专题02 简单几何体（期中复习讲义）高二数学上学期沪教版

专题02 简单几何体 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 多面体与棱柱、圆柱 考点二 棱锥、圆锥 考点三 棱台、圆台 考点四 祖暅原理、旋转体 考点五 球 05 重难题型突破 题型1 几何体的结构特征和分类 题型2 柱体体积的有关计算 题型3 柱体表面积的有关计算 题型4 棱柱的展开图及最短距离问题 题型5 锥体体积的有关计算 题型6 锥体的表面积的有关计算 题型7 圆锥中截面的有关计算 题型8 锥体的展开图及最短距离问题 题型9 球的截面的性质及计算 题型10 球的体积、表面积的有关计算 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的结构特征，柱锥台球的表面积与体积公式是期中高频考点；祖暅原理、台体结构与体积、球的截面属于中档常考考点；正多面体考查频次较低；表面积混淆侧面积与全面积、高与斜高、母线概念混淆是本专题主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：直接识别柱、锥、台、球几何体，套用基础体积、表面积公式计算，侧重概念识记； 中档题：几何体截面分析、台体体积表面积计算、球的截面相关计算，容易混淆斜高与几何体的高； 命题联动：几何体体积表面积常结合空间直观图、简单立体几何图形综合出题，是期中热门考法。 3.考情总结 题型以选择、填空为主，部分试卷解答题设置几何体体积表面积计算；整体以基础、中档题为主；区分侧面积和全面积、分清高与斜高是高频陷阱，极少出现复杂压轴计算。 识记 1.熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征，分清直棱柱、正棱柱、正棱锥概念； 2.牢记柱、锥、台、球的体积、表面积、侧面积全部公式； 3.识记祖暅原理文字内容； 理解 1.理解棱柱、棱锥、棱台之间的演变关系，明白棱台必须由棱锥平行底面截取得到； 2.理解祖暅原理“幂势既同，则积不容异”的含义； 3.分清几何体的高、斜高、母线三者的区别；理解旋转体形成过程，看清旋转轴； 应用 1.能够辨别各类柱锥台几何体，区分多面体与旋转体； 2.熟练选用对应公式求解柱、锥、台、球的体积与表面积，计算时区分侧面积与全面积； 3.能利用祖暅原理简单判断体积相等关系； 4.会处理球的截面基础计算 考点一 多面体与棱柱、圆柱 1.多面体：由平面多边形围成封闭几何体，最少4个面；包含面、棱、顶点、对角线、截面概念。 2.棱柱：底面平行且全等，侧面为平行四边形，侧棱平行相等；分为直棱柱、斜棱柱、正棱柱。 3.圆柱：矩形绕一边旋转得到；柱体体积；直棱柱、圆柱有对应的侧面积、表面积公式。 ⚠️易混易错 混淆直棱柱与正棱柱，正棱柱要求底面是正多边形的直棱柱；计算表面积漏算上下底面，把侧面积直接当作表面积；棱柱的高不等于侧棱长（斜棱柱）。 考点二 棱锥、圆锥 1.棱锥：底面为多边形，侧面是共顶点的三角形；正棱锥底面为正多边形，顶点在底面投影为底面中心；正四面体是特殊三棱锥。 2.圆锥：直角三角形绕一条直角边旋转得到，母线全部相等。 3.锥体体积公式；掌握正棱锥、圆锥侧面积、表面积公式。 ⚠️易混易错 正棱锥计算把斜高当成棱锥的高；锥体体积忘记系数；混淆圆锥的高、母线、底面半径，忽略三者满足勾股关系。 考点三 棱台、圆台 1.台体来源：锥体被平行底面的平面截去顶部小锥体剩余部分；正棱台由正棱锥截取得到。 2.棱台上下底面是相似多边形，侧棱延长交于一点；圆台由圆锥截取得到。 3.台体体积公式，正棱台、圆台表面积公式。 ⚠️易混易错 认为只要上下底面平行就是棱台，忽略侧棱延长线必须交于同一点；台体体积公式记错系数；混淆正棱台的斜高与几何体的高。 考点四 祖暅原理、旋转体 1.祖暅原理：夹在两平行平面间几何体，任意平行截面面积相等，则体积相等，即“幂势既同，则积不容异”。 2.旋转体：平面封闭图形绕定轴旋转一周得到；分清圆柱、圆锥、圆台对应的旋转平面图形。 ⚠️易混易错 不理解祖暅原理中“任意平面截得截面面积相等”中“任意”条件 考点五 球 1.球：半圆面绕直径旋转一周形成；球心、半径、直径概念；截面性质：截面都是圆，分为大圆（过球心）、小圆（不过球心）。 2.球体积，表面积。 ⚠️易混易错 混淆球面面积和球体体积公式；把小圆当成大圆；截面计算忘记球半径、截面圆半径、球心到截面距离满足勾股定理。 题型1几何体的结构特征和分类 💡破题要诀 判断几何体时紧扣定义，棱柱要看底面全等平行、侧棱互相平行；棱锥重点看侧面共公共顶点；棱台务必确认侧棱延长后交于一点，仅上下底面平行不能判定为棱台。 区分多面体与旋转体，旋转体要找准旋转轴，分清直、正几何体的差异，做题要警惕概念陷阱，不要凭直观图形主观判断。 【例1】下列命题正确的是（     ） A．过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则； B．与两条异面直线都平行的两个平面平行； C．三个平面两两相交，得到三条交线，则这三条交线两两平行； D．有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形，同时，其他的面是平行四边形的多面体是棱柱． 【答案】B 【详解】若平面与不垂直，则与不垂直，故A错误； 两条异面直线经过平移可以相交从而确定一个平面， 由线面平行的判定定理可知，与两条异面直线都平行的平面必与平面平行或重合， 故与两条异面直线都平行的两个平面平行，故B正确； 在墙角模型中，这三条交线两两垂直，故C错误； 两个上下底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体可能不是棱柱，故D错误. 【例2】下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①， 面数最少的棱柱为三棱柱，三棱柱有2个底面、3个侧面，共5个面，所以一个棱柱至少有五个面，①正确. 对于②，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台，若平面不与底面平行，则截得的部分不是棱台， ②错误. 对于③，仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面是梯形，但不一定为等腰梯形，③错误. 对于④，根据棱柱的定义，棱柱的侧面均为平行四边形，④正确. 综上，①④正确. 【变式1-1】下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 【变式1-2】下列结论正确的是（   ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】D 【详解】对选项A：棱锥的定义为“有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形”，若将两个全等的三棱锥底面重合拼接，所得几何体各面均为三角形，但不存在所有侧面共有的公共顶点，不是三棱锥，故A错误； 对选项B：仅当旋转的三角形为直角三角形，且旋转轴为直角边所在直线时，其余两边旋转围成的几何体才是圆锥；若三角形为非直角三角形，或旋转轴为斜边，所得几何体均不是圆锥，故B错误； 对选项C：若存在侧棱长与底面边长相等的六棱锥，其底面必为正六边形，底面中心到各顶点的距离等于底面边长，设棱锥顶点在底面的投影为中心，侧棱长为，则，与侧棱长等于底面边长矛盾，故不存在这样的六棱锥，C错误； 对选项D：由圆锥母线的定义可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，故D正确。 【变式1-3】以下四个命题中，所有真命题的序号为__________.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 【答案】②④ 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，故②正确； ③正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故③错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故④正确. 所以真命题有②④. 故答案为：②④. 题型2柱体体积的有关计算 💡破题要诀 柱体统一使用公式，为底面积，为两底面之间垂直的高，注意斜棱柱侧棱不等于高。若是圆柱，底面积代入圆面积公式，注意半径不要误用直径。 遇到组合柱体，拆分为多个简单柱体分别算体积再求和，部分题目可以借助祖暅原理，通过等截面转化求解体积。 【例3】若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【答案】 【详解】边长为2的正六边形面积为，根据棱柱体积公式可得． 故答案为：． 【例4】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点， 设棱柱的体积为V，则水的体积为； 当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为， 则无水部分为水平放置的小三棱柱（一侧面为水面），其体积为， 由于三棱柱和三棱柱的高相同， 故，由于，则∽    ， 故，而，故，故， 故选：D 【变式2-1】如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】当底面水平放置时，水面高为3， 所以由柱体的体积公式可知水的体积. 当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点， 由相似比可知， 所以四边形的面积为， 由等体积法可知，即，解得. 故选：B. 【变式2-2】若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】D 【详解】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 ∴圆柱的最大体积为cm3. 故选：D． 【变式2-3】已知在平行六面体中，， ，且平面，则该平行六面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图所示，因为在平行六面体中，因为， 所以，因为， 所以， 因为，则， 因为平面，所以, 该平行六面体的体积为. 故选：B. 题型3柱体表面积的有关计算 💡破题要诀 柱体表面积等于侧面积加上两个底面面积，审题分清求侧面积还是全面积。直棱柱侧面积用底面周长乘高，圆柱侧面积是。斜棱柱不能直接用底面周长乘侧棱长，需要逐个侧面算面积。 计算完成后检查，不要遗漏上下底面，避免把侧面积直接当成完整表面积。 【例5】一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是（    ） A．8 B．24 C． D． 【答案】C 【详解】边长为4的正三角形的面积为. 直棱柱的侧面为矩形， 所以表面积为. 【例6】要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1）    【答案】 【详解】此零件的表面积为 平方毫米. 则1000个零件的表面积为平方毫米. 故需锌的质量为克. 故答案为：. 【变式3-1】底面半径为1的圆柱的表面积为，则该圆柱的体积为________．（结果保留） 【答案】 【详解】设圆柱的高为， 因为底面半径为1的圆柱的表面积为，可得，解得， 所以该圆柱的体积为. 故答案为：. 【变式3-2】正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，该正三棱柱表面积为________． 【答案】 【详解】因为正三棱柱底面为正三角形，所以单个底面面积， 单个侧面面积， 故表面积. 【变式3-3】中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 【答案】 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 题型4棱柱的展开图及最短距离问题 💡破题要诀 求表面最短距离，把棱柱侧面沿侧棱剪开摊成平面展开图，将立体问题转化平面两点之间线段最短。找准展开后对应点的位置，留意剪开的棱，防止点位搞错。 结合勾股定理计算线段长度，多侧面的棱柱注意展开方式，对比不同展开路径，选出最短的结果。 【例7】如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（    ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 【答案】D 【详解】由正方体的展开图，将其还原为正方体后如图所示： 对于A项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以，故A错误； 对于B项，由图可知四点不共面，故B错误； 对于C项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故C错误； 对于D项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故D正确. 【例8】如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 【变式4-1】已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个． 【答案】2 【详解】根据平面展开图，还原几何体如下所示： 故第二个和第四个为三棱柱，三棱柱的个数有2个. 故答案为：2. 【变式4-2】在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，作关于底面的对称点，    则，所以， 所以的最小值为点到直线的垂直距离， 因为到的距离为， 所以到平面的距离为， 又， 所以的最小值为. 即的最小值为. 【变式4-3】春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（   ）    A．120 B．100 C． D． 【答案】C 【详解】依据图（1）的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上， 则彩绳的平面展开图是一条由到的折线，如下图所示：    在扎紧的情况下，彩绳的平面展开图是一条由到的线段， 此时用绳最短， cm. 