精品解析：福建省福州杨桥中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测（10月）试卷

福州杨桥中学2026-2027学年第一学期10月适应性练习 九年级 数学 （本卷共8页；满分150分；时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写到答题卡规定的位置！答在本试卷上一律无效 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 对称现象是自然界的和谐之美，也是数学美的体现．在数学活动课中，同学们利用绘图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 一个图形沿一条直线对折，直线两边部分能够完全重合，这个就是轴对称图形；一个图形绕中心点旋转180°，旋转之后和原来图形完全重合，是中心对称图形． 【详解】 解：A选项，是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 3. 抛物线与轴的交点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 4. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 5. 如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据k的几何意义求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 6. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 7. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 8. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 9. 已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1 C. π D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 10. 已知实数a、b、c满足，，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】构造二次函数，利用二次函数与x轴的交点情况判断与的大小关系，再结合已知条件变形推导得到与的大小关系，即可求解． 【详解】当时，，，即， ， 解得，即， 故且； 当时，把、、看作二次函数的系数， ， 当时，，即二次函数图象经过点， 二次函数与轴至少有一个交点， ，即， 由得，将代入得： ，化简得 ， ， 故且； 综上，且． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11. 若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入， 可得，解得． 12. 若为方程的解，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解满足方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：为方程的解 整理得 ． 13. 如图，与相切于点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，连接，由切线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半径OC的长为____．” 【答案】13 【解析】 【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论． 【详解】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1， ∵AB⊥CD，AB＝10， ∴AE＝AB＝5， 在Rt△OAE中， OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2， 解得r＝13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 15. 下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 【答案】1.2 【解析】 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质以及反比例函数的性质，过作垂直于轴，过作垂直于轴，由与垂直，得到一对角互余，再由与垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由，且一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由与的坐标得出与的长，由求出的长，确定出的坐标，由平移的性质得到和的纵坐标不变，且横坐标相差，设出和的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去求出的值，即可得到的值． 【详解】解：过作垂直于轴，过作垂直于轴， ， ，， ， 在和中， ， ， 、， ， ， 设反比例函数为，点和在该比例函数图象上， 由平移的性质，可设，则， 把点和的坐标分别代入， 得，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】用因式分解法中的十字相乘法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 18. 如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：由题意可知：，， ∵， ∴， 在与中，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，等腰三角形等边对等角等知识点． （1）证明，从而可证明； （2）由可知：，利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程（为常数），若，求证：该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵ 该方程是关于的一元二次方程，二次项系数为， ∴ 根的判别式， ∵ ， ∴ ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】证明此一元二次方程的根的判别式永远大于即可． 【详解】略 20. 为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质，可得，，再利用全等三角形的性质求，最后根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， 光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C． ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，，则， ， 直径为， 则这张光盘的直径为． 21. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，，点在线段上，且．求的值及线段的长． 【答案】； 【解析】 【分析】根据，点A的纵坐标为4，根据点A在上，求出，然后求出k的值，由得：，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵轴， ∴点A的纵坐标为4， ∵点A在上，代入得：， ∴， ∵点在上，代入得：， 由得：，设，则， 在中，， 即，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，勾股定理，解题的关键是数形结合，求出点坐标． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点D，再作，使得圆心O在边上，且过点B、点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则点D和即为所求； （2）连接，设与交于点E，与交于点F，与交于点G，得到，是等边三角形，求出，，，然后利用与重叠部分的面积求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设与交于点E，与交于点F，与交于点G， ∵，平分，， ∴，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重叠部分的面积． 23. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 【答案】（1）；； （2）①能； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括抛物线表达式的求解以及利用二次函数解决障碍物越过问题，熟练掌握二次函数的顶点式、图象性质及不等式求解是解答本题的关键． （1）利用抛物线的顶点式，结合起跳点和落地点的坐标，求出抛物线的函数表达式； （2）①分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲的抛物线表达式，计算出纵坐标，与障碍物高度比较竖直距离，判断是否能安全跃过； ②分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲、乙的抛物线表达式，列出不等式，求解出的取值范围． 【详解】解：（1）对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：； 对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：． （2）①，，， 分别将，代入得： ， ， 甲款机器人能安全跃过该障碍物． ②甲款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：； 乙款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 24. 如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． （1）用含的代数式表示． （2）求证：． （3）如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． 【答案】（1） （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （3）3 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义和角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据圆周角定理，可证，根据三角形内角和，可证，从而，最后根据平行线的性质，等量代换可证，利用“”，即可求证； （3）连接，，利用全等三角形的性质，可得，，从而可求，，再根据“直径所对的圆周角是直角”，得，进而，利用圆周角定理可得，，最后根据弧长之比等于对应的圆心角之比，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ，， ， ， 为的直径， ， ， ， 对应的圆心角， ， 的长的长 的长为2， 的长为3． 25. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证． 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州杨桥中学2026-2027学年第一学期10月适应性练习 九年级 数学 （本卷共8页；满分150分；时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写到答题卡规定的位置！答在本试卷上一律无效 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 对称现象是自然界的和谐之美，也是数学美的体现．在数学活动课中，同学们利用绘图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与轴的交点坐标是( ) A. B. C. D. 4. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 6. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1 C. π D. 2 10. 已知实数a、b、c满足，，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11. 若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 12. 若为方程的解，则的值为__________． 13. 如图，与相切于点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为_____． 14. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半径OC的长为____．” 15. 下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 16. 如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 三、解答题（本大题共9题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程（为常数），若，求证：该方程总有两个不相等的实数根． 20. 为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 21. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，，点在线段上，且．求的值及线段的长． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点D，再作，使得圆心O在边上，且过点B、点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 23. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 24. 如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． （1）用含的代数式表示． （2）求证：． （3）如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． 25. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $