第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•潮阳区期末）已知点（m，4）在反比例函数上的图象上，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8 2．（2026•常州校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m＝6的一个解为x＝0，则实数m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2025秋•万荣县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 4．（2026•顺义区二模）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾结束后y与x成反比例．当每立方厘米药液浓度低于1.6mg时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（　　） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当x＝20min时，药液浓度为1mg C．土壤表层药液浓度为4mg的时间点只有1个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min 6．（2026•柳北区一模）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．（1+x）2＝100 B．x2＝100 C．x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 7．（2026•浙江模拟）已知（a，y1）和（a+2，y2）是反比例函数图象上的两个点，下列选项正确的是（　　） A．若a＞0，则y1＞y2＞0 B．若a＞0，则y2＞y1＞0 C．若a＜0，则y1＜0＜y2 D．若a＜0，则y2＜y1＜0 8．（2026春•荣成市期末）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为7xcm，左、右边衬的宽均为9xcm，那么x满足的方程是（　　） A．（27﹣9x）（21﹣7x）27×21 B．（27﹣9x）（21﹣7x）27×21 C．（27﹣18x）（21﹣14x）27×21 D．（27﹣18x）（21﹣14x）27×21 9．（2026•黑龙江校级模拟）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，点A落在反比例函数的图象上，斜边AB上的中线CD交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k的值是（　　） A．4 B．6 C． D．8 10．（2026•高碑店市模拟）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C是y轴上一点，满足AC＝BC，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论： ①△ABC的面积不变； ②点C的纵坐标逐渐减小； ③AC的长度逐渐增大． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二．填空题（共6小题） 11．（2026•武昌区校级模拟）若反比例函数的图象经过点（3，﹣1），则该反比例函数的表达式为 ____________________ ． 12．（2026春•涡阳县期末）关于x的方程是一元二次方程，则a＝_______ ． 13．（2026•贵州模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 _____ ． 14．（2026•滕州市校级模拟）设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为_________ ． 15．（2026•青秀区校级模拟）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，P是该图象上一点，A是x轴上一点，连接PO、PA，若PO＝PA，△POA的面积为4，k的值为_____ ． 16．（2026•雁塔区校级模拟）如图，反比例函数的图象与△ABC的两边AB，BC分别交于点，F（n，1）．已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，点F为BC的中点，则m+n＝_____ ． 三．解答题（共8小题） 17．（2026•西青区校级开学）解一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝2x﹣6． 18．（2026秋•江阳区校级月考）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）能否使围成的矩形面积为220m2？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 19．（2026秋•红桥区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m﹣4＝0（m为常数）． （Ⅰ）若x＝1是该一元二次方程的一个根，求m的值； （Ⅱ）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （Ⅲ）若▱ABCD的两边AB，AD的长是该一元二次方程的两个实数根，当m为何值时，▱ABCD是菱形？求此时菱形的边长． 20．（2026•禅城区二模）师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度y（m）是横截面积S（mm2）的反比例函数，其图象（如图所示）经过点A（4，32）． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过0.8mm2，则其总长度至少是多少？ 21．（2026•京口区二模）著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab； 【结论应用】 （2）若△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2．△ABC的两个顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数的图象上，AB经过原点O． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的△ABC； ②请用探究的结论证明所作的△ABC周长最小． 22．（2026•鹿城区校级三模）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝k2x+b的图象分别相交于点A（1，2）和点B（m，﹣1），将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段BC与y轴相交于点D，连接AC，AD． （1）求反比例函数与一次函数y＝k2x+b的表达式． （2）求△ACD的面积． 23．（2025秋•科尔沁区校级期末）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“已”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红. 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“已升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？ 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 24．（2026•让胡路区校级模拟）已知一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3），与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足S△AOB，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．反比例函数y在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•潮阳区期末）已知点（m，4）在反比例函数上的图象上，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8 【解答】解：由题意得：4m＝﹣12， 解得：m＝﹣3， 故选：A． 2．（2026•常州校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m＝6的一个解为x＝0，则实数m的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：把x＝0代入得02﹣m•0+m＝6，得m＝6， 故选：A． 3．（2025秋•万荣县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【解答】解：原方程移项配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：C． 4．（2026•顺义区二模）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×c＞0， 整理得9﹣4c＞0， 解得． 故选：D． 5．（2026•科尔沁区校级模拟）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾结束后y与x成反比例．当每立方厘米药液浓度低于1.6mg时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（　　） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当x＝20min时，药液浓度为1mg C．土壤表层药液浓度为4mg的时间点只有1个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min 【解答】解：设喷洒阶段的函数解析式为y＝kx，喷洒完成后的函数解析式为， 把（5，8）分别代入，得，m＝5×8＝40， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当x＝20时，，故喷洒完成后，当x＝20min时，药液浓度为2mg，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为4mg的时间点有2个，故选项C错误； 当时，x＝1；当时，x＝25， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25﹣1+1＝25min；故选项D正确， 故选：D． 6．（2026•柳北区一模）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．（1+x）2＝100 B．x2＝100 C．x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 【解答】解：根据题意可列方程为：（1+x）2＝100， 故x满足的方程为（1+x）2＝100， 故选：A． 7．（2026•浙江模拟）已知（a，y1）和（a+2，y2）是反比例函数图象上的两个点，下列选项正确的是（　　） A．若a＞0，则y1＞y2＞0 B．若a＞0，则y2＞y1＞0 C．若a＜0，则y1＜0＜y2 D．若a＜0，则y2＜y1＜0 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 当a＞0时，a+2＞2＞0， 此时两个点都在第一象限的这一支上． 因为a+2＞a， 所以y1＞y2＞0． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当a＜0时， 因为a+2的正负无法判断， 所以点（a+2，y2）的位置不确定， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 8．（2026春•荣成市期末）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为7xcm，左、右边衬的宽均为9xcm，那么x满足的方程是（　　） A．（27﹣9x）（21﹣7x）27×21 B．（27﹣9x）（21﹣7x）27×21 C．（27﹣18x）（21﹣14x）27×21 D．（27﹣18x）（21﹣14x）27×21 【解答】解：设上、下边衬的宽均为7xcm，左、右边衬的宽均为9xcm，则中央矩形的长与宽为（27﹣18x）cm，（21﹣14x）cm， 由题意得：（27﹣18x）（21﹣14x）27×21． 故选：D． 9．（2026•黑龙江校级模拟）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，点A落在反比例函数的图象上，斜边AB上的中线CD交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k的值是（　　） A．4 B．6 C． D．8 【解答】解：连结AE、OA, ∵CD为Rt△ABC的斜边AC上的中线， ∴S△BDE＝S△ADE，S△BCD＝S△ACD， ∴S△BCD﹣S△BDE＝S△ACD﹣S△ADE，即S△BCE＝S△ACE＝4， ∵S△ACE＝S△AOC|k|, ∴k＝2S△ACE＝8． 故选：D． 10．（2026•高碑店市模拟）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C是y轴上一点，满足AC＝BC，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论： ①△ABC的面积不变； ②点C的纵坐标逐渐减小； ③AC的长度逐渐增大． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D， 根据题意，设，其中a＜0， ∴，CD＝﹣a， ∵AB⊥x轴， ∴B（a，0）， ∵CD⊥AB，AC＝BC， ∴， ∴． ①判断△ABC的面积： ∵， ∴面积为定值，不变，故①正确； ②判断点C的纵坐标： ∵，其中a＜0， 令，t＝|a|＝﹣a（t＞0），则． ∵点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小， ∴t＝|a|逐渐增大． ∴逐渐减小，即点C的纵坐标逐渐减小，故②正确； ③判断AC的长度：， 举例验证：当a＝﹣1时，AC2＝1+4＝5，AC≈2.24＜4.03； 当a＝﹣0.5时，AC2＝0.25+16＝16.25，AC≈4.03； 当a＝﹣4时，AC2＝16+0.25＝16.25，AC≈4.03， ∴点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小，可以发现，在a的值逐渐减小的过程中，AC长度先减小后增大，不是逐渐增大，故③错误． 综上，正确结论为①②，本题选A． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•武昌区校级模拟）若反比例函数的图象经过点（3，﹣1），则该反比例函数的表达式为 y　 ． 【解答】解：设反比例函数解析式为y（k≠0）， 把（3，﹣1）代入得k＝3×（﹣1）＝﹣3， 所以反比例函数解析式为y． 故答案为：y． 12．（2026春•涡阳县期末）关于x的方程是一元二次方程，则a＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．（2026•贵州模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　9　 ． 【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根， Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝36﹣4k＝0， ∴k＝9． 故答案为：9． 14．（2026•滕州市校级模拟）设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　2031　 ． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根， ∴，x1+x2＝﹣3， ∴． 所以的值为2031， 故答案为：2031． 15．（2026•青秀区校级模拟）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，P是该图象上一点，A是x轴上一点，连接PO、PA，若PO＝PA，△POA的面积为4，k的值为　4　 ． 【解答】解：作PB⊥x轴于B点，如图， ∵PO＝PA， ∴OB＝AB， ∴S△PBOS△POA4＝2， ∴|k|＝2，而k＞0， ∴k＝4． 故答案为：4． 16．（2026•雁塔区校级模拟）如图，反比例函数的图象与△ABC的两边AB，BC分别交于点，F（n，1）．已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，点F为BC的中点，则m+n＝　5　 ． 【解答】解：过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H， ∵点F的坐标为（n，1）， ∴FG＝1， ∵FG⊥x轴，BH⊥x轴， ∴FG∥BH， 又∵点F为BC的中点， ∴FG为△CBH的中位线， ∴BH＝2FG＝2， ∵AB∥x轴， ∴点E的纵坐标为2， 即：点E的坐标为（，2）， ∴m＝2， 将点E（，2），代入y，得：k＝3， ∴反比例函数的解析式为：y， 将点F（n，1）代入y，得：n＝3， ∴m+n＝5． 故答案为：5． 三．解答题（共8小题） 17．（2026•西青区校级开学）解一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝2x﹣6． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+12＝4+12， （x﹣1）2＝5， x﹣1， ∴； （2）原方程移项可得： x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． 18．（2026秋•江阳区校级月考）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）能否使围成的矩形面积为220m2？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m， 根据题意得：x（40﹣2x）＝150， 解得：x1＝5，x2＝15， 当x＝5时，40﹣2x＝30＞25（不符合题意，舍去）， 当x＝15时，40﹣2x＝10＜25（符合题意）， ∴三边长分别为15m，10m，15m； （2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长ym，则平行于墙的边长为（40﹣2y）m， 依题意得：y（40﹣2y）＝220， 化简得y2﹣20y+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为220m2的长方形围栏． 19．（2026秋•红桥区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m﹣4＝0（m为常数）． （Ⅰ）若x＝1是该一元二次方程的一个根，求m的值； （Ⅱ）判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； （Ⅲ）若▱ABCD的两边AB，AD的长是该一元二次方程的两个实数根，当m为何值时，▱ABCD是菱形？求此时菱形的边长． 【解答】解：（I）把x＝1代入方程得：12﹣2m×1+4m﹣4＝0， 解得：． （II）该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+4m﹣4＝0（m为常数）， ∴a＝1，b＝﹣2m，c＝4m﹣4， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（4m﹣4）＝4m2﹣16m+16＝（2m﹣4）2≥0， ∴该一元二次方程总有两个实数根． （III）若▱ABCD是菱形，则AB＝AD， ∵AB，AD的长是该一元二次方程的两个实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（4m﹣4）＝4m2﹣16m+16＝（2m﹣4）2＝0， 解得：m＝2， 把m＝2代入方程得：x2﹣2×2x+4×2﹣4＝0，即x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， ∴此时菱形的边长为2． 20．（2026•禅城区二模）师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度y（m）是横截面积S（mm2）的反比例函数，其图象（如图所示）经过点A（4，32）． （1）求y与S之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过0.8mm2，则其总长度至少是多少？ 【解答】解：（1）设y与S的函数关系式为y， 将S＝4，y＝32代入上式， 解得：k＝4×32＝128， ∴y（S＞0）； （2）当S＝0.8时，y160， 某厨师拉出的面条的横截面面积为0.8mm2，这根面条的总长度是160m． 21．（2026•京口区二模）著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab； 【结论应用】 （2）若△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2．△ABC的两个顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数的图象上，AB经过原点O． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的△ABC； ②请用探究的结论证明所作的△ABC周长最小． 【解答】（1）证明：∵（a﹣b）2≥0， ∴a2﹣2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab； （2）解：①作直线y＝x，交反比例函数图象于A、B两点，过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC， 如图所示，△ABC即为所求； ②证明：△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝2BC， ∴BCAB， ∴ACAB， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝ABABABAB， 设A（a，），则B（﹣a，）， ∴AB22， 当且仅当a，即a＝1时，AB取得最小值2， 此时，△ABC的周长最小值为AB23，即A、B均在直线y＝x上，故①中所作△ABC周长最小． 22．（2026•鹿城区校级三模）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝k2x+b的图象分别相交于点A（1，2）和点B（m，﹣1），将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段BC与y轴相交于点D，连接AC，AD． （1）求反比例函数与一次函数y＝k2x+b的表达式． （2）求△ACD的面积． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， k1＝1×2＝2， 所以反比例函数的解析式为y． 将点B坐标代入y得，m＝﹣2， 所以点B坐标为（﹣2，﹣1）． 将点A和点B坐标代入y＝k2x+b得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y＝x+1； （2）由平移可知，点C坐标为（2，﹣1）， 因为点D为BC与y轴的交点， 所以点D坐标为（0，﹣1）， 所以CD＝2﹣0＝2． 因为点A坐标为（1，2）， 所以． 23．（2025秋•科尔沁区校级期末）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“已”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红. 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“已升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？ 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝﹣2.2（不合题意，舍去），x2＝0.2＝20%， 答：月平均增长率为20%； （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 由题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理，得y2﹣30y+200＝0， 解得：y1＝20，y2＝10（不符合题意，舍去）， 答：每件的售价应降低20元． 24．（2026•让胡路区校级模拟）已知一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3），与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且满足S△AOB，求点P的坐标； （3）我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”．反比例函数y在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，m），B（1，﹣3）； ∴k2＝1×（﹣3）＝﹣3m， ∴k2＝﹣3，m＝1， ∴y，A（﹣3，1）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x﹣2； （2）设直线AB交y轴于点D， ∵y＝﹣x﹣2， ∴当y＝0时，x＝﹣2，x＝0时，y＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，﹣2）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC2×12×3＝4， 设P（0，p）， S△BCP＝S△BDP+S△CDP2|p+2||p+2||p+2|， ∵S△AOBS△BPC， ∴S△AOB＝4， ∴S△BPC|p+2|＝6， ∴|p+2|＝4， ∴p＝2或p＝﹣6， ∴P（0，2）或P（0，﹣6）； （3）存在；①当∠BOQ＝45°时， 将OB绕点O旋转90度得到OB'，连接BB'，交OQ于点E，如图， 则：B′（3，1），∠BOB'＝90°，OB＝OB'， ∵∠BOQ＝45°， ∴∠B'OQ＝45°＝∠BOQ， ∴BE＝EB'， ∴E（2，﹣1）， 设OE的解析式为：y＝mx，则：﹣1＝2m， ∴m， ∴yx， 联立， 解得：或（舍去）； ∴Q（，）； ②当∠OBQ＝45°时，将OB绕点B旋转90度得到O′B，连接OO'，交BQ于点E， 则O′（4，﹣2），∠OBE＝∠O′BE， ∴OE＝O'E， ∴E（2，﹣1）， 同法可得：BE的解析式为：y＝2x﹣5， 联立， 解得或， ∴Q（，﹣2）； 综上：Q（，）或Q（，﹣2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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