第3章 图形的相似 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

数学（北师版）九年级上 望综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2025大同期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C‘是以原点O为位似中心 的位似图形，点A在线段OA'上，AA'=2OA,若点B的坐标为(2,1)，则点B'的坐标为 () A.(4,2) B.(6,3) C.(8,4) G (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是边AB上的点，且BE=2AE,过点E作DE 的垂线交正方形的外角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于 点N,则MN的长为 () A司 c D.12 ②4云南中专]知图AB与CD交于点0.且ACBD,吉01S+部则品 4.[2025张家口期末]如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度 AB=60cm,台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm,支撑钢梁DE⊥AC,且D为BC的 中点，则钢梁DE的长为 cm. 舞台 J台阶 D (第4题) (第5题) 5.[2025榆林期末]如图，有一块形状为直角三角形的余料ABC.已知∠A=90°，AB= 6cm,AC=8cm,要把它加工成一个平行四边形工件DEFG,使GF在边BC上，D,E两 点分别在边AB,AC上，且DE=5cm,则口DEFG的面积为 cm2. 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为边CB的延长线上的一点，连接DE交边AB于 FG AD 点F,连接AC交DE于点G,且DC,连接AE. (1)求证：ABCD. 24 第三章图形的相似 EG2 AG (2)若AD=DG·DE,求证： CE2 AC B (第6题) 7.[2025珠海期中]天文学家开普勒曾说勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄 金，后者堪称珠玉 初识定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC2=AB·BC,那么 称线段AB被点C黄金分割，C叫作线段AB的黄金分割点，线段AC与AB的比值k叫 作黄金比。 (1)计算黄金比：如图①，C是线段AB的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令 AB=1,请求出k的值 (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金 比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，但是只有极少数人的身体符合这种黄金比.有 一位女性身高160cm,肚脐到脚底的高度是96cm,现在请你为她设计一个穿搭方案，使 得她的肚脐成为黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到0.1cm).(可能用到 的数值：√2≈1.414，W5≈1.732，√5≈2.236) (3)迁移拓展（剪拼中的黄金分割）：在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩 形.如图②，将左边的正方形沿图中虚线（其中x<y,AE=x,BE=y)剪成①②③④四块 图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图②左边的正方形中找出一 个黄金矩形，并说明理由. D ②、 ① ③④ A C B ① (第7题) 25 数学（北师版）九年级上 8.[2025龙岩永定期末]如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,在CD边上取一点E,将 △BCE翻折，使点C落在点P处，折痕为BE,BE⊥CP交于点Q, 【特例感知】(1)如图①，若点P恰好落在边AD上，求证：△BCE∽△CDP, 【变式求异】(2)如图②，若E是CD的中点，点P落在矩形内部，求点P到CD的距离. 【化归探究】(3)如图③，若CE=3DE,EP交AD于点F,求DF的长， ② ③ (第8题) 9.「2024广元中考]数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是 培养动手能力、创新能力的一种手段.小强在学习相似的相关知识后对“直角三角形斜边 上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决 在△ABC中，D为边AB上一点，连接CD, (1)如图②，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB (2)如图③，在(1)的条件下，若D为AB的中点，BC=4,求CD的长， (3)如图④，E为CD的中点，连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD, AC=2√7，求BE的长. ② ③ (第9题) 26三相似比为对应边长之比，即，C:相似比为 C BC √21 222 。(2)如图，点M即为所求作 5432-10 (第7题) [综合素养提升] ①B,△ABC和△A'B'C是以原点O为位似中心的位 似图形，∴.△ABC△A'B'C.AA'=2OA,∴.相似比 为号：点B的坐标为(2,1)点B'的坐标为(2×3， 1×3),即(6,3). ②B如图，过点F作FH⊥BG于点H,FK⊥BC于点 K,则∠EHF=90°.易证四边形BHFK是正方形.：四边 形ABCD是正方形，∴.∠A=90°=∠EHF,∴.∠EFH十 ∠FEH=90°.：DE⊥EF,.∠DEA+∠FEH=90 ∠DEA=∠BFH.△DARAFHF.品品 正方形ABCD的边长为3，BE=2AE,∴.AE=1,BE 2.设FH=a,则易得BH=a..HE=2十a.2十a 3 得a1.·FH=B=1.易证△DCNa “祭然：易得=3，脉=FK=1…CK=2设 CN=6,则KN=2-6:马=2名6解得6=号，即 CN=兰易E△ADE△BEM,品-器即号= BM=号MN=BC-CN-BM=3- 2-5 361 E (第2题) 附：答案与解析 'AC∥BD,.△AOC∽△BOD. OA+OC+ACAC.AC 1 ·OB+OD+BD-BD·BD-21 ④24由题意得AB⊥BC,∴.∠ABC=90°DE⊥AC, ∴.∠DEC=90°..∠DEC=∠ABC=90°.：AB= 60cm,AB+BC=140cm,∴.BC=140-60=80(cm). ∴.AC=√AB2+BC=√602+80=100(cm).:D为 BC的中点，CD=2BC=40cm:∠ACB=∠DCE :△CD0△CA.积-货：品-焉解得 DE=24 cm. ⑤12如图，分别过点A,D作BC的垂线，垂足分别为 H,M,AH交DE于点N,BC=√AB2+AC=10cm, :SaME=合AC·AB=号C·AH.AH= 1 AC5-酷m:四边形DEFG是平行四边形， BC DE/mC.△ADEn△MBc.-8=品 2·AN=AH=号em:DM=AH-AN= 12 cm.六.S.eG=DE·DM=5X号 -12(cm). D BGM H F (第5题) 01):AD/BC易得是瓷：品-架 CAC-FG∠AGF=∠CGD,.△AGFn△CGD, .∠AFG=∠CDG.∴.AB∥CD.(2).AD∥BC, 易毋瓷-是·器需“器器 AD=cD器-瓷：AD易得 器路架 ·CE-AC ⑦(1)设AC=x,根据黄金分割点的定义可得x2=1· 1-x,解得，=5-1， 2,x2=二5二1（舍去），k= 2 兰-5(》方案穿离跟鞋设高鞋的高度为 51 数学（北师版）九年级上 y6m根据黄金分制点的定义可得微卡-后，解得 y≈7.5.经检验，y=7.5是该方程的解.∴穿一双高度约 为7.5cm的高跟鞋.(3)矩形EBCF是黄金矩形.理由： 根据左右两个图的面积相等得(x十y)2=y(x十2y),化简 得号-2（负值合去傺 y 六，“矩形B0F是黄全矩形 ⑧(1)BE⊥CP,∴.∠BQC=90..∠QBC+ ∠QCB=90°.四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°， .∠QCB+∠DCP=90°..∠QBC=∠DCP. ∠BCE=∠D=90°，∴.△BCE∽△CDP.(2)如图 ①，过点P作PH⊥CD于点H,连接PD,:AB=8, AD=12,E是CD的中点，.BC=12,CE=×8=4同 a可海△E△CHD,器-畏，即哩-得 .CH=3PH.设PH=x,则CH=3x,∴.HE=3x-4. 将△BCE翻折，使点C落在点P处，∴CE=PE=4. 在Rt△EHP中，PH2+HE2=PE2,∴.x2+(3x-4)2= ,解得x=0或x-号PH-号，即点P到CD的E 离为号 (3)如图②，过点P作PG⊥CD于点G,连接 CP,CE=3DE,CD=8,∴CE=6,DE=2.同(1)可得 △E0△0Gn,:器货-是-子cG=2G设 PG=m,则CG=2,∴.GE=2m-6,而EP=EC=6.在 Rt△EGP中，PG2+GE2=EP2,∴.m2+(2m-6)2=62, 解得网-0或m兰1PG 24 号，GE=2m-6=2x号 6=18:易知PG∥FD,△EDF∽△EGP.PF 5 PG 器即-总解得D-DF长为 55 D ① ② (第8题) ⑨(1)：∠A=∠A,∠ACD=∠B,∴.△ACD∽ 52 △M是铝AMC-AD:AR（2设AD- m(m>0).,D为AB的中点，∴.AD=BD=m.∴.AB= 2m由(I.得△MCDn△Mx.畏-把-S ∴.AC=AD·AB=mX2m=2m2..AC=√2m(负值舍 小股-6-票-县风=4① 2 2BC2×4=22.(3)如图，取BD的中点M,连接 2 CM,EM.E为CD的中点，∴.EM是△BCD的中位线. ∴.EM∥CB.∠CDB=∠CBD=30°，∴.CD=CB, ∠EMD=∠CBD=30°.∴.CM⊥BD,∠ADC=∠BME= 180°-30°=150°.：∠ACD=∠EBD,即∠ACD= ∠I..MCDAFIM.0:∠aMR- 90°，∠CBM=30°，.CD=CB=2CM.设CM=x,则 CD=CB=2x.∴.BM=√CB2-CM=√/(2x)2-x2= 盖-最意9E-号c=号× 2 27=√2I. D (第9题) 第四章投影与视图 [高频考点突破] ①如图所示 主视图 左视图 俯视图 ○ 主视图 左视图 俯视图 (第1题)