第25-27章阶段巩固卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25-27章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次函数的图象开口向下的是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 5．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 10．已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题 11．关于的一元二次方程的解为___________． 12．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为________人． 13．如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为________． 14．直线与双曲线交于，两点，则________． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）当时，抛物线的顶点坐标________； （2）设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，当为等边三角形时，的值为________． 16．已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求实数的值． 19．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．且，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点，连接，，求的面积的最大值． 20．“走千走万，不如淮河两岸”．淮南市位于淮河沿岸，物产丰饶．淮南牛肉汤历史悠久，经过多年的发展已成为一张靓丽的地方名片．如图所示的是一个汤碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底中心O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽为，碗深为． (1)若向空碗中缓慢注水，当水面的水平宽度为时，求此时水面距离碗底的竖直高度； (2)已知碗内盛满水，则当水面的竖直高度下降时，碗中水面的水平宽度为多少?（碗的厚度忽略不计，结果保留根号） 21．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 22．如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________．（用含的代数式表示）； (2)时间的取值范围是___________． (3)如果分别从两点出发，那么多少秒后，的面积等于； (4)点运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 23．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第25-27章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B C A C C A D 1．D 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，含未知数项最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意． 2．B 【详解】解：对于二次函数， 当时，抛物线的方向朝上，当时，抛物线的方向朝下， 二次函数的图象开口向下的是. 3．D 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限， 又， 反比例函数的图象在第四象限． 4．B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 5．C 【分析】增长率问题，一般用“增长后的量增长前的量（1+增长率）”进行计算．如果游客人数的年平均增长率为x，根据2015年约为12万人次，则2016年约为万人次，2017年约为万人次，结合“2017年约为17万人次”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意，可得． 6．A 【分析】根据抛物线开口方向与对称轴确定增减性即可解答． 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数有最大值， ， ， ，，， 点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，且小于到对称轴的距离， ． 7．C 【分析】根据可以求出，从而求出点、、的坐标，根据点、、的坐标求出的面积． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点， ，， ， ， 解得：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示， 轴于点， 点的坐标是， ， ． 8．C 【分析】可求出一次函数与二次函数交于点，则可排除B、D；再根据一次函数经过的象限和二次函数的图象分别判断的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴一次函数与二次函数交于点，故B、D不符合题意； A选项中，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C选项中，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，且对称轴在y轴左侧，则，即，二者一致，故此选项符合题意； 9．A 【详解】解：设， 由题意得， 同理 故． 10．D 【分析】求解，过P向作垂线，则，结合可得答案. 【详解】解：， ∵，点M的坐标为， ∴， 过P向作垂线，则， ， 当点共线时，， ∴的最小值为． 11．， 【分析】根据两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个是0，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 12．8 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮后总患病的人数为人，从而可得第二轮后总患病的人数为人，结合经过两轮传染后共有81人患了流感列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮后总患病的人数为人， ∴第二轮后总患病的人数为人， 由题意可得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人． 13． 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出对应抛物线的解析式，再求出时x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设该抛物线的解析式为， 由题意得，点在该抛物线上，则， ∴， ∴该抛物线的解析式为， 当时，则，解得， ∴当水面下降时，水面的宽度为． 14． 【分析】根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性，得到两点坐标的关系，再结合反比例函数图像上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图像均关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， ∴． 15． 或 【分析】（1）当时，把抛物线的解析式化为顶点式即可得出结果； （2）先求出，，从而可得，求出，从而可得，，最后结合等边三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，， ∴当时，抛物线的顶点坐标； （2）在中，当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 解得或， ∴的值为或． 16． 【分析】根据已知条件求出两点的坐标，即可求出的面积，用矩形的面积减去上面三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 代入得：， ， ， 由题意知：点的纵坐标为，代入得：， 点的坐标为， ，， ， ． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用平方相等则两式相等或互为相反数，因式分解法解一元二次方程； （2）运用公式法求解一元二次方程； （3）使用配方法求解一元二次方程； （4）先移项，提取公因式，因式分解法解方程． 【详解】（1）解： 或 解得： 解得： 所以方程的解为，． （2）解： ，，， ∴ 所以方程的解为，． （3）解： ， 所以方程的解为，． （4）解： 或 解得：或 所以方程的解为，． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得方程，解方程即可求出的值，再根据（1）中的取值范围把不符合条件的值舍去． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根和， ， ；         （2）解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， 又， ． 19．(1) (2)最大值为 【分析】（1）求出点的坐标是，根据求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （2）根据抛物线的函数解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质求出的最大值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 将代入中， 可得：， 解得：， 抛物线的函数解析式为；     （2）解：由（1）知函数的解析式为， 点是抛物线的顶点， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则， 轴于点， ， 的面积为， ，， 当时，的面积有最大值，最大值为． 20．(1) (2) 【分析】（1）设二次函数表达式：，进一步利用待定系数法求解解析式即可； （2）把代入函数解析式，进一步可得答案. 【详解】（1）解：设二次函数表达式：， 把代入， ， ∴二次函数的表达式， 当水面水平宽度为时，即， ， 即此时水面距离碗底竖直高度为． （2）解：由题意可知： 令．得 ∴水面宽度 即碗中水面的水平宽度为． 21．(1)反比例函数的表达式为 ； (2)点的坐标为． 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差： 整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 22．(1) (2) (3)1秒后，的面积等于 (4)当运动2秒后，的面积最大，最大为 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据当点运动到点时，秒，结合当运动到时，两点停止运动，即可得出结果； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：当点运动到点时，秒； 点运动到点时，秒， ∵当运动到时，两点停止运动， ∴. （3）解：， 的面积， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； ， 答：1秒后，的面积等于； （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大， ， 当时，的值最大为； 故当运动2秒后，的面积最大，最大为． 23．(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或； （3）解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $