第1-2章易错精练卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1-2章易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．已知反比例函数的图像经过点，则k的值是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是（     ） A．1 B． C．2 D． 3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 6．已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点在反比例函数（）图象上，点在反比例函数（，）的图象上，轴，轴交轴于点，连接，交反比例函数（）图象于点，若为的中点，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用因式分解法解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出这两个一元一次方程：__________，__________． 12．如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 13．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 15．对于一元二次方程（为常数，且，有下列说法：若，则方程必有一根为当时，方程至少有一个根为若，则方程无实数根；若方程的两个根互为相反数，则其中正确结论是__________________． 16．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 三、解答题 17．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 18．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为、，且，求的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 20．喜迎国庆，西安市第三中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探索科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材 每个智能摆件的成本价为元，当售价为元时，平均每天可以售出件． 素材 当售价每降低元时，平均每天就能多售出件． 问题解决 (1)当降价元时，求平均每天销售智能摆件的利润． (2)当每天获得的利润达到元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 21．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 22．定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，求c的值； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 23．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1-2章易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A D B D B C C 1．B 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 2．C 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），其中为常数项， 故方程的常数项是2． 3．A 【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：根据题意得， 所以． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 4．A 【分析】将两点横坐标代入反比例函数解析式，求出与的值后比较大小． 【详解】解：把代入，得. 把代入，得. ∵， ∴． 5．D 【分析】设参与该活动后规定“@”人，则第一轮小明1个人“@”个人，第二轮中x人又“@”个人，结合两轮后共有73人被邀请参与该活动列出方程即可． 【详解】解：根据题意可列方程， 选项D符合题意． 6．B 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 7．D 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 8．B 【分析】设运动时间为，表示出的长，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值，利用勾股定理求出的长，进而求出t的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ∴， 整理得， 解得或； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 9．C 【分析】设点坐标为，利用平行关系可得，，根据中点公式得出，代入，即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， ∵轴，轴交轴于点，点在反比例函数（，）的图象上， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵连接，交反比例函数（）图象于点， ∴， 解得． 10．C 【分析】设车道的宽度为，利用“平移法”将分散的停车位进行拼接，则拼合后的停车位的长为，宽为，再结合面积列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设车道的宽度为，则拼合后的停车位的长为，宽为， 由题意可得． 11． 【详解】解：， ， ∴或. 12． 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 13．3 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 14．或 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 15．①②④ 【分析】本题考查一元二次方程根的性质，需要根据一元二次方程的定义和根的判别式来逐一分析每个说法． 【详解】①当时方程必有一根为， 将代入一元二次方程中， 可得：， 已知，当时，方程成立， 所以方程必有一根为，故说法①正确， ②当时，原方程变为，可得， 若两个数的乘积为，则其中至少一个数为， 所以或， 当时，（），表明方程至少有一个根为，故说法②正确， ③若，则，原方程变为， 所以， 因为任何数的平方都大于等于， 所以，（），则， 当时，方程有两个不相等的实数根， 所以说法③错误， ④设方程的两根为和， 所以， 已知方程的两个根互为相反数， 即，那么， 因为，所以，故说法④正确． 故答案为：①②④． 16．①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 17．(1) 或 (2) 或 (3) 或 (4) 或 ． 【分析】（1）形如 ，用直接开平方法求解； （2）二次项系数为 1，用配方法求解； （3）移项后各项含公因式 ，用因式分解法求解； （4）移项整理为 ，用配方法求解． 【详解】（1）解：直接开平方，得 ， 即 或 ， 解得 或 ． （2）解：移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 直接开平方，得 ， 解得 或 ． （3）解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 即 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． （4）解：移项、合并同类项，得 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 直接开平方，得 ， 解得 或 ． 18．(1)证明： 整理得： 无论取任何实数值，，即， 方程总有实数根． (2)或 【分析】（1）直接通过一元二次方程的根的判别式完成证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】（1）详解见答案． （2）解：， 整理得：， 、为方程的两根， ， ， ， ， ， 解得：或． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）根据点在直线上，得到，继而根据待定系数法得到反比例函数的解析式，联立反比例函数和直线的解析式，得到点的坐标； （2）根据直线的解析式得到，进而得到，，设，进而得到表示面积的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得，解得，， ∵点位于第一象限， ∴，， ∴； （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，即，解得， ∴，， ∵， ∴，， ∵反比例函数的解析式为， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，或， ∴点的坐标为或． 20．(1)当降价元时，平均每天销售智能摆件的利润为元 (2)智能摆件的销售价为元 【分析】（1）先算出降价元时，每件的利润以及每天的销量，然后用每件的利润乘以每天的销量可得出答案； （2）设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：当降价元时，每件利润为：（元）， 平均每天能卖出：（件）， ∴每天利润为：（元）， 答：当降价元时，平均每天销售智能摆件的利润为元． （2）解：设智能摆件的销售价为元． 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵要求优惠力度最大， ∴． 答：智能摆件的销售价为元． 21．(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 22．(1)， (2)， (3)证明：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即． ， ． ∴将代入方程，得左边右边， 是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）将代入，然后求解即可； （3）将代入得到，然后将代入方程即可证明． 【详解】（1）解：根据题意，该方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得，； （2）解：根据题意，该方程的一个根为， 代入该方程，得， 因式分解，得，即， 即或， 解得，； （3）略 23．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或 (3) 【分析】（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，，，，再由，可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $