浙江宁波市镇海蛟川书院（甬江校区）2026-2027学年九年级上学期学科素养大比拼数学试卷

蛟川书院（甬江校区)2026学年第一学期学科素养大比拼 初三数学试卷 (满分120分，考试时间120分钟) 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1.∠A为锐角，若cosA=2则∠A的度数为() A.75 B.60° C.45° D.30° 2.已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是() A言=名 B=号 c=号 3.盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个.小军从中任意摸 一个球，下面说法正确的是（) A.一定是红球 B.摸出黄球的可能性最大 C.不可能是黑球 D.摸出红球的可能性最小 4.如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形.若OA:OA=1:3,四边形 ABCD的周长是3，则四边形A'B'C'D'的周长是() B D A.3 B.6 C.9 D.27 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，∠ABD=20°，则∠BCD的度数是() D B A.90° B.100° C.110° D.120° 6.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC上的点，且DE∥BC,EF∥AB,若BF:FC=2:3, AB=15,则BD=() A D B F A.6 B.9 C.10 D.12 7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，己知EF=CD=4cm,则球的半径长 是( E A D ●0 小 C A.4cm B.3cm C.2.5cm D.2cm 8.如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角，则重叠部分的 面积是() A.2sina B.2cosa 1 C.2cosa D.1 sina 9.如图，一个装有液体的锥形瓶轴截面是轴对称图形，底部BC=20cm,当BC处于水平位置时，液面宽 AD=5cm,液体高度DE=3cm,此时往瓶中再倒入一些液体，液面上升到宽GF=3cm,则此时液体的 高度FH为( G A D B E C B H A.4.8cm B.4.5cm C.4.2cm D.2.8cm 10.如图，⊙O的半径为3，点B为平面上一定点，OB=5,点A为⊙O上任意一点。连结AB,将线段AB 绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC;当点A沿着圆周转动60°时，点C所经过的路径长为() E B A 0 A.π B.√2π C. D.V3π 二.填空题（每小题3分，共18分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，tamA=是，则stnB=一 12.有两辆车按1,2编号，赵、钱两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为 13.扇形的圆心角为120°，半径为4，则扇形的面积为 14.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶 的角度为60°，山高为米 B B F GOB H E H 第14题图 第15题图 第16题图 15.在△ABC中，∠B=66°，⊙O与AB交于点E、F,与AC交于点G、H,与BC交于点I、J,若EF=GH=0, 则∠AOC的度数为 16.在正方形ABCD中，BD为对角线，点E为BD的中点，点F在边AD上，连结CF交BD于点G。在 FG上取一点H,使得∠DHE=135°，连结DH、EH。若AB=8,AF*DG=DE×DF,则EH的长为 三.解答题（共3小题） 17.计算：2sin245°-6cos60°+3tan45°+4sin60°； 18.翩跹彩蝶，意蕴清雅.在古典意象中，有四种颇具美感的蝴蝶：青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶.老 师将印有这四种蝴蝶的4张卡片背面朝上置于桌面，请同学上台随机抽取一张，介绍这种蝴蝶的风姿 (1)若随机抽取一张卡片，求抽中“云粉蝶”的概率. (2)老师取出印有“青凤蝶、云粉蝶、绢蛱蝶、黛眼蝶”的四张卡片，邀请小蛟和小甬进行有放回地 抽取.请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到同种蝴蝶的概率. 19.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图.（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求 写出画法) (1)在图1中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且这个三角形的面积为8，C为格点. (2)在图2中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cos∠BAC=只，C为格点. B B T -1= !! 图1 图2 20.如图，在正方形ABCD中，M是BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线 于点E,交DC于点N (1)求证：△ABM∽△EFA: (2)若AB=8,BM=4,求AE的长. A D E N B M C 21.“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图1）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱 之间暗含几何之妙。如图是平放于琴台之上，图2是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台EF的琴码AB, 撑起了AC和AD两段琴弦。已知琴码高度为6cm,∠ADB=30°。 (1)若∠ACB=20°，求两段琴弦在琴台上的平行投影CD的长度。（结果精确到1cm,参考数据：3 ≈1.73，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码。如图3，将琴码AB调整至A'B'处， 此时∠A'DB'=45°。已知弦AD和A'D长度相等，求琴码垫高的高度。 53新1 E 小 DF E C BB' 图1 图2 图3 22.如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交⊙O于点E,连接AD, DE,∠B=∠ADE. （1)求证：AC=BC; (2)若tanB=2,CD=3,求AB的长. A B D 23.如图，已知矩形OABC,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2,0),C(0,3),点P 以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP,作BE⊥PB交x轴于点E,连接PE交 AB于点F,设运动时间为t秒. (1)若AB平分∠EBP时，求t的值； （2)当t=1时，求点E的坐标： (3)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似.若存在，请求P的坐标： 若不存在，请说明理由. C B P F A E 元 24.如图1，已知AB、CD是⊙O中两条不同于直径的弦，AB⊥CD,垂足为H,连结BO并延长，交CD 于点M,交⊙O于点E. (1)若圆的半径为13，c0s∠ABE= 12 求AB的长。 (2)如图2，连结OH、BD。若OH⊥BD,求证：C为半圆弧BAE的中点。 (3)如图3，在(2)的条件下，作OE的垂直平分线交CD于点F,交AB于点G,连结BF。若AG=DF, ①求证：BF=BG: ②若GH=压，求⊙0的半径长。 A E A E H H C D D M M 0 0 B B 图1 图2 A E A E G G H C 公 D C H F D M 0 0 B B 图3 备用图