故选：C. 题型5锥体体积的有关计算 💡破题要诀 锥体体积公式，千万不要遗忘系数，是底面面积，是顶点到底面的垂直高度，不是侧棱或者斜高。圆锥代入圆的底面积公式。 组合锥体拆成多个小锥体分别计算再相加，高不好直接求出时，结合空间线面垂直关系去寻找、求解几何体的高。 【例9】已知正四棱锥的底面边长为，一个侧面等腰三角形的面积为.用一个平行于底面的平面截该棱锥，截面正方形的边长为，则所得棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正四棱锥每个侧面是等腰三角形，底面边长为，单个侧面面积为​. 设斜高为，由三角形面积公式​，解得斜高。 正四棱锥的高、底面中心到底边的距离（即底面正方形边长的一半，值为）、斜高构成直角三角形， 由勾股定理：， 所以原正四棱锥的体积. 截面平行于底面，截面正方形边长为，和底面边长比为， 因此截得的小正四棱锥和原棱锥的相似比为，截得的小正四棱锥和原棱锥的体积比为， 所以截得小正四棱锥的体积. 因此截得的棱台的体积. 因此所得棱台的体积为. 【例10】如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为，点，分别为，的中点，点是线段靠近点的三等分点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：取中点，连接，，因为，故为锐角， 又，故即为异面直线与所成角，则，则，即 ， 因为直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，平面平面，平面， 故平面，又，，即四边形为平行四边形，故，所以平面， 故以为坐标原点，，，为，，轴正方向建系， 则，，，，，，， 由于，可得， 则，，， 则，故，，，四点共面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）是线段靠近点的三等分点， . 【变式5-1】已知正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为_________. 【答案】 【详解】因为分别为的中点，所以与相似，相似比为， 所以，三棱锥与以为顶点，底面在同一平面上，则高相等， 所以，即. 三棱锥与四棱锥以为顶点，底面在同一平面上，则高相等，且底面积， 所以， 所以， 所以. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，，，分别为，的中点． (1)证明：∥平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为为的中点，所以∥，， 因为四边形为矩形，为的中点，所以∥，， 所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面. (2)1 【分析】 【详解】（1）略. （2） 连接，取其中点为，连接， 因为为的中点，所以∥，， 因为平面，所以平面， 所以三棱锥的高， 因为， 所以三棱锥的体积为. 【变式5-3】如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，． (1)求证：平面； (2)求四棱锥体积． 【答案】(1)证明：正三棱柱中，，. 因为，分别是，的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）正三棱柱中，平面，为正三角形， 所以. 因为，分别是，的中点，所以，， 所以，所以， 故梯形的面积. . 所以四棱锥体积为. 题型6锥体的表面积的有关计算 💡破题要诀 锥体表面积为侧面积加上底面面积，注意区分侧面积和全面积。正棱锥侧面是全等等腰三角形，要用斜高计算侧面三角形面积，不能使用棱锥的高。圆锥侧面积公式，代表母线长。 做题看清条件，不要混淆母线、底面半径、锥体的高，三者满足勾股定理，可互相推导。 【例11】已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点， 那么正四面体的表面积是正方体表面积的_____倍. 【答案】/ 【详解】解：如图所示，正四面体的顶点是一个正方体的顶点， 设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 则， , 所以， 所以正四面体的表面积是正方体表面积的倍. 【例12】在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______. 【答案】 【详解】因为， 可知，均为等边三角形，其面积均为， 取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面，则， 由题意可知：，则，可知与全等， 在中，边上的高， 则的面积为， 所以四面体的表面积为. 【变式6-1】粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该广式五角粽的直观图为如图所示的正四棱锥， 则， 取底面的中心，棱的中点，连接、、、， 则，为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为，故， 所以即为侧面与底面的夹角，所以. 由正棱锥的几何性质可知平面， 所以，则， 故该广式五角粽的侧面积为. 故选：C. 【变式6-2】已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则该圆锥的体积是__________． 【答案】 【详解】设圆锥的母线长度为，圆锥的高为，圆锥体积为， 而圆锥的侧面积是，可得，解得， 由勾股定理得， 则圆锥的体积为. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 【答案】 【详解】取的中点，的中点，连接，如图所示： 因为底面是矩形，所以， 因为，为的中点，所以且， 过点作平面的垂线，因为， 所以，故点在的垂直平分线上， 故平面与平面的夹角为，，， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面，又平面，则， 所以，所以，， 点到的距离为，点到的距离为，同理点到的距离为， 所以， 所以该四棱锥的侧面积为. 题型7圆锥中截面的有关计算 💡破题要诀 平行于圆锥底面的截面是圆，截面与底面是相似图形，相似比等于截得小圆锥和原圆锥的高之比，也等于母线之比。面积比等于相似比的平方。 解题先找准高度、母线的比例，再换算半径，注意区分截面到顶点、截面到底面的两段高度，不要把比例关系颠倒。 【例13】若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________，底面圆的半径是________. 【答案】 【详解】设圆锥的高为，底面圆的半径为. 则. 由题意可知， 解得，. 【例14】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 【变式7-1】《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，取中点，中点，连接， 因为是中点，则，，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设，因为圆锥是等边圆锥，则，， 又圆面，则，又，，则, 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式7-2】一个高为的圆锥被平行于底面的平面所截，截得的上半部分圆锥的底面半径为1、高为，则截去该圆锥后，所得圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原大圆锥为相似几何体，对应线段成比例． 已知小圆锥底面半径，高，原大圆锥高， 设大圆锥底面半径为， 则相似比为：， 代入，解得， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2． 小圆锥母线长为：， 大圆锥母线长为：， 因此圆台的母线长． 由圆台侧面积公式为， 可得． 故所得圆台的侧面积为 【变式7-3】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 【答案】8 【详解】由，即，故， 令且，则，即，所以， 由，而， 所以时，最大. 故答案为：8 题型8锥体的展开图及最短距离问题 💡破题要诀 求锥体表面两点最短距离，将侧面沿着母线剪开铺成平面扇形，利用两点之间线段最短求解。找准展开前后对应点，圆锥侧面展开扇形的半径就是圆锥母线，扇形弧长等于底面圆周长。 算出线段长度后，注意结果要保留根式，不要误把空间直线距离当作表面最短距离。 【例15】如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    由题可得该扇形半径，弧长为，故圆心角， 最短路线即为扇形中的直线段，由余弦定理可得：；， 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小，故为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大，故为下坡路段，下坡路段长， 故选：D 【例16】如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，把沿展开，使，，，，五点共面． 当，，三点共线时，的值最小， 由正四棱锥性质可得， 则展开图中到的距离， 又，则， 此时． 故选：B. 【变式8-1】如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 【变式8-2】如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 将绕旋转至同一平面，如图所示， 可知：当且仅当三点共线时，取到最小值， 取的中点，可知， 可得，， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【变式8-3】如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（     ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意得三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥展开，    作B点关于的对称点，连接，交延长线于点，连接，交于点，交于点R，连接BQ，交AC于点P， 此时的最小值， ， ， ， ， . 题型9球的截面的性质及计算 💡破题要诀 球的截面都是圆，过球心为大圆，不过球心为小圆，牢记关系式，球半径，截面圆半径，球心到截面距离。已知其中两个量，就可以求第三个。 审题分清大圆和小圆，遇到实际模型，把条件转化进这个勾股等式，注意不要混淆各个半径的含义。 【例17】已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面面积是．则球心到这个平面的距离为______． 【答案】 【详解】因为截面的面积是，设截面圆的半径为，即，所以， 且球的半径， 设球心到这个平面的距离为，则，即，解得, 所以球心到这个平面的距离为. 故答案为： 【例18】已知球O的半径，平面经过OA的中点，且与OA所成的线面角为，则平面截球O的面积为（    ） A．16π B．14π C．12π D．10π 【答案】B 【详解】由平面经过OA的中点，且与OA所成的线面角为，得球心O到平面的距离， 因此平面截球O所得截面圆半径， 所以平面截球O所得截面圆面积. 故选：B 【变式9-1】的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（    ） A．2 B．3 C．0 D．5 【答案】C 【详解】 在中，两直角边长分别为6和8，则斜边长为， 由于直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，即， 因球的半径，故球心在平面内，球心到平面的距离是0. 【变式9-2】已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）. 故答案为： 【变式9-3】已知球的两个平行截面的周长分别为和，它们位于球心同一侧，且相距为1，那么这个球的半径为________． 【答案】3 【详解】由题可知两个平行截面的半径分别为 假设球的半径为 则 解得. 故答案为：. 题型10球的体积、表面积的有关计算 💡破题要诀 球体积，表面积，两个公式不要记混，全部依靠球半径，题目若给出直径，需要先换算成半径再代入计算。 组合几何体中球与多面体结合，优先求出球半径。注意区分球体体积和球面表面积，看清题目到底求体积还是表面积。 【例19】如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠，球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．若球冠的底面圆半径为，高为，求截得此球冠的球体的表面积为（   ） A．50 B． C． D． 【答案】C 【详解】设球冠所对应的球半径为，球冠的底面圆半径为，球冠的高为， 则，即 由球的表面积公式可得 【例20】素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的高为，而半球半径及圆柱底面圆半径为3， 由酒杯容积为，得，解得， 所以银杯内壁表面积为. 【变式10-1】瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘．某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题图可知，半球的半径和圆柱的底面圆半径为6，圆柱的高为8，圆台的上、下底面半径为2和6，高为9， 则该瓷器的体积为. 【变式10-2】“牟合方盖”是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体，研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，若某正方体对应的牟合方盖体积是，则该正方体的棱长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】正方体的内切球直径等于正方体棱长，所以内切球半径， 则内切球的体积，由，，得， 所以，从而，解得. 【变式10-3】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 基础固本练（限时：15分钟） 1．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆锥轴截面的底边长为4，所以底面半径为. 由正弦定理得， 即，所以该圆锥的侧面积为. 2．已知杯体内腔高度为，杯底内壁直径为，上口内壁直径为的圆台形水杯装满了水.将该水杯中的水全部倒入杯体内腔高度为，杯底内壁直径为的圆柱形水杯中，若忽略圆柱形水杯底座的厚度，则（   ） A．圆柱形水杯中的水溢出 B．圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 C．圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 D．圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 【答案】B 【详解】水的体积等于圆台形水杯的容积，圆台体积公式为，其中圆台高度，下底半径，上底半径， 代入得： . 圆柱形水杯的底面积：.倒入圆柱后水面高度：， 已知圆柱形水杯高度为，，故水没有溢出，水面高度为. 3．已知正三棱锥的外接球的体积为，底面的边长为，则顶点到底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由球的体积公式，解得外接球的半径为. 由底面的边长为,且为等边三角形， 所以可得底面外接圆半径为. 设顶点到底面的距离为， 当球心在底面与顶点之间时，则有 即，解得. 当球心在底面外侧时， 此时，解得 综上所述，点到底面的距离为. 4．用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为（   ） A．32 B．72 C． D． 【答案】C 【详解】用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4， 正四棱锥下底面为正方形，用平行于底面的平面截出的截面为正方形，剩下的几何体为正四棱台． 可得上截面的边长为2，侧面为四个全等的等腰梯形， 如图，, ,,, 侧面高为， 则棱台侧面积为. 5．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以. 6．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________. 【答案】 【详解】该几何体是同底（底面直径为）的圆锥与圆柱的组合体， 圆锥底面半径，高为，由勾股定理得母线长​， 所以圆锥侧面积为. 圆柱底面半径，高为，圆柱侧面积为. 圆柱的下底面面积. 因此几何体的总表面积. 即几何体的总表面积为. 7．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________. 【答案】 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，高为， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形，所以该轴截面是等腰直角三角形， 则圆锥的高等于底面半径， 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 8．如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行两周到D点，求小虫爬行的最短长度______. 【答案】 【详解】如图，将圆柱的侧面展开，其中为底面周长的一半，即，， 则小虫从A点出发，从侧面爬行两周到D点，最短距离为，所以. 9．已知圆台的上下底面半径分别是2和5，母线长为5，求： (1)圆台的高； (2)圆台的体积. 【答案】(1)4 (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知圆台的高为. （2）圆台的体积为. 10．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示， 设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． (2)1 【分析】 【详解】（1）略 （2）若，由于菱形，正三角形中， 由于平面， 所以． 11．如图所示，长方体中，，．E、F、G分别为棱、、的中点． (1)试在底面上找一点H，使平面； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)取的中点P，的中点H，连接、， 则，， ，又平面，平面． 即H在上，且时，平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）平面，， 而， ， ． 综合进阶练（限时：15分钟） 12．圆锥中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】设圆锥母线长为，底面圆O半径为，侧面展开图面积为， 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则，因为底面圆周上有两动点A，B， 当时，则面积最大，最大值为. 13．已知圆锥，为底面圆圆心，是底面圆直径，且，点沿圆锥侧面到点的最短距离为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将圆锥的侧面沿母线SB展开，因为点沿圆锥侧面到点的最短距离为，又，则. 所以圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为.设圆锥底面圆半径为，则，解得， 所以圆锥的高，故圆锥SO的体积为. 14．已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】因为圆的周长为，圆的半径，即，解得， 所以圆的半径为； 因为，所以，即圆的半径为； 将圆台补为顶点为的圆锥，如图所示， 由题可知母线， 因为，所以，即，解得， 则； 上图的侧面展开图，如图所示， 小扇形的半径等于小圆锥的母线长，所以； 大圆锥的底面周长等于侧面展开大扇形的弧长，设大扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则，， 由得，； 蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，蚂蚁爬行的最短路程是侧面展开图中、两点的直线距离； 在中，由余弦定理可得， ， ， ， 综上所述蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，蚂蚁爬行的最短路程为. 15．中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是：介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理现在中国被称为祖暅原理．如图，一个上底边长为2，下底面边长为4，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正六棱台的上底边长为2，下底面边长为4，得该正六棱台的上下底面正六边形外接圆半径分别为 又该正六棱台的侧棱长为，则该正六棱台的高， 该正六棱台的上下底面面积分别为， 因此该正六棱台的体积， 由祖暅原理，得该不规则几何体的体积为. 16．如图，将边长为的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器的12个顶点均在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正六棱柱形容器的高为_______． 【答案】 【详解】原正六边形边长为，正六边形内角为. 切去全等四边形后折为无盖正六棱柱，设正六棱柱的高为， 则切去的四边形中，切去的水平段长度为. 由此可得正六棱柱的底面正六边形边长为： ， 正六棱柱的个顶点都在球上，正六棱柱上下底面是全等的正六边形，外接球的球心必然在正六棱柱上下底面中心连线的中点处， 底面正六边形的外接圆半径等于其边长，设球半径为， 由勾股定理得：， 而函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值， 而球的表面积，则球的表面积取得最小值时，， 则正六棱柱形容器的高为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 多面体与棱柱、圆柱 考点二 棱锥、圆锥 考点三 棱台、圆台 考点四 祖暅原理、旋转体 考点五 球 05 重难题型突破 题型1 几何体的结构特征和分类 题型2 柱体体积的有关计算 题型3 柱体表面积的有关计算 题型4 棱柱的展开图及最短距离问题 题型5 锥体体积的有关计算 题型6 锥体的表面积的有关计算 题型7 圆锥中截面的有关计算 题型8 锥体的展开图及最短距离问题 题型9 球的截面的性质及计算 题型10 球的体积、表面积的有关计算 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的结构特征，柱锥台球的表面积与体积公式是期中高频考点；祖暅原理、台体结构与体积、球的截面属于中档常考考点；正多面体考查频次较低；表面积混淆侧面积与全面积、高与斜高、母线概念混淆是本专题主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：直接识别柱、锥、台、球几何体，套用基础体积、表面积公式计算，侧重概念识记； 中档题：几何体截面分析、台体体积表面积计算、球的截面相关计算，容易混淆斜高与几何体的高； 命题联动：几何体体积表面积常结合空间直观图、简单立体几何图形综合出题，是期中热门考法。 3.考情总结 题型以选择、填空为主，部分试卷解答题设置几何体体积表面积计算；整体以基础、中档题为主；区分侧面积和全面积、分清高与斜高是高频陷阱，极少出现复杂压轴计算。 识记 1.熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征，分清直棱柱、正棱柱、正棱锥概念； 2.牢记柱、锥、台、球的体积、表面积、侧面积全部公式； 3.识记祖暅原理文字内容； 理解 1.理解棱柱、棱锥、棱台之间的演变关系，明白棱台必须由棱锥平行底面截取得到； 2.理解祖暅原理“幂势既同，则积不容异”的含义； 3.分清几何体的高、斜高、母线三者的区别；理解旋转体形成过程，看清旋转轴； 应用 1.能够辨别各类柱锥台几何体，区分多面体与旋转体； 2.熟练选用对应公式求解柱、锥、台、球的体积与表面积，计算时区分侧面积与全面积； 3.能利用祖暅原理简单判断体积相等关系； 4.会处理球的截面基础计算 考点一 多面体与棱柱、圆柱 1.多面体：由平面多边形围成封闭几何体，最少4个面；包含面、棱、顶点、对角线、截面概念。 2.棱柱：底面平行且______，侧面为______，侧棱平行相等；分为______棱柱、______棱柱、______棱柱。 3.圆柱：______绕一边旋转得到；柱体体积；直棱柱、圆柱有对应的侧面积、表面积公式。 ⚠️易混易错 混淆直棱柱与正棱柱，正棱柱要求底面是正多边形的直棱柱；计算表面积漏算上下底面，把侧面积直接当作表面积；棱柱的高不等于侧棱长（斜棱柱）。 考点二 棱锥、圆锥 1.棱锥：底面为多边形，侧面是______的三角形；正棱锥底面为正多边形，顶点在底面投影为______；正四面体是特殊三棱锥。 2.圆锥：______绕一条直角边旋转得到，母线全部相等。 3.锥体体积公式______；掌握正棱锥、圆锥侧面积、表面积公式。 ⚠️易混易错 正棱锥计算把斜高当成棱锥的高；锥体体积忘记系数；混淆圆锥的高、母线、底面半径，忽略三者满足勾股关系。 考点三 棱台、圆台 1.台体来源：______被平行底面的平面截去顶部小锥体剩余部分；正棱台由______截取得到。 2.棱台上下底面是______多边形，侧棱______交于一点；圆台由圆锥截取得到。 3.台体体积公式，正棱台、圆台表面积公式。 ⚠️易混易错 认为只要上下底面平行就是棱台，忽略侧棱延长线必须交于同一点；台体体积公式记错系数；混淆正棱台的斜高与几何体的高。 考点四 祖暅原理、旋转体 1.祖暅原理：夹在两平行平面间几何体，任意平行______相等，则______相等，即“幂势既同，则积不容异”。 2.旋转体：平面封闭图形绕定轴旋转一周得到；分清圆柱、圆锥、圆台对应的旋转平面图形。 ⚠️易混易错 不理解祖暅原理中“任意平面截得截面面积相等”中“任意”条件 考点五 球 1.球：______绕直径旋转一周形成；球心、半径、直径概念；截面性质：截面都是______，分为大圆（过______）、小圆（不过______）。 2.球体积______，表面积______。 ⚠️易混易错 混淆球面面积和球体体积公式；把小圆当成大圆；截面计算忘记球半径、截面圆半径、球心到截面距离满足勾股定理。 题型1几何体的结构特征和分类 💡破题要诀 判断几何体时紧扣定义，棱柱要看底面全等平行、侧棱互相平行；棱锥重点看侧面共公共顶点；棱台务必确认侧棱延长后交于一点，仅上下底面平行不能判定为棱台。 区分多面体与旋转体，旋转体要找准旋转轴，分清直、正几何体的差异，做题要警惕概念陷阱，不要凭直观图形主观判断。 【例1】下列命题正确的是（     ） A．过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则； B．与两条异面直线都平行的两个平面平行； C．三个平面两两相交，得到三条交线，则这三条交线两两平行； D．有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形，同时，其他的面是平行四边形的多面体是棱柱． 【例2】下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【变式1-1】下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【变式1-2】下列结论正确的是（   ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【变式1-3】以下四个命题中，所有真命题的序号为__________.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 题型2柱体体积的有关计算 💡破题要诀 柱体统一使用公式，为底面积，为两底面之间垂直的高，注意斜棱柱侧棱不等于高。若是圆柱，底面积代入圆面积公式，注意半径不要误用直径。 遇到组合柱体，拆分为多个简单柱体分别算体积再求和，部分题目可以借助祖暅原理，通过等截面转化求解体积。 【例3】若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为_________． 【例4】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-1】如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【变式2-3】已知在平行六面体中，， ，且平面，则该平行六面体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型3柱体表面积的有关计算 💡破题要诀 柱体表面积等于侧面积加上两个底面面积，审题分清求侧面积还是全面积。直棱柱侧面积用底面周长乘高，圆柱侧面积是。斜棱柱不能直接用底面周长乘侧棱长，需要逐个侧面算面积。 计算完成后检查，不要遗漏上下底面，避免把侧面积直接当成完整表面积。 【例5】一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是（    ） A．8 B．24 C． D． 【例6】要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1）    【变式3-1】底面半径为1的圆柱的表面积为，则该圆柱的体积为________．（结果保留） 【变式3-2】正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，该正三棱柱表面积为________． 【变式3-3】中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 题型4棱柱的展开图及最短距离问题 💡破题要诀 求表面最短距离，把棱柱侧面沿侧棱剪开摊成平面展开图，将立体问题转化平面两点之间线段最短。找准展开后对应点的位置，留意剪开的棱，防止点位搞错。 结合勾股定理计算线段长度，多侧面的棱柱注意展开方式，对比不同展开路径，选出最短的结果。 【例7】如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（    ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 【例8】如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个． 【变式4-2】在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（   ）    A．120 B．100 C． D． 题型5锥体体积的有关计算 💡破题要诀 锥体体积公式，千万不要遗忘系数，是底面面积，是顶点到底面的垂直高度，不是侧棱或者斜高。圆锥代入圆的底面积公式。 组合锥体拆成多个小锥体分别计算再相加，高不好直接求出时，结合空间线面垂直关系去寻找、求解几何体的高。 【例9】已知正四棱锥的底面边长为，一个侧面等腰三角形的面积为.用一个平行于底面的平面截该棱锥，截面正方形的边长为，则所得棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例10】如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为，点，分别为，的中点，点是线段靠近点的三等分点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求三棱锥的体积． 【变式5-1】已知正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为_________. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，，，分别为，的中点． (1)证明：∥平面． (2)求三棱锥的体积． 【变式5-3】如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，． (1)求证：平面； (2)求四棱锥体积． 题型6锥体的表面积的有关计算 💡破题要诀 锥体表面积为侧面积加上底面面积，注意区分侧面积和全面积。正棱锥侧面是全等等腰三角形，要用斜高计算侧面三角形面积，不能使用棱锥的高。圆锥侧面积公式，代表母线长。 做题看清条件，不要混淆母线、底面半径、锥体的高，三者满足勾股定理，可互相推导。 【例11】已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点， 那么正四面体的表面积是正方体表面积的_____倍. 【例12】在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______. 【变式6-1】粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知圆锥的侧面积是，底面半径是，则该圆锥的体积是__________． 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 题型7圆锥中截面的有关计算 💡破题要诀 平行于圆锥底面的截面是圆，截面与底面是相似图形，相似比等于截得小圆锥和原圆锥的高之比，也等于母线之比。面积比等于相似比的平方。 解题先找准高度、母线的比例，再换算半径，注意区分截面到顶点、截面到底面的两段高度，不要把比例关系颠倒。 【例13】若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________，底面圆的半径是________. 【例14】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【变式7-1】《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】一个高为的圆锥被平行于底面的平面所截，截得的上半部分圆锥的底面半径为1、高为，则截去该圆锥后，所得圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 题型8锥体的展开图及最短距离问题 💡破题要诀 求锥体表面两点最短距离，将侧面沿着母线剪开铺成平面扇形，利用两点之间线段最短求解。找准展开前后对应点，圆锥侧面展开扇形的半径就是圆锥母线，扇形弧长等于底面圆周长。 算出线段长度后，注意结果要保留根式，不要误把空间直线距离当作表面最短距离。 【例15】如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 【例16】如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【变式8-2】如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（     ）    A． B． C． D．3 题型9球的截面的性质及计算 💡破题要诀 球的截面都是圆，过球心为大圆，不过球心为小圆，牢记关系式，球半径，截面圆半径，球心到截面距离。已知其中两个量，就可以求第三个。 审题分清大圆和小圆，遇到实际模型，把条件转化进这个勾股等式，注意不要混淆各个半径的含义。 【例17】已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面面积是．则球心到这个平面的距离为______． 【例18】已知球O的半径，平面经过OA的中点，且与OA所成的线面角为，则平面截球O的面积为（    ） A．16π B．14π C．12π D．10π 【变式9-1】的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（    ） A．2 B．3 C．0 D．5 【变式9-2】已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【变式9-3】已知球的两个平行截面的周长分别为和，它们位于球心同一侧，且相距为1，那么这个球的半径为________． 题型10球的体积、表面积的有关计算 💡破题要诀 球体积，表面积，两个公式不要记混，全部依靠球半径，题目若给出直径，需要先换算成半径再代入计算。 组合几何体中球与多面体结合，优先求出球半径。注意区分球体体积和球面表面积，看清题目到底求体积还是表面积。 【例19】如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠，球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．若球冠的底面圆半径为，高为，求截得此球冠的球体的表面积为（   ） A．50 B． C． D． 【例20】素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证．如图2，将银杯主体近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）．已知杯口直径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（     ）． A． B． C． D． 【变式10-1】瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘．某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】“牟合方盖”是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体，研究发现：牟合方盖的体积与对应正方体的内切球的体积满足，若某正方体对应的牟合方盖体积是，则该正方体的棱长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式10-3】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 基础固本练（限时：15分钟） 1．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知杯体内腔高度为，杯底内壁直径为，上口内壁直径为的圆台形水杯装满了水.将该水杯中的水全部倒入杯体内腔高度为，杯底内壁直径为的圆柱形水杯中，若忽略圆柱形水杯底座的厚度，则（   ） A．圆柱形水杯中的水溢出 B．圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 C．圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 D．圆柱形水杯中的水没有溢出，且该水杯中水面的高度为 3．已知正三棱锥的外接球的体积为，底面的边长为，则顶点到底面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为（   ） A．32 B．72 C． D． 5．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（   ） A．4 B．6 C． D． 6．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________. 7．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________. 8．如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行两周到D点，求小虫爬行的最短长度______. 9．已知圆台的上下底面半径分别是2和5，母线长为5，求： (1)圆台的高； (2)圆台的体积. 10．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 11．如图所示，长方体中，，．E、F、G分别为棱、、的中点． (1)试在底面上找一点H，使平面； (2)求四面体的体积． 综合进阶练（限时：15分钟） 12．圆锥中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 13．已知圆锥，为底面圆圆心，是底面圆直径，且，点沿圆锥侧面到点的最短距离为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 14．已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点B位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到点B，则蚂蚁爬行的最短路程（   ） A． B． C．5 D． 15．中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是：介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理现在中国被称为祖暅原理．如图，一个上底边长为2，下底面边长为4，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 16．如图，将边长为的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器的12个顶点均在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正六棱柱形容器的高为_______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $