第2章直线和圆的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2章直线和圆的方程重难点练习-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．设点，若在直线：与直线：上分别存在点M，N，使得为等边三角形，则（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 4．已知函数，若为定值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A． B．16 C． D．15 6．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 7．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的倾斜角为 B．若直线在两坐标轴的截距相等，则 C．直线与直线垂直，则 D．若直线不过第二象限，则， 10．下列说法正确的是（ ） A．点为圆外一点，则实数的取值范围为 B．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 11．已知圆，直线，则（     ） A．直线恒过定点 B．圆与圆有四条公切线 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．当时，为圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题 12．已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 13．直线：与直线：间的距离为________． 14．已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15．已知两条直线和. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 17．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． (1)求圆的标准方程； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 18．已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 19．已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． (1)求点的轨迹方程； (2)已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章直线和圆的方程重难点练习-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A A A A A AC BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】因为直线经过两点，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2．D 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，因为两条直线互相垂直，所以 ，得，解得. 3．D 【详解】根据题意可得点H在上，也在上． 因为为等边三角形，所以与的夹角为． 因为的倾斜角为，所以的倾斜角为或， 所以或． 4．A 【分析】利用可得，设，那么点在半圆上运动，相当于点到两条平行线与距离之差的倍，作出图象，结合图形即可求解. 【详解】由可得即， 设，那么点在半圆上运动， 相当于点到两条平行线与距离之差的倍， 作出图象如下：    由图象可知当直线与半圆相切时，取最小值， 那么,解得 （舍去）， 所以的最小值为. 5．A 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解． 【详解】已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为．    6．A 【分析】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴，建立平面直角坐标系，根据题意可以得到拱与水面交点为，拱顶坐标，设圆心为，圆的半径为，列出关于的方程组，解出，从而得到圆的方程，根据船顶部宽为，即船顶边缘在处，将其代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）水位暴涨后，新水面在位置，求出此时处的拱下净空，船原来高出正常水面，当前净空仅约，从而求出船身需要降低. 【详解】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴， 建立平面直角坐标系， 正常水位下水面宽，即拱与水面交点为，拱顶坐标， 设圆心为，圆的半径为， 则有， 解得， ， 则圆的方程为， 船顶部宽为，即船顶边缘在处， 将代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）： 即， 水位暴涨后，新水面在位置， 此时处的拱下净空为， 船原来高出正常水面，当前净空仅约， 因此船身需要降低. 7．A 【分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉线方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可. 【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为， 代入欧拉线方程得：， 整理得： ① 的中点为，， 的中垂线方程为，即. 联立，解得. 的外心为. 则， 整理得： ② 联立①②得：或. 当时重合，舍去. 顶点的坐标是. 【点睛】解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程. 8．A 【分析】根据米勒问题的结论，当最大时，过、、三点的圆与轴相切于点，利用圆心在的垂直平分线上及圆与轴相切的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，，， 则线段的中点坐标为，即， 直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为过、、三点的圆与轴相切于点， 所以圆心必在直线上， 设圆心坐标为， 则圆的半径，且切点的坐标为. 又因为圆过点， 所以，即， 化简得， 整理得， 即，解得或. 当时，半径；当时，半径. 由正弦定理可知，在的外接圆中，， 因为为定值，且为锐角， 所以当半径最小时，最大，即最大. 因为，所以当时，取最大值， 此时点的横坐标为. 9．AC 【分析】对于A，根据直线的斜率与倾斜角及其关系即可判断；对于B，分别令和求出两坐标轴的截距，由其相等计算即可得解；对于C，由两直线垂直的充要条件即可求解判断；对于D，由题意得，计算其即可得解. 【详解】对于选项A，当时，直线l可化为，故直线的斜率为， 所以倾斜角为，正确； 对于选项B，由题意，令，得，令，得， 若截距相等，则有，解得或，错误； 对于选项C，由直线垂直的充要条件得，解得，正确； 对于选项D，直线l可化为， 因为不过第二象限，所以，解得， 所以，错误. 10．BC 【分析】对于A，保证为圆，同时点为圆外一点建立不等式即可；对于B，圆上恰有两点到点的距离为1， 所以圆与圆相交， 再根据两圆相交的条件求解即可；对于C，直线过定点，点到直线的距离最大时，直线应与垂直，此时m的值为；对于D，当时，或直线与曲线相切时满足恰有一个公共点，同时直线与曲线相切时满足恰有一个公共点，此时，故D错误. 【详解】对于A，，需满足. 点在圆外，满足， 解得，故A错误. 对于B，圆上恰有两点到点的距离为1， 所以即圆与圆相交， 两圆圆心距为， 两圆相交应满足，解得.故B正确. 对于C，由题意可得直线过定点， 点到直线的距离最大时，直线应与垂直， ，此时直线的斜率为，故C正确. 对于D，直线与曲线恰有一个公共点,其图形如下所示. 当时，或直线与曲线相切时满足恰有一个公共点， 当直线与曲线相切时也满足恰有一个公共点，此时，故D错误. 11．ACD 【详解】对于选项A，由化简得，当时，，解得，所以A正确； 对于选项B，圆圆心为，半径为，圆变形为，可得圆心为，半径为， 则两圆心距离为，半径和为5，所以两圆外切，则有3条公切线，所以B错误； 对于选项C，当时，直线，则圆心，到直线的距离为，则， 所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1，选项C正确； 对于选项D，当时，直线， 到直线的距离为，圆心，到直线的距离为， 所以圆上一点到直线的最远距离为，即的最大值为， 所以的最大值为，所以D正确. 12．3 【分析】由已知得直线与以为圆心，1为半径的圆相切，且直线与以为圆心，2为半径的圆相切，即直线是圆与圆的公切线，由圆心距离，得两圆相外切，从而求出满足条件的直线有3条． 【详解】点到直线的距离为1， 则直线是以为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 点到直线的距离为2， 则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 直线是圆与圆的公切线， 圆心距离， 两圆相外切， 满足条件的直线有3条． 13． 【详解】直线的方程可化为， 直线：与直线：间的距离为 14． 【分析】根据题意，作出图形，结合图形转化为，利用两点间距离公式，求得点的轨迹方程，结合直线与圆有交点，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，可得， 由圆表示以为圆心，半径为的圆， 圆表示以为圆心，半径为的圆， 可得且， 所以，可得， 不妨设，因为，可得 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又因为在直线上，所以圆有交点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列式计算即得； （2）利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】（1）由，可得，解得. （2）由，可得且，解得. 16．(1) (2)① 斜率为或；② 光线路程：； 【分析】（1）先整理直线方程，分离参数，分成含参数和不含参数两部分；再根据直线恒过定点的特点，令两部分同时等于零，联立得到二元一次方程组；最后解方程组，求出定点的坐标； （2）①先利用定点写出直线的点斜式并化为一般式，再将原点到直线的距离代入点到直线距离公式建立方程，接着平方化简得到关于斜率的一元二次方程，解方程得到两个斜率，留待下一问根据倾斜角条件筛选；②求光线路程，先根据倾斜角条件筛选符合要求的斜率，再利用反射性质，将路程转化为两个对称点之间的距离，用两点间距离公式计算即可. 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得出点的横坐标，将代入直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）设、，由中点坐标公式化简得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为圆与轴交于两点、，则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心， 圆的半径为， 圆C的标准方程为． （2）设、，由中点坐标公式得，即． 将点的坐标代入圆C的方程得， 即，即， 化简得， 线段中点的轨迹方程为． 18．(1)或 (2) (3)（法一）设点， 则， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点． （法二）设点， 则以为直径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点， 则当点在直线上运动时，直线过定点. 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. （3）（法一）设点，利用两点间距离公式求出，得到以为圆心，为半径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点．（法二）设点，求出以为直径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点． 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点， 则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或． （2）设点， 则四边形的面积为： ， 因为，所以． （3）略 19．(1) (2)（i）； （ii）设直线过点，斜率存在且不为，设轴上的定点为，如图所示， 联立直线与的轨迹方程，即，消去得， 整理得，解得，对应的， 不妨设，线段的中点为原点，且， 所以圆的圆心为，半径，方程为， 假设存在定点 满足条件，设直线的方程为， 联立，消去得，整理得， 设，则是上述方程的两根，恒成立， 由韦达定理得，， 此时 ， 令，解得或或， 当时，取定值；当时，取定值；当时，取定值； 综上所述，当点的坐标为时，取定值；当点的坐标为时，取定值； 当点的坐标为时，取定值. 【分析】（1）根据“伴生点”的定义以及几何性质，建立关于的方程，求出的长度，进而得到点的轨迹； （2）（i）根据“伴生点”的定义，得到圆的“伴生点”轨迹方程，再根据“共生点”的定义，将圆和圆的“伴生点”轨迹方程相减即可得到直线的方程；（ii）根据题意，设点，先通过联立直线与的轨迹方程求出的坐标，确定圆的圆心和半径，再联立直线和圆，利用韦达定理得到的表达式，根据为定值解得的值即可得出结论. 【详解】（1）将圆的方程配方得：，所以圆的圆心为，半径， 设点的坐标为，因为点在圆外，所以，连接并延长交圆于两点，如图所示， 则的最大值为，最小值为 。 由题意知，即，解得， 由两点间距离公式得，两边平方得： 故点的轨迹方程为. （2）（i）由（1）知，圆的“伴生点”轨迹方程为， 对于圆，其圆心为，半径， 设点为圆的“伴生点”，则点到圆心的距离 满足， 代入的值，， 所以圆的“伴生点”轨迹方程为：， 因为均为圆“ ”的“共生点”，所以是方程 ① 和 ② 表示的两个圆的交点， 两式相减得， 展开并化简，得，故直线的方程为； （ii）略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $