第3章图形的相似练习卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第3章图形的相似练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•临淄区期中）已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 2．（2026秋•徐汇区校级同步）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，再添加一个条件，仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 3．（2026•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 4．（2026春•沂源县期末）如图，直线l1∥l2∥l3，AC＝6，DE＝3，EF＝2，则AB的长为（　　） A．3 B． C． D． 5．（2026•浙江模拟）如图，△ABC与△A'B'C'是以O为位似中心的位似图形，若已知OB：BB'＝1：2，△ABC的面积为2，则△A'B'C'的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．18 6．（2026•安徽模拟）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BEAB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•南岸区期末）如图，直立于地面的三根柱子AB，CD，EF，其中起固定作用的两根钢筋AD和BC相交于点E．已知CD＝10m，EF＝6m，则AB的高度为（　　） A．12m B．15m C．16m D．18m 8．（2026春•泰山区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D． 9．（2026秋•鲤城区校级月考）△ABC和△A′B′C′中，AB＝9cm，BC＝8cm，CA＝5cm，A′B′＝4.5cm，B′C′＝2.5cm，C′A′＝4cm，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△A′B′C′相似 B．AB与B′A′是对应边 C．两个三角形的相似比是2：1 D．BC与B′C′是对应边 10．（2026秋•沙坪坝区校级同步）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，连接BE，作EF⊥BE交∠CBE的角平分线于点F，交CD于点H，连接CE交BF于点M．若BE＝4EH，则△BEM的面积为（　　） A． B． C． D．． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•万州区校级月考）已知，则的值为___________________ ． 12．（2026•榆树市三模）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 __________________ ． 13．（2026•连州市校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 ___________________ ． 14．（2026秋•南岗区校级月考）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．AB＝3，AD＝6，BE＝4，则DF＝________ ． 15．（2026秋•靖江市校级月考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则C△DOE：C△AOC的值为__________________ ． 16．（2026•榆树市模拟）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为 ________ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•闵行区校级期中）如图，E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且FD•CD＝BD•AD． （1）求证：AE⊥BC； （2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC． 18．（2025秋•成都期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC，求DC的长． 19．（2026秋•南岗区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F． （1）求证：CD＝DF； （2）若BE平分∠ABC，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与△AEF相似的三角形． 20．（2026秋•市中区校级月考）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的位似图形△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）直接写出A2，B2的坐标： A2____________ ，B2____________ ． 21．（2026秋•鲤城区校级月考）如图，已知：在矩形ABCD中，E是边CD的中点，AF⊥BE，垂足为F，AF的延长线交BC于点G，连接DF． （1）求证：△ABG∽△BCE． （2）如果BF＝2，EF＝15，求AF的长． （3）求证：BG•DF＝2CE2． 22．（2026•湖北一模）数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，DE为过点C点的直线，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：DE＝AD+BE； 【拓展应用】 （2）如图3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连接DC交OB延长线于点E．猜想AO与BE的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB，AC边向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，若AH＝5，AG＝12，直接写出△DAE的面积． 第3章图形的相似练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•临淄区期中）已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 【解答】解：∵m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm， ∴， ∴n＝4cm． 故选：A． 2．（2026秋•徐汇区校级同步）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，再添加一个条件，仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【解答】解：由题意易得∠DAE＝∠CAB， 若∠ADE＝∠ACB，那么△ADE∽△ACB，则A不符合题意， 若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，那么△ADE∽△ABC，则B不符合题意， 若，那么△ADE∽△ACB，则C不符合题意， 若无法判定△ADE与△ACB相似，则D符合题意， 故选：D． 3．（2026•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 【解答】解：∵以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，B（6，﹣2）， ∴点B′的坐标为（6，﹣2）或（6×（），﹣2×（）），即（3，﹣1）或（﹣3，1）， 故选：C． 4．（2026春•沂源县期末）如图，直线l1∥l2∥l3，AC＝6，DE＝3，EF＝2，则AB的长为（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3 ∴， 即， ∴， 解得： 故选：D． 5．（2026•浙江模拟）如图，△ABC与△A'B'C'是以O为位似中心的位似图形，若已知OB：BB'＝1：2，△ABC的面积为2，则△A'B'C'的面积是（　　） A．4 B．6 C．8 D．18 【解答】解：∵OB：BB'＝1：2， ∴OB：OB'＝1：3， ∵△ABC与△A'B'C'是以O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'， ∴△AOB∽△A'OB'， ∴， ∴S△ABC：S△A′B′C′＝1：9， ∵△ABC的面积为2， ∴△A'B'C'的面积为：2×9＝18， 故选：D． 6．（2026•安徽模拟）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BEAB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过E点作EF∥BC交AC于M点，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴EM∥AD， ∵EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴， ∵BEAB， ∴AEAB， ∴， ∴EMBCAD， ∵EM∥AF， ∴△PEM∽△PFA， ∴， ∴， ∴S△APFS△AEPS． 故选：C． 7．（2025秋•南岸区期末）如图，直立于地面的三根柱子AB，CD，EF，其中起固定作用的两根钢筋AD和BC相交于点E．已知CD＝10m，EF＝6m，则AB的高度为（　　） A．12m B．15m C．16m D．18m 【解答】解：由题意AB∥EF∥CD， ∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD， ∴，， ∴， ∵CD＝10m，EF＝6m， ∴， 解得AB＝15m，且符合题意， 故选：B． 8．（2026春•泰山区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D． 【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，可判定△ABC∽△ADE，故不符合题意； B、∵，∴，可判定△ABC∽△ADE，故不符合题意； C、∵∠C＝∠E，可判定△ABC∽△ADE，故不符合题意； D、由，∠B＝∠D不能判定△ABC∽△ADE，故符合题意． 故选：D． 9．（2026秋•鲤城区校级月考）△ABC和△A′B′C′中，AB＝9cm，BC＝8cm，CA＝5cm，A′B′＝4.5cm，B′C′＝2.5cm，C′A′＝4cm，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△A′B′C′相似 B．AB与B′A′是对应边 C．两个三角形的相似比是2：1 D．BC与B′C′是对应边 【解答】解：由已知可看出，AB＝2A′B′，BC＝2C′A′，CA＝2B′C′． 即两三角形的对应边成比例且比例相等为2，C正确； 从而得到△ABC∽△B′A′C′，A正确； 则可以得到，AB与B′A′是对应边，B正确； BC与A′C′是对应边，D错误． 故选：D． 10．（2026秋•沙坪坝区校级同步）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，连接BE，作EF⊥BE交∠CBE的角平分线于点F，交CD于点H，连接CE交BF于点M．若BE＝4EH，则△BEM的面积为（　　） A． B． C． D．． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝BC＝8，∠A＝∠D＝90°， ∵BE⊥EF， ∴∠BEH＝90°， ∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠DEH+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEH， ∴Rt△ABE∽△DEH， ∴4， ∴DE2， ∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6， 在Rt△ABE中，∵AB＝8，AE＝6， ∴BE10， ∵BM平分∠CBE， ∴， ∴， ∴S△BEMS△BEC8×8． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•万州区校级月考）已知，则的值为　　 ． 【解答】解：∵， ∴根据比例的性质得，3b＝7（a﹣b），b≠0， ∴ab， ∴． 故答案为：． 12．（2026•榆树市三模）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为 　　 ． 【解答】解：∵CD∥EF， ∴， 又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4， ∴OC＝OA+AC＝1+2＝3， ∴． 故答案为：． 13．（2026•连州市校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 　　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△CAD， ∴， ∵AB＝3， ∴， ∴CDAC2， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2， ∴CD（9﹣BC2）＝3BC2， 设BC＝x， ∴BC+CD＝x+3x2 ∴x时，BC+CD的最大值为． 故答案为：． 14．（2026秋•南岗区校级月考）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．AB＝3，AD＝6，BE＝4，则DF＝　3.6　 ． 【解答】解：∵AB＝3，BE＝4， ∴由勾股定理得AE＝5， ∵△ABE∽△DFA， ∴，即， ∴DF＝3.6． 15．（2026秋•靖江市校级月考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则C△DOE：C△AOC的值为　　 ． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3， ∴， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴C△DOE：C△AOC， 故答案为：． 16．（2026•榆树市模拟）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为 　4：9　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，且OA：OA′＝2：3， ∴四边形ABCD和A′B′C′D′的相似比为2：3， ∴四边形与四边形的面积比为4：9． 故答案为4：9． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•闵行区校级期中）如图，E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且FD•CD＝BD•AD． （1）求证：AE⊥BC； （2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC． 【解答】证明：（1）∵CD⊥BA， ∴∠ADF＝∠BDC＝90°， ∵FD•CD＝BD•AD， ∴， ∴△FAD∽△BCD， ∴∠F＝∠B， ∵∠BAE＝∠FAD， ∴∠AEB＝∠ADF＝90°， ∴AE⊥BC； （2）∵BE＝CE，AE⊥BC， ∴AB＝AC， ∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°， ∴△ABE∽△CBD， ∴， ∴， ∴BC2＝2BD•AC． 18．（2025秋•成都期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC，求DC的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴， 设CD＝x，则BD＝3﹣x， ∴， ∴x＝1或x＝2， ∴DC＝1或DC＝2． 19．（2026秋•南岗区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F． （1）求证：CD＝DF； （2）若BE平分∠ABC，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与△AEF相似的三角形． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝∠DBF+∠C＝90°， ∴∠CAD＝∠DBF， 在△ACD与△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴CD＝DF； （2）解：∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝∠DBF+∠C＝90°， ∴∠CAD＝∠DBF， ∴△AEF∽△BDF，△AEF∽△BEC， 同理△AEF∽△ADC， 综上所述，与△AEF相似的三角形有△BDF、△BEC、△ADC． 20．（2026秋•市中区校级月考）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的位似图形△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1； （3）直接写出A2，B2的坐标： A2　（﹣4，﹣2）　 ，B2　（﹣2，﹣6）　 ． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）如图，△OA2B2即为所求； （3）A2（﹣4，﹣2），B2（﹣2，﹣6）． 故答案为：（﹣4，﹣2），（﹣2，﹣6）． 21．（2026秋•鲤城区校级月考）如图，已知：在矩形ABCD中，E是边CD的中点，AF⊥BE，垂足为F，AF的延长线交BC于点G，连接DF． （1）求证：△ABG∽△BCE． （2）如果BF＝2，EF＝15，求AF的长． （3）求证：BG•DF＝2CE2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABG＝∠C＝90°， ∴∠ABF+∠CBE＝90°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CBE， ∵∠ABG＝∠C＝90°， ∴△ABG∽△BCE； （2）解：∵∠AFB＝∠C＝90°，∠FAB＝∠CBE， ∴△AFB∽△BCE， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵E是边CD的中点， ∴EC＝EDCDAB， ∵BF＝2，EF＝15， ∴BE＝BF+EF＝2+15＝17， ∴， ∴AB＝2， ∵∠AFB＝90°， ∴AF8； （3）证明：如图，延长BE，AD交于点H， ∵△ABG∽△BCE， ∴， ∵ECAB， ∴AB＝2CE， ∴BG•BC＝2CE2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠HDE＝∠C， 在△EDH与△ECB中，， ∴△EDH≌△ECB（ASA）， ∴HD＝BC， ∵AD＝BC， ∴HD＝AD＝BCAH， ∵∠AFH＝90°， ∴DFAH， ∴DF＝BC， ∵BG•BC＝2CE2， ∴BG•DF＝2CE2． 22．（2026•湖北一模）数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，DE为过点C点的直线，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：DE＝AD+BE； 【拓展应用】 （2）如图3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连接DC交OB延长线于点E．猜想AO与BE的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB，AC边向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，若AH＝5，AG＝12，直接写出△DAE的面积． 【解答】（1）证明：∵AD⊥DE于点D，∠ACB＝90°， ∴∠D＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°， 即∠DAC＝∠BCE， ∵BE⊥DE， ∴∠E＝∠D＝90°， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE； （2）解：结论：OA＝2BE． 理由：如图，过点D作DT⊥OB于点T，连接CT． ∵∠AOB＝∠ABD＝∠DTB＝90°， ∴∠TBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠TBD＝∠BAO， ∵BD＝DA， ∴△DTB≌△BOA（AAS）， ∴DT＝OB，BT＝OA， ∵△BOC是等腰直角三角形， ∴OB＝BC＝DT， 又∵∠BEC＝∠TED，∠CBE＝∠DTE＝90°， ∴△BCE≌△TDE（AAS）， ∴BE＝TE， ∴BE＝2BE， ∴OA＝2BE； （3）解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ，， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG，同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN＝AG， ∵S△DAE＝S△AHD+S△AHE AH•DM•EN， ＝AH•AG ＝5×12 ＝60， ∴△ADE的面积等于60． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $