30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系及判定方法，通过复习点与圆的位置关系（d与r的关系），类比引出直线与圆的位置关系，搭建新旧知识的学习支架，帮助学生实现知识迁移。 此资料以直观操作和类比推理为特色，学生通过平移三角尺感知公共点个数（几何直观），类比点与圆关系归纳d与r的定量判据（推理意识），典例用勾股定理和面积法求距离d（模型意识）。既培养学生数学眼光与思维，又为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率与学生理解深度。

30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 教学设计 课题 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2026） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）了解直线和圆的位置关系的有关概念（相交·割线、相切·切线·切点、相离）； （2）理解并掌握：设☉O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则相交 ⇔；相切 ⇔；相离 ⇔； （3）体会转化、分类讨论的数学思想方法，提高解决实际问题的能力。 教学重点 理解直线和圆的三种位置关系及其判定方法。 教学难点 类比点和圆的位置关系，得出直线和圆的位置关系。 教学方法 类比引入、问题探究、讲练结合、师生互动 教学准备 多媒体课件、三角尺、方格纸 课后练习 教材第154页习题第1题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习导入 【复习导入】（教师口问、学生口答，教师在黑板上板书） 同学们，我们上一节课已经学过点和圆的位置关系。设☉O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d。 则有：点 P 在圆外 ⇔（如 a 所示）；点 P 在圆上 ⇔（如 b 所示）；点 P 在圆内 ⇔（如 c 所示）。 追问：点是几何图形，把“点”换成一条“直线”，直线与圆又有怎样的位置关系？与点的情况是否仍然一一对应呢？引出课题。 口答点和圆的位置关系及判断依据，观察图形，思考把点换成直线后的位置关系。 回顾点与圆的位置关系及 d 与 r 的定量判据，为类比探究直线与圆的位置关系搭建脚手架。 二、新知探究 1.三种位置关系 【探索归纳】1. 直线与圆的三种位置关系 （学生活动）固定一个圆，把三角尺的边缘平移移动，若把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？ 结论：直线和圆有三种位置关系——相交、相切和相离（教师板书）。 对比例图，明确三种关系及对应名称： 如图(a)，直线 l 和圆有两个公共点，这时就说这条直线和圆相交，这条直线叫作圆的割线； 如图(b)，直线 l 和圆有一个公共点，这时就说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点； 如图(c)，直线 l 和圆没有公共点，这时就说这条直线和圆相离。 （设计意图：通过移动三角尺边缘，直观形成“公共点个数”刻画位置关系的分类。） 动手平移三角尺观察直线与圆的公共点个数，归纳相交、相切、相离及割线、切线、切点等概念。 以运动变化观点直观感知三种位置关系，用公共点个数作为第一分类标准，突破概念理解。 二、新知探究 2.d与r的关系 2. 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 我们知道，点到直线的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足 D 的距离；按此定义，作出圆心 O 到 l 的距离的三种情况（教师板演）。 （学生分组活动）设☉O 的半径为 r，圆心到直线 l 的距离为 d，请模仿点和圆的位置关系，比较 d 与 r 的大小并给出判断结论。结论：直线 l 和☉O 相交 ⇔；相切 ⇔；相离 ⇔。 强调：这里 d 是圆心到直线的垂线段的长度，即点到直线的距离，不是圆心到直线上任一点的距离。 （设计意图：作圆心到直线的垂线段求 d，类比点到圆位置关系建立 d 与 r 的定量判据。） 分组作圆心到直线的垂线段，量出 d 与 r，模仿点和圆的情况归纳 d<r、d=r、d>r 与位置关系的对应。 把位置关系量化到 d 与 r 的比较，渗透转化与分类讨论思想，形成解题的核心依据。 三、典例精讲 （例1） 【典例精讲】例1　如图，已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8 cm，AC=4 cm。 (1) 以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，直线 AB 与☉C 相切？ (2) 以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 为半径作两个圆，这两个圆与直线 AB 分别有怎样的位置关系？ 【答案】 解：(1) 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D。 在 Rt△ABC 中，BC==。 ∴ CD==。 因此，当半径为 cm 时，AB 与☉C 相切。 (2) 由 (1) 可知，圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 2 cm。所以当 r=2 时，，☉C 与直线 AB 相离；当 r=4 时，，☉C 与直线 AB 相交。 【讲评要点】 求直线与圆的位置关系，须先确定“圆心到直线的距离 d”再与半径 r 比较：(1) 用勾股定理得 BC=4√3，再由面积法（斜边 CD 为高）求得 CD=2√3，即 d 的最小值；(2) 半径取 2、4 分别与 2√3 比较：2<2√3 相离、4>2√3 相交。 【追问】若半径 r 取 2√3 cm，直线 AB 与☉C 位置关系如何？若 r=6 cm 呢？ 独立作 CD⊥AB 并计算距离 d，比较 d 与 r（r=2、4、2√3）判断位置关系，参与点评。 以教材例1为载体，训练“求圆心到直线的距离 d→与 r 比较→判定位置”的完整规范流程，落实本节重点。 四、巩固练习 【巩固练习】完成教材第 150 页练习。 逐题练习：根据圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系，判断直线与圆的位置关系，并指出相应的公共点个数、割线或切线名称。 独立完成教材练习，口答位置关系与判定依据，互评订正。 当堂演练 d 与 r 的判定，巩固三种位置关系的运用，及时反馈矫正。 五、课堂小结 【课堂小结】（学生归纳、总结发言，老师点评）本节课应掌握： 1. 直线和圆相交（割线）、直线和圆相切（切线、切点）、直线和圆相离等概念（以公共点个数为分类标准）； 2. 设☉O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则有： 相交 ⇔；相切 ⇔；相离 ⇔。 3. 判定方法归结为“求距离 d、比较 d 与 r”，体现垂线段最短与分类讨论的思想。 归纳三种位置关系的概念与 d、r 的定量判据，梳理判定步骤。 结构化小结概念与判定，回扣类比转化思想，形成完整知识网络。 六、布置作业 【布置作业】教材第 154 页习题第 1 题。 必做：教材习题第 1 题及配套练习中关于直线与圆位置关系判断的基础题； 选做：综合运用勾股定理与位置关系判定的计算题。 记录作业，课后完成并归纳判定方法。 分层作业，必做巩固基础，选做拓展提升。 板书设计 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 一、直线与圆的位置关系 相交：两个公共点——割线 相切：一个公共点——切线、切点 相离：没有公共点 二、d 与 r 的判定 相交 ⇔ d＜r 相切 ⇔ d＝r 相离 ⇔ d＞r 注：d 为圆心到直线的垂线段 三、例1 Rt△ABC BC= CD= 比较 d 与 r 判定位置关系 板演区 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $