确识别三种位置关系 学生能准确说出相离、相切、相交的定义及切线、切点、割线的概念 学生能通过类比探究得出d与r的数量关系对应法则 学生能理解相切时d=r的道理 通过动手操作钥匙环移动，让学生直观感知直线与圆的三种位置关系，经历知识的形成过程。类比点与圆的位置关系的研究方法，引导学生自主探究d与r的数量关系对应法则，培养学生的类比推理能力和归纳概括能力，体会数形结合的数学思想。 课堂练习 例1：已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为下列各值，判断直线l与⊙O的位置关系： （1）4cm；（2）5cm；（3）6cm。 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。 （1）当r满足什么条件时，直线AB与⊙C相离？ （2）当r满足什么条件时，直线AB与⊙C相切？ （3）当r满足什么条件时，直线AB与⊙C相交？ 课堂练习： 1. 已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是______。 2. 已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相离，则d的取值范围是______。 师：我们来做几道练习，巩固一下今天所学的知识。 例1请同学们口答。 生：（1）因为4<5，即d<r，所以直线l与⊙O相交； （2）因为5=5，即d=r，所以直线l与⊙O相切； （3）因为6>5，即d>r，所以直线l与⊙O相离。 师：很好。我们来看例2。这道题需要先求出圆心C到直线AB的距离，谁有办法？ 生：可以用面积法。△ABC的面积等于×AC×BC，也等于×AB×高，所以可以求出AB边上的高，也就是圆心C到直线AB的距离。 教师板书解题过程： 解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB===5。 设圆心C到直线AB的距离为d， ∵S△ABC=×AC×BC=×AB×d， ∴d====2.4（cm）。 （1）当d>r，即r<2.4cm时，直线AB与⊙C相离； （2）当d=r，即r=2.4cm时，直线AB与⊙C相切； （3）当d<r，即r>2.4cm时，直线AB与⊙C相交。 师：请同学们完成课堂练习，做完后同桌互相检查。 （学生独立完成练习，教师巡视指导） 学生能正确运用d与r的数量关系判断直线与圆的位置关系 学生能掌握用面积法求圆心到直线的距离的方法 学生能规范书写解题过程 通过由易到难的例题和练习，巩固所学知识，让学生熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法。例2结合直角三角形，需要用面积法求距离，培养学生综合运用知识解决问题的能力。 反思总结 学生为主体发言总结： 今天我们学习了什么知识？你有哪些收获？ 你还有什么疑问？ 师：这节课快要结束了，请同学们回忆一下，今天我们学习了哪些知识？你有什么收获？ 生1：我们学习了直线与圆的三种位置关系：相离、相切、相交。 生2：我们知道了可以用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系：d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。 生3：我们还知道了切线、切点和割线的概念。 师：大家总结得很好。今天我们通过类比点与圆的位置关系的研究方法，探究了直线与圆的位置关系，这种类比的数学思想方法在今后的学习中会经常用到。 你还有什么疑问吗？ 学生能主动总结本节课所学的主要知识 学生能梳理知识之间的联系，形成知识体系 学生能提出自己的疑问，进行反思 通过学生自主总结，梳理本节课所学知识，加深对直线与圆位置关系的理解。培养学生归纳概括的能力和反思意识。 图1 例2配图（Rt△ABC与⊙C） 图30.1-1 直线与圆的三种位置关系 板书设计 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 一、直线与圆的位置关系（按公共点个数） 1. 相离：没有公共点 2. 相切：只有一个公共点（切线、切点） 3. 相交：有两个公共点（割线） 二、位置关系的判定（d与r的数量关系） 直线l与⊙O相离 ⇔ d > r 直线l与⊙O相切 ⇔ d = r 直线l与⊙O相交 ⇔ d < r 学科网（北京）股份有限公司 $