精品解析：浙江绍兴市元培中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

初三数学独立作业 温馨提示： 1．本试题卷共24题，满分120分，时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 3. 若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（　　） A. 7m B. 7.5m C. 8m D. 8.5m 8. 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（　　　） A. 0．71s B. 0．70s C. 0．63s D. 0．36s 9. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 12. 工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 13. 已知二次函数中的x、y满足下表： x 1 3 4 5 y 0 4 0 m 则m的值为________． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 15. 抛物线，当时，y的取值范围是________． 16. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，对称轴直线，，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④；⑤．其中正确的有________．（填序号） 三、解答题（第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当x取何值时，抛物线在x轴的下方？ （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 18. 已知二次函数． （1）求二次函数与坐标轴的交点坐标； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 19. 现有，两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，袋装有1个白球，2个红球；袋装有1个红球，2个白球． （1）将袋摇匀，然后从袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______； （2）小王和小周商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中各随机摸出一个球，摸出的这两个球，若颜色相同，则小王获胜；若颜色不同，则小周获胜．请利用概率说明这个游戏规则是否公平． 20. 定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． （1）点和点B在抛物线上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12，求b，c的值； （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”．若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． 21. 如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地，，所用铁栅栏的长为42米，在边有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）求S与x的函数表达式，并求自变量x的取值范围； （2）若围成的矩形场地的面积为192平方米，求边的长； （3）要使围成的矩形场地的面积最大，求边的长及面积的最大值． 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）若图象经过点，求m的值； （2）求证：二次函数与x轴有两个交点； （3）当时，若y的最大值是5，求m的值． 24. 如图，二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标； （3）动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学独立作业 温馨提示： 1．本试题卷共24题，满分120分，时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，可直接计算得出顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】D 【解析】 【详解】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误； B．摸到白球是随机事件，故此选项错误； C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误； D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确； 故选：D． 3. 若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的公共点的纵坐标都为0，可判定这两点是抛物线上的一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为和，即这两个点关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 4. 某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，总共有4种选择， 选中梅岐红色教育基地有1种，则概率为， 故选：B 【点睛】此题考查了概率的求法，通过所有可能结果得出，再从中选出符合事件结果的数目，然后根据概率公式求出事件概率． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 6. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出，，的值，比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（　　） A. 7m B. 7.5m C. 8m D. 8.5m 【答案】C 【解析】 【详解】根据出手点A的坐标为求出函数关系式，再令可解得答案． 【解答】解：把A代入得： ， ∴， ∴， 令得， 解得（舍去）或， ∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式． 8. 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（　　　） A. 0．71s B. 0．70s C. 0．63s D. 0．36s 【答案】D 【解析】 【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答. 【详解】解：h=3.5t-4.9t2 =-4.9（t-）2+， ∵-4.9＜0 ∴当t=≈0.36s时，h最大． 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键. 9. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 10. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率求法进而得出答案． 【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键． 12. 工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在附近， 因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为． 13. 已知二次函数中的x、y满足下表： x 1 3 4 5 y 0 4 0 m 则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数对称点求对称轴，再求解析式验证得结果． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， 设函数解析式为， 代入，得：， 解得， ∴， 验证得时，，符合表格；时，，符合表格， 当时，， ∴． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】找出二次函数图象在一次函数图象的上方部分即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，当时，则x的取值范围是或． 15. 抛物线，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴位置，对称轴在给定区间内，开口向上时顶点处取最小值，比较区间端点函数值得最大值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵对于二次函数，对称轴为，此处，， ∴对称轴为， ∵，对称轴在给定范围内，开口向上的抛物线顶点处取得最小值， ∴当时，取最小值，代入得， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为， 因此的取值范围是． 16. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，对称轴直线，，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④；⑤．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，从而得出，，再求出，即可判断①正确；由二次函数图象可得，当时，，即可判断②错误；求出二次函数与轴的另一个交点的坐标为，即可判断③错误；求出，再结合，即可判断④正确；表示出，，再利用作差法，计算即可判断⑤正确． 【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由二次函数图象可得，当时，， ∴， ∴，故②错误； ∵点A的坐标是，对称轴直线， ∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为， ∴关于x的方程的解是，，故③错误； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①④⑤． 三、解答题（第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当x取何值时，抛物线在x轴的下方？ （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1） （2）当时，抛物线在轴的下方 （3）当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出二次函数的图象与轴的交点坐标为和，再结合二次函数的图象开口向上，即可得出结果； （3）先求出二次函数的对称轴，再结合二次函数的图象开口向上，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为和， ∵二次项系数， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，抛物线在轴的下方； 【小问3详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时，随的增大而增大． 18. 已知二次函数． （1）求二次函数与坐标轴的交点坐标； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，，进行求解即可； （2）将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，五点作图法画出函数图象即可； （3）图象法求出方程的根即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 当时， ， 解得， ∴二次函数与坐标轴的交点分别为． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 画图略． 【小问3详解】 解：由图象可知，，即方程的近似根为. 19. 现有，两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，袋装有1个白球，2个红球；袋装有1个红球，2个白球． （1）将袋摇匀，然后从袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______； （2）小王和小周商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中各随机摸出一个球，摸出的这两个球，若颜色相同，则小王获胜；若颜色不同，则小周获胜．请利用概率说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）；（2）这个游戏规则是不公平． 【解析】 【分析】（1）用A袋中红球个数÷A袋中总球数即可； （2）（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，则P（颜色不相同），P（颜色相同），因此这个游戏规则对双方不公平． 【详解】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种， ∴P（摸出红球）； （2）根据题意，画出树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种． 所以（颜色相同）；（颜色不同）． ∵， ∴这个游戏规则是不公平． 【点睛】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 20. 定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则称点Q是点P的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． （1）点和点B在抛物线上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12，求b，c的值； （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”．若点M，N的纵坐标相等，求点M，N的横坐标． 【答案】（1）， （2）点的横坐标为，点的横坐标为 【解析】 【分析】（1）根据“黄金搭档点”的定义求出，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）得抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，再结合点M，N的纵坐标相等，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12， ∴， ∵点和点B在抛物线上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的表达式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点M，N的纵坐标相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 21. 如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地，，所用铁栅栏的长为42米，在边有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）求S与x的函数表达式，并求自变量x的取值范围； （2）若围成的矩形场地的面积为192平方米，求边的长； （3）要使围成的矩形场地的面积最大，求边的长及面积的最大值． 【答案】（1），； （2）米 （3）边的长米，面积的最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）利用矩形的面积公式列出函数关系式，根据矩形的边长为正数，且平行于墙的一边的边长不超过墙长，以及，求出自变量的取值范围； （2）令，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，米， ∴， 由题意，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故边的长为米； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的开口向下， ∵； ∴当时，有最大值为242； 答：边的长米，面积的最大值为平方米. 22. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）若图象经过点，求m的值； （2）求证：二次函数与x轴有两个交点； （3）当时，若y的最大值是5，求m的值． 【答案】（1） （2） 证明：令，得， ， ∵， ∴，即， ∴二次函数的图象与轴有两个交点； （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式，解关于的一元一次方程． （2）计算对应一元二次方程的判别式，配方后证明其恒大于0． （3）结合二次函数的开口方向与对称轴位置，分三种情况讨论区间内的最大值，列方程求解并结合前提取舍． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：二次函数开口向下，对称轴为直线， ①当时，在范围内，随的增大而减小， 当时，取得最大值，代入得， 解得，不符合，舍去， ②当时，当时，取得最大值， 代入得，整理得， 解得（不符合，舍去），， ③当时，在范围内，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 代入得， 解得，符合， 综上所述，的值为或． 24. 如图，二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标； （3）动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值时，有最大值，可求出的最大值为； （3）分顺时针和逆时针旋转两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值时，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设点Q的坐标为， 当线段绕点Q逆时针旋转时： ①如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，则； ∴， ∴； ∵， ∴； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； ②如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当线段绕点Q顺时针旋转时： ①当点在轴上方时，如图， 同法可得：， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 当点在轴下方时，如图， 同法可得：， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $