精品解析：陕西咸阳市永寿县上邑中学2026-2027学年度第一学期课后综合作业（一）八年级数学

2026~2027学年度第一学期课后综合作业（一）八年级数学（北师大版B） 本试卷满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3．1415926 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：是分数，是整数，是有限小数，均为有理数， 开方开不尽，为无理数． 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列出不等式解答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 4. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，7，8 C. 0.1，0.2，0.3 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形，则此项符合题意； B、，不可以构成直角三角形，则此项不符合题意； C、，不可以构成三角形，则此项不符合题意； D、，不可以构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：A． 5. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、乘法、加法、减法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． 和不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法、乘法、加法、减法运算，掌握相关运算法则成为解答本题的关键． 6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理．熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∴a的值为：． 故选：C． 7. 如图，在中，，于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 故选C 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式根据积的乘方运算法则展开计算，即可得到结果． 【详解】解： 10. 若是无理数，且，请写出一个符合条件的：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念与实数的大小比较，只需写出一个满足的无理数即可． 【详解】解：，，即，得， 又是无理数， 符合条件的可以为． 11. 如图，利用正方形A，B，C围成一个直角三角形，且最大的正方形C的边长为17，则正方形A和正方形B的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形，，的边长分别为，，，根据勾股定理得， 再根据正方形面积公式得， ， ，进而可求出，把代入计算即可得答案． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，，则：，， ， ， ， ∴正方形A和正方形B的面积和为：， ∵最大的正方形C的边长为17，即：， ∴， ∴正方形A和正方形B的面积和为． 12. 有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到125m3时的棱长，进而可得出结论． 【详解】解：设正方体集装箱的棱长为a， ∵体积为64m3， ∴a==4m； 设体积达到125m3的棱长为b，则b= =5m， ∴b-a=5-4=1（m）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是立方根，熟知正方体的体积公式是解题的关键． 13. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 14. 如图，在中，为边的中点，，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据倍长中线法即可知延长到，使，连接，可证明，根据全等三角形性质得，，再根据勾股定理列方程即可解出的长． 【详解】解：如图， 延长到，使，连接，则：， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴的长为2． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 18. 如图，的三个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）________，________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，可证明，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，； ； 【小问2详解】 略 19. 动物在跳跃的过程中，起跳后身体重心升高的高度与其起跳时的竖直速度之间满足关系式（其中为重力加速度，取近似值）．若某只兔子起跳后重心升高了，求这只兔子起跳时的竖直速度．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，即可求解． 【详解】解：由条件可得， 即． 由题意可得， ． 答：这只兔子起跳时的竖直速度是． 20. 如图，已知在中，于．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】在和中，利用勾股定理分别求出AD、CD的长，即可求解． 【详解】解：，， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21. 已知一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）若为的立方根，求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求解即可； （2）求出的值，根据立方根的定义求出b的值，再求出的值，最后根据算术平方根的定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同平方根分别是和， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵为的立方根，27的立方根为3， ∴， ∴， ∵16的算术平方根为4， ∴的算术平方根为4． 22. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 【答案】12米 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 设米，米，在和中，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设米，米， 在中，， ． 在中，， ． ． ∴ ， 解得：． ． ， ∴楼的高度为12米． 23. 如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． （1）求该矩形生产作业区的周长； （2）除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 【答案】（1）矩形生产作业区的周长为 （2）生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可； （2）先求出需要涂刷的面积，再乘以单价即可． 【小问1详解】 解：． 答：矩形生产作业区的周长为； 【小问2详解】 解： ， 元． 答：生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元． 24. 如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由如下： 连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴． 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，求出的值；在中，已知三边长度，根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． （2）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边、对应角相等；根据角度关系证明点E、F、D在同一直线上，根据线段关系表示出、；在中，运用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴，． 由（1）可知，， ∴， ∴点E、F、D在同一直线上， ∴． 在长方形中，，， ∴． 在中，， 即 解得． 答：的长为2． 25. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】（1） （2）着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； 【小问2详解】 解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 26. 【问题提出】 如图①，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点嵌有一圈路径最短的金属丝． 对于立体图形中求最短长度问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是________； （2）求所需的金属丝的长； （3）【问题解决】如图②，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，是圆柱的高，若在圆柱（空心且上面无盖）内壁的中点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】（1）④ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据过点B，E嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）该金属丝的长即为线段的长加上线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）作点E关于的对称点F，设点P为线段上任意一点，连接，当P、B、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵过点B，E嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是④； 【小问2详解】 解：如图④所示， 由题意得，， ∴， 同理可得， ∴所需的金属丝的长为； 【小问3详解】 解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为线段上任意一点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当P、B、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期课后综合作业（一）八年级数学（北师大版B） 本试卷满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3．1415926 D. 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，7，8 C. 0.1，0.2，0.3 D. 1，， 5. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：_________． 10. 若是无理数，且，请写出一个符合条件的：_______． 11. 如图，利用正方形A，B，C围成一个直角三角形，且最大的正方形C的边长为17，则正方形A和正方形B的面积和为______． 12. 有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加__________． 13. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 14. 如图，在中，为边的中点，，，，则的长为_________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 如图，的三个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）________，________； （2）判断的形状，并说明理由． 19. 动物在跳跃的过程中，起跳后身体重心升高的高度与其起跳时的竖直速度之间满足关系式（其中为重力加速度，取近似值）．若某只兔子起跳后重心升高了，求这只兔子起跳时的竖直速度．（结果化为最简二次根式） 20. 如图，已知在中，于．求的长． 21. 已知一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）若为的立方根，求的算术平方根． 22. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 23. 如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． （1）求该矩形生产作业区的周长； （2）除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 24. 如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 25. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 26. 【问题提出】 如图①，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点嵌有一圈路径最短的金属丝． 对于立体图形中求最短长度问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是________； （2）求所需的金属丝的长； （3）【问题解决】如图②，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，是圆柱的高，若在圆柱（空心且上面无盖）内壁的中点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $