第2章一元二次方程练习卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•呼兰区月考）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．2x2﹣y+5＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． 2．（2026秋•商河县校级月考）一元二次方程x2+6x﹣7＝0配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝16 D．（x+3）2＝7 3．（2026春•南湖区校级期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 4．（2025秋•邛崃市校级期末）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　） A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m＞3且m≠2 D．m＞3 5．（2026秋•临洮县校级月考）某社区开展“科技之冬“培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210 C． D． 6．（2025秋•温江区校级同步）已知a，b是方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣4 D．8 7．（2026•瑶海区三模）如果x1，x2是一元二次方程﹣2x2+3x+6＝0的两个根，则x1+x2＝（　　） A． B．﹣3 C． D．3 8．（2026•米东区模拟）某厂家2025年1～5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A．140（1+x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝450 二．填空题（共6小题） 9．（2026•上栗县模拟）已知一元二次方程x2+kx+6＝0的一个根为﹣2，则它的另一个根是_______ ． 10．（2026•邻水县模拟）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣8x+n＝0的两个根，则n的值为 __________ ． 11．（2026•龙海区校级模拟）α，β为方程kx2﹣2x+k＝0的两个实数根，则k的取值范围为_______________ ． 12．（2026•香洲区三模）一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了_____ 个人． 13．（2026•靖江市二模）设关于x的方程x2﹣（a﹣2）x﹣3a﹣7＝0的两根分别是x1、x2，则代数式3（x1+x2）+x1x2的值为________ ． 14．（2026•肥城市三模）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． 则对于结论：①若三角形为等边三角形，则t＝2； ②若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ③若，则5＜t＜11； ④若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 正确结论的序号是________ ．（写出所有正确的结论） 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•玄武区校级月考）解下列方程： （1）4（x+3）2﹣1＝24； （2）． 16．（2026秋•朝阳区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正整数，求m的值． 17．（2026秋•天津校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？ 18．（2026春•荔城区校级期末）2026年，某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件．四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加40件，当商品降价多少元时，商场月获利6240元？ 19．（2024秋•龙江县月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ 20．（2026秋•碑林区校级月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“和谐方程”． （1）判断一元二次方程（x+3）2＝4是否为“和谐方程”，并说明理由； （2）若3x2﹣mx+n＝0是关于x的“和谐方程”，且m是该“和谐方程”的一个根，求m的值． 第2章一元二次方程练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•呼兰区月考）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．2x2﹣y+5＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． 【解答】解：选项A：x2+2x﹣3＝0只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合题意； 选项B：2x2﹣y+5＝0含x，y两个未知数，不符合题意； 选项C：ax2+bx+c＝0未明确a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意； 选项D：分母含未知数，是分式方程，不符合题意． 故选：A． 2．（2026秋•商河县校级月考）一元二次方程x2+6x﹣7＝0配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝16 D．（x+3）2＝7 【解答】解：原方程移项可得： x2+6x＝7， x2+6x+9＝7+9， （x+3）2＝16． 故选：B． 3．（2026春•南湖区校级期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 【解答】解：由条件可知二次项系数k﹣1≠0，得k≠1， ∵方程有实数根， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣1）×1＝8﹣4k≥0， 解得k≤2， 综上，k的取值范围是k≤2且k≠1． 故选：C． 4．（2025秋•邛崃市校级期末）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　） A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m＞3且m≠2 D．m＞3 【解答】解：由题意可得：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0， 解得，m＜3且m≠2， 故选：B． 5．（2026秋•临洮县校级月考）某社区开展“科技之冬“培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210 C． D． 【解答】解：设参加培训的有x人，则每人需发送（x﹣1）条短信， 根据题意得：x（x﹣1）＝210． 故选：A． 6．（2025秋•温江区校级同步）已知a，b是方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣4 D．8 【解答】解：由条件可得：， ∴（a+1）（b+1） ＝ab+a+b+1 ＝ab+（a+b）+1 ＝﹣6+1+1 ＝﹣4， 故选：C． 7．（2026•瑶海区三模）如果x1，x2是一元二次方程﹣2x2+3x+6＝0的两个根，则x1+x2＝（　　） A． B．﹣3 C． D．3 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程﹣2x2+3x+6＝0的两个根， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴， 故选：C． 8．（2026•米东区模拟）某厂家2025年1～5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A．140（1+x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝450 【解答】解：由题意得：368（1+x）2＝450， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•上栗县模拟）已知一元二次方程x2+kx+6＝0的一个根为﹣2，则它的另一个根是　﹣3　 ． 【解答】解：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为m， 由根与系数的关系可得﹣2m＝6， ∴m＝﹣3， ∴方程的另一根为﹣3． 故答案为：﹣3． 10．（2026•邻水县模拟）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣8x+n＝0的两个根，则n的值为 　15或16　 ． 【解答】解：当等腰三角形的腰长为3时， 把x＝3代入方程x2﹣8x+n＝0得9﹣24+n＝0， 解得n＝15； 当等腰三角形的底边长为3时， ∵方程x2﹣8x+n＝0有两相等的实数解， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4n＝0， 解得n＝16， 综上所述，n的值为15或16． 故答案为：15或16． 11．（2026•龙海区校级模拟）α，β为方程kx2﹣2x+k＝0的两个实数根，则k的取值范围为　﹣1≤k≤1且k≠0　 ． 【解答】解：由条件可知该方程为一元二次方程，可得k≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×k＝4﹣4k2． ∵方程有两个实数根， ∴Δ≥0，即4﹣4k2≥0， 整理得，k2﹣1≤0， 故令y＝k2﹣1，其函数图象如下图所示： 当y＝0时，即0＝k2﹣1， ∴k＝±1，即A（﹣1，0），B（1，0）， ∴由图象可知，当y≤0时，即k2﹣1≤0， 此时，﹣1≤k≤1， 综上，k的取值范围是﹣1≤k≤1且k≠0． 故答案为：﹣1≤k≤1且k≠0． 12．（2026•香洲区三模）一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了　5　 个人． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 由题意得，（x+1）2＝36， 解得：x＝5． 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人． 故答案为：5． 13．（2026•靖江市二模）设关于x的方程x2﹣（a﹣2）x﹣3a﹣7＝0的两根分别是x1、x2，则代数式3（x1+x2）+x1x2的值为　﹣13　 ． 【解答】解：由方程x2﹣（a﹣2）x﹣3a﹣7＝0的两根分别是x1、x2， 则x1+x2， x1x2的， 3（x1+x2）+x1x2 ＝3（a﹣2）+（﹣3a﹣7） ＝3a﹣6﹣3a﹣7 ＝﹣13． 故答案为：﹣13． 14．（2026•肥城市三模）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． 则对于结论：①若三角形为等边三角形，则t＝2； ②若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ③若，则5＜t＜11； ④若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 正确结论的序号是　①②③　 ．（写出所有正确的结论） 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴，（）k＝1k＝1， ∴t＝1+1＝2，故结论①正确； ∵k＝2，t＝1， ∴（）2+（）2＝1， ∴a2+b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形，故结论②正确； ∵k＝1，c＝1， ∴ta+b， ∵ab+2， ∴tb+2+bb+2， 根据三角形三边关系列不等式组：， ∵c＝1，ab+2， ∴b+2+b＞1，恒成立；b+2+1＞b，解得b＜6；解得b＞2， ∴2＜b＜6， ∵， ∴t随b的增大而增大， ∴， ∴5＜t＜11，故结论③正确． ∵a，b，c为连续整数，a＜b＜c， ∴设a＝n，b＝n+1，c＝n+2（n为正整数）， ∵k＝1， ∴，且三角形三边满足a+b＞c， ∴解2n+1＞n+2，得n＞1，解， ∵n+2＞0， ∴3（2n+1）≤5（n+2）， ∴6n+3≤5n+10， ∴n≤7， ∴1＜n≤7， ∵n为正整数， ∴n＝2，3，4，5，6，7，共6个取值， ∴满足条件的三角形个数为6，故结论④错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三．解答题（共6小题） 15．（2026秋•玄武区校级月考）解下列方程： （1）4（x+3）2﹣1＝24； （2）． 【解答】解：（1）4（x+3）2﹣1＝24， ， ， 解得或． （2）， （2x﹣1）3＝﹣8， 2x﹣1＝﹣2， 解得． 16．（2026秋•朝阳区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正整数，求m的值． 【解答】（1）证明：由题意得：Δ＝（m﹣1）2﹣4（m﹣2） ＝m2﹣2m+1﹣4m+8 ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）由条件可知：（x+1）[x+（m﹣2）]＝0， 解得x＝﹣1或x＝2﹣m， ∵该方程有一个根是正整数， ∴2﹣m≥1的整数， ∴m≤1的整数． 17．（2026秋•天津校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若养鸡场面积为120m2，求鸡场长和宽各为多少米？ 【解答】解：设平行于墙的边长为xm，则垂直于墙的边长为， 根据题意，得， 解得x1＝12，x2＝20， ∵墙长18m， ∴x2＝20不合题意，舍去， ∴x＝12， ∴， 答：鸡场长为12米，宽为10米． 18．（2026春•荔城区校级期末）2026年，某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件．四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加40件，当商品降价多少元时，商场月获利6240元？ 【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， （1+x）2， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率为25%； （2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销量为（400+40m）件，根据题意可得： （40﹣m﹣25）（400+40m）＝6240， 整理得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m1＝2，m2＝3， 答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元． 19．（2024秋•龙江县月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ 【解答】解：设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则△DAP、△PBQ、△QCD的面积分别为、、． 根据题意，得6×1228， 即x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 答：2s或4s后△DPQ的面积等于 28 cm2． 20．（2026秋•碑林区校级月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“和谐方程”． （1）判断一元二次方程（x+3）2＝4是否为“和谐方程”，并说明理由； （2）若3x2﹣mx+n＝0是关于x的“和谐方程”，且m是该“和谐方程”的一个根，求m的值． 【解答】解：（1）一元二次方程（x+3）2＝4为“和谐方程”． 理由如下： 当x＝﹣1时，（x+3）2＝（﹣1+3）2＝4， 所以x＝﹣1为一元二次方程（x+3）2＝4的解， 所以一元二次方程（x+3）2＝4为“和谐方程”； （2）∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“和谐方程”， ∴3+m+n＝0， ∴n＝﹣m﹣3， ∵m是该“和谐方程”的一个根， ∴3m2﹣m2+n＝0， ∴2m2﹣m﹣3＝0， 解得m1，m2＝﹣1， 即m的值为或﹣1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $