精品解析：浙江宁波市鄞州区13校联考2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026学年第一学期九年级数学学科测试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 已知的半径为，点P在外；则的长（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 不大于 4. 如图，在中，，连接CD，若，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴． A. ③②④①⑤ B. ②④①③⑤ C. ③①④②⑤ D. ②③④①⑤ 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 8. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形与四边形都是正方形，连接，，，若已知五边形的面积，则一定能求出的线段为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 12. 已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 13. 如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是______． 14. 在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是_________． 15. 如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 16. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点，则的值为________． 三．解答题（第17-21题各8分，第22-23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 18. 某校准备从九年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，九（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（如图）（每组含最小值，不含最大值） （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是________，平均数是________． （2）在（1）的条件下，计算得出小涵的综合成绩为分，班主任根据综合成绩择优选取5名学生推荐到学校里进行选拔，试分析小涵能否入选，并说明理由． （3）在5位评委老师中，有2位是男老师，3位是女老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委老师给了满分，请用树状图或列表法求给满分的2位评委中“恰好1名男老师1名女老师”的概率． 19. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图： ． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 20. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形的长； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． （1）求二次函数的解析式． （2）若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 22. 小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． （1）求小军到平面镜的距离． （2）根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． （3）在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 23. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求b的值． （2）若点是抛物线上的动点． ①当时，求y的取值范围． ②当时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围． 24. 在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）【问题探究】如图1，求证：； （2）【问题解决】如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科测试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 3. 已知的半径为，点P在外；则的长（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 不大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵点P在外，的半径为， ∴ 半径，即． 故选：A． 4. 如图，在中，，连接CD，若，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据DEBC，可得△ADE∽△ABC，相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可逐一判断． 【详解】解： ∵，DEBC， ∴，，， ∴，，A、B正确，不符合题意； ∵， ∴四边形的面积的面积， ∵， ∴， ∴，， ∴，选项C错误，符合题意； ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方，周长的比等于相似比是解题的关键． 5. 张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴． A. ③②④①⑤ B. ②④①③⑤ C. ③①④②⑤ D. ②③④①⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得出，，证出． 【详解】证明：②∵， ④∴， ①又∵， ③∴， ⑤∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似． 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 7. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 8. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点问题，先分情况求解函数与轴的交点坐标，再结合图象列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 解得：，， 当时，， 解得：，， 显然当时，， ∴函数过定点，如图， 显然图象与轴有3个交点，不符合题意； 如图， 此时满足且， 解得：， 故选B 10. 如图，四边形与四边形都是正方形，连接，，，若已知五边形的面积，则一定能求出的线段为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，连接，，过作于，过作于，作于，过作于，交于，设，，，证明五边形的面积为：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过作于，过作于，作于，过作于，交于， 设，，， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 而， ∴五边形的面积为： ， ∵五边形的面积为定值， ∴可以求解，即可以求解． 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出5个数中无理数的个数，再根据概率公式计算抽到无理数的概率． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； ∴5个数中，无理数共有2个，所有等可能的抽取结果共5种， ∴抽到无理数的概率为． 12. 已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为过两点横坐标中点的竖直线． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为过，横坐标中点的直线， 计算中点横坐标得， ∴该抛物线的对称轴为直线． 13. 如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，与位似比为，位似中心为原点，若点的坐标为，则其对应点的坐标是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，直接利用与位似比为，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案． 【详解】解：∵与位似比为，且点的坐标为， ∴它的对应点的坐标是：或． 故答案为：或． 15. 如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出解图的辅助线，确定圆心O，设，利用勾股定理得到，即，解方程得到，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点Q，交的延长线于点P，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O， 4个正方形的边长均为2， ，，， 设，则， ，即， ， 即， 解得，即， ， ． 16. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据折叠的性质得出，根据三角形的外角性质得出，根据平行线的判定和性质得出，设正方形的边长为，根据勾股定理得出，根据三角形的面积求出，即，根据勾股定理得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据平行四边形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵将正方形纸片沿折叠，点落在点处， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故． 三．解答题（第17-21题各8分，第22-23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【小问1详解】 解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 18. 某校准备从九年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，九（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（如图）（每组含最小值，不含最大值） （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是________，平均数是________． （2）在（1）的条件下，计算得出小涵的综合成绩为分，班主任根据综合成绩择优选取5名学生推荐到学校里进行选拔，试分析小涵能否入选，并说明理由． （3）在5位评委老师中，有2位是男老师，3位是女老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委老师给了满分，请用树状图或列表法求给满分的2位评委中“恰好1名男老师1名女老师”的概率． 【答案】（1）83，83； （2） 小涵能入选，理由如下： 小涵的综合成绩为分， 由直方图可知：分的学生人数为5人， 故小涵能入选． （3）． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，平均数，直方图和利用列表法求概率． （1）根据中位数和平均数的计算公式进行计算即可； （2）结合直方图进行判断即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：将5个数据排序后，中间一位是83， 故中位数为：83； 平均数为：； 故答案为：83；83 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：用表示女老师，用表示男老师，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的结果，其中给满分的2位评委中恰好1名男老师1名女老师的结果有12种结果， ∴“恰好1名男老师1名女老师”的概率． 19. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图： ． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 【答案】（1） （2） 如图所示：点即为所求； （3） 如图所示：点为所求． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是巧妙利用网格解题； （1）由图可得两三角形相似，进而根据对应边成比例得到结果； （2）利用网格构造相似比是的相似三角形即可； （3）利用网格构造全等三角形即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． （1）求黄金矩形的长； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）矩形是黄金矩形， 证明：由（1）可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴矩形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）根据黄金矩形的定义进行计算即可； （2）先计算出矩形的长与宽，再计算出比例，根据定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． （1）求二次函数的解析式． （2）若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 22. 小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． （1）求小军到平面镜的距离． （2）根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． （3）在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】（1）小军到平面镜的距离为2米 （2）米 （3）的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． 【小问2详解】 解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． 【小问3详解】 略 23. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求b的值． （2）若点是抛物线上的动点． ①当时，求y的取值范围． ②当时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围． 【答案】（1）2 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴公式直接代入求； （2）①将解析式化为顶点式，求出顶点坐标，再比较顶点值与两端点值的大小，得的取值范围；②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，利用对称性得，再由解出，，从而求出，再求对应的值，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，得． 【小问2详解】 解：①由题意知，抛物线的开口向上， 又因为， 所以当时，y取到最小值为， 当时，； 当时，， 所以y的取值范围是． ②如图，由抛物线开口向上可知，当时，x分别取到最大值与最小值， 由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称． 设x的最大值为，最小值为，则有． 又有，可得，． 此时，即，得， 由方程，解得，． 由下图得x的取值范围为或． 24. 在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）【问题探究】如图1，求证：； （2）【问题解决】如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：如图， 四边形是矩形， ， ， 由折叠知， ， ， 又， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明； （2）设，则，用勾股定理解求出，再根据求出，进而即可求出的长； （3）延长，交于一点M，连接，先证，设，则，，再证，推出，，利用勾股定理解和，再证，根据对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 由（1）知， ，即 ， ， ， ， 【小问3详解】 解：如图，延长，交于一点M，连接， 由折叠知，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， ，即， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $