第12章 简单几何体（复习讲义）高二数学沪教版必修第三册

第12章 简单几何体 复习要点 1.能准确区分多面体与旋转体，熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义，能够识别直棱柱、正棱柱、正棱锥等特殊几何体，会辨析易混淆概念，能够判断几何体类型。 2.分清底面、侧面、棱、侧棱、顶点、母线、轴、高等几何要素；理解棱台、圆台由棱锥、圆锥截得的生成关系，掌握正四面体的相关常用结论。 3.理解祖暅原理；熟记柱、锥、台、球的体积公式，以及棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式，能分清表面积与侧面积，准确代入参数运算。 4.理解折叠、展开过程中不变的棱长、面的大小；会利用侧面展开求解几何体表面两点的最短距离，实现空间问题向平面问题转化。 5.理解大圆、小圆概念，熟练运用球截面勾股公式，会处理球与多面体结合的简单计算问题。 复习重难点 重点： 1.识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，掌握特殊几何体（正棱柱、正棱锥、正四面体）的结构与性质，理解台体是锥体平行截取得到。 2.灵活运用祖暅原理；熟练运用柱、锥、台、球的体积公式，以及旋转体、正多面体的侧面积、表面积公式进行计算。 3.掌握球的表面积、体积公式，掌握球截面的勾股定量关系，能完成基础的球的截面运算。 难点： 1.容易误判棱柱、棱台，忽略定义中的限定条件；区分球面与球体，混淆母线、高、斜高等概念。 2.空间几何体与平面展开图之间相互转化，需要建立空间想象，找准折叠前后不变量，学生空间想象能力不足容易出错。 知识点 柱体 一、多面体 定义：由若干平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体。 1.面：围成多面体的各个平面多边形。 2.棱：相邻两个面的公共边。 3.顶点：棱与棱的公共交点。 二、棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 1.底面：互相平行的两个面。 2.侧面：除底面以外的其余各个面。 3.侧棱：相邻两个侧面的公共边。 4.顶点：侧面与底面的公共顶点。 棱柱分类 1.按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.按侧棱与底面的位置关系分： 1.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 2.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 3.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 4.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 棱柱表示方法 用底面各顶点的字母表示，例如棱柱。 三、圆柱 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 1.轴：旋转轴。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面，圆柱有两个互相平行的圆形底面。 3.侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面。 4.母线：平行于轴的边旋转到任意位置都叫做圆柱的母线，圆柱母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱表示：用轴上两个端点字母表示，如圆柱。 四、祖暅原理 原文：幂势既同，则积不容异。 内容：夹在两个平行平面之间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 作用：可以推导等底面积、等高的柱体（或锥体）体积相等。 五、柱体的体积 柱体的高：两个底面之间的距离，即一个底面上任意一点向另一个底面作垂线，垂线段的长度。 1.棱柱体积：，为底面积，为棱柱的高。 2.圆柱体积：，是底面圆半径，是圆柱的高。 六、柱体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，等价于几何体平面展开图的总面积。 1.直棱柱表面积 直棱柱侧面积：侧面积等于底面周长乘以高，。 2.圆柱表面积 设底面半径为，母线长为。 底面积：；侧面积：；表面积： 要点速测 1．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为和，，由，得， ．由圆柱的侧面积相等，得，即． ． 2．一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】正三棱柱高为，底面边长为2， 则正三棱柱的体积为． 知识点 锥体 一、棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥。 1.底面：这个三角形或平面多边形。 2.侧面：其余的各个面。 3.侧棱：不在底面上的棱。 4.顶点：所有侧棱的公共交点。 5.高：顶点到底面的垂直距离。 按底面多边形边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥定义：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 二、圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 1.轴：作为旋转轴的直角边。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面。 3.侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面。 4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置都称为母线，圆锥所有母线长度相等。 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体。 圆锥表示：用轴上两个端点字母表示该圆锥。 三、棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台。 1.上底面：原棱锥被截得到的截面。 2.下底面：原棱锥的底面。 3.侧面：除去上下底面剩下的面。 4.侧棱：相邻侧面的公共边。 5.顶点：侧面和上、下底面的公共顶点。 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台依次叫三棱台、四棱台、五棱台…… 表示方法：用上下底面顶点字母表示棱台。 四、圆台 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 1.轴：原来圆锥的旋转轴。 2.底面：圆锥原来的底面与截取产生的截面（上、下两个圆形底面）。 3.侧面：圆锥侧面保留在两底面之间的曲面部分。 4.母线：圆锥母线保留在两底面之间的线段，圆台母线全部相等。 台体：棱台和圆台统称为台体。 圆台表示：用轴的两个端点字母表示圆台。 五、锥体、台体的体积 为底面积，为几何体的垂直高；台体中为上底面积，为下底面积。 1.锥体体积： 2.台体体积： 六、锥体、台体表面积与侧面积 棱锥、棱台属于多面体，表面积等于所有面的面积之和，即各个侧面面积加上上下底面面积。 常见几何体侧面积汇总 1.直棱柱：，底面周长，棱柱的高。 2.正棱锥：，底面周长，为斜高。 3.正棱台：，上底周长，下底周长，斜高。 4.圆柱：，底面半径，母线长。 5.圆锥：，底面半径，母线长。 6.圆台：，上底半径，下底半径，母线长。 要点速测 3．已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的高，底面积， 侧面积，得，则圆锥的体积，解得. 4．若一圆锥的母线长为2，轴截面为正三角形，则该圆锥的体积为______． 【答案】 / 【详解】由题意，圆锥的母线长为， 因为圆锥的轴截面为正三角形，所以底面半径为， 则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 知识点 多面体与旋转体 一、多面体 1.多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；棱柱、棱锥、棱台都属于多面体。 2.多面体命名：按照围成它的面的数量命名，几个面就叫做几面体。 （1）三棱锥有1个底面+3个侧面，是四面体；长方体（四棱柱）有6个面，是六面体。 （2）n棱锥：1个底面+n个侧面，共n+1面体； （3）n棱柱、n棱台：2个底面+n个侧面，共n+2面体。 （4）面数最少的多面体是四面体（三棱锥）。 3.正多面体：如果一个多面体所有面都是全等的正多边形，每个顶点汇集的棱条数相等，这个多面体叫做正多面体。 二、正四面体 正四面体是四个面均为全等正三角形的三棱锥，在立体几何中的地位相当于平面几何中的三角形。 设正四面体棱长a=1，则有以下结论： ①对应正方体棱长：；②正四面体的高： ③外接球半径：（外接球与正方体外接球是同一个球）； ④正四面体体积： 重要结论： ①正四面体的对棱互相垂直。 ②补形法：正四面体可补成正方体，正四面体体积等于对应正方体体积的。 三、多面体的折叠与展开 1.多面体展开图：画出底面，依次画出各个侧面，得到平面展开图，做题可标记顶点字母辅助辨认。 2.展开图复原几何体：将展开过程逆推，把平面图形折叠还原为空间多面体。折叠前后，对应棱长、对应面的大小保持不变。 3.表面最短距离：求几何体表面两点之间最短路径，将侧面展开为平面，利用两点之间线段最短求解，把空间问题转化平面几何问题。 四、旋转体 1.旋转体定义：一个平面封闭图形绕它所在平面内一条定直线旋转一周，形成的封闭空间几何体，这条定直线叫做轴。 2.旋转面：一条平面曲线（直线、折线等），绕同一平面内一条定直线旋转一周得到的空间图形。 圆柱、圆锥、圆台概念： 1.定义   1.矩形绕它的一边旋转一周，得到圆柱；   2.直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到圆锥；   3.直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周，得到圆台。 2.相关概念   1.轴：旋转时固定不动的那条直线；   2.底面：垂直于轴的边旋转形成的圆面；   3.侧面：不垂直于轴的边旋转形成的曲面；   4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置，都叫做母线。 要点速测 5．下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①， 面数最少的棱柱为三棱柱，三棱柱有2个底面、3个侧面，共5个面，所以一个棱柱至少有五个面，①正确. 对于②，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台，若平面不与底面平行，则截得的部分不是棱台， ②错误. 对于③，仅正棱台的侧面为等腰梯形，普通棱台的侧面是梯形，但不一定为等腰梯形，③错误. 对于④，根据棱柱的定义，棱柱的侧面均为平行四边形，④正确. 综上，①④正确. 6．如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为草垛上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，而圆锥可由直角三角形绕其一条直角边旋转而得， 圆柱可由矩形绕其一条直角边旋转而得，结合选项，可知B正确，其它选项错误. 知识点 球 一、球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 1.球心：半圆的圆心。 2.半径：连接球心和球面上任意一点的线段。 3.直径：连接球面上两点并经过球心的线段。 二、平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。 截面关系公式：设球的半径为，截面小圆半径为，球心到截面平面的距离为，满足勾股关系： 三、球的表面积和体积 1.球的表面积公式：，为球的半径。 2.球的体积公式：，为球的半径。 要点速测 7．若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】设该球半径为R，因为球O的表面积为， 所以， 则该球球面上两点间距离的最大值为4. 8．已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为，则圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以. 题型1 柱体体积有关计算 例1．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得该直三棱柱的底面是一个等腰三角形，底边长， 边的高，从而， 所以此三棱柱的体积为. 变式1-1．已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正四棱柱的底面边长为x，由正四棱柱的一个侧面的周长为12，正四棱柱的高为， 可得，故， 则该正四棱柱的体积， 即. 变式1-2．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时．液面恰好过，，，的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设底面的面积为，直三棱柱侧棱，因此直三棱柱总体积为， 当侧面水平放置时，上方空出部分是一个小三棱柱： 由，可得空出的小三角形与相似，相似比为，面积比为相似比的平方，即， 空出部分的体积为： 因此水的体积为： 当底面水平放置时，设液面高为，此时水的体积为， 结合体积相等：，约去得，即液面高为. 变式1-3．一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 题型2 柱体的表面积与侧面积 例2．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为， 则该圆柱的侧面积是. 变式2-1．将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 【答案】 【详解】边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱， 其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为. 故答案为：. 变式2-2．四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为， 所以表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为 变式2-3．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF（边长为10m），设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板．若其中三根柱子的高度依次为，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，该几何体的侧面均为直角梯形，且梯形的高均为10m，设正六边形ABCDEF中心为， 如图，连接AD，BE，CF，作平面ABCDEF且平面，连接， 依题意，知相交于点， 连接AC交OB于点，连接交于点，连接，则平面ABC， 根据正六边形的性质可知四边形ABCO是菱形， 所以AC，OB相互平分，则相互平分， 所以，即，解得， 在梯形中，是BE的中点，则是的中点， 所以， 同理得， 故该几何体的侧面积为： ． 故选：A 题型3 柱体中截面的有关计算 例3．已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 变式3-1．某斜棱柱的底面积为，侧棱长为20，其直截面（垂直于侧棱的平面与棱柱的截面）面积为5，则该棱柱的高为__________． 【答案】/ 【详解】设棱柱的高为， 因为斜棱柱的底面积为，侧棱长为20，其直截面面积为5， 所以，解得， 故答案为： 变式3-2．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形， 所以，即，所以， 所以该圆柱的体积为， 故选：D. 变式3-3．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是__ 【答案】 【详解】由题意可知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形， 则圆柱的底面圆的半径为，高为，则， 则，得，， 那么圆柱的侧面积为. 故答案为： 题型4 柱体中最短距离 例4．在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，作关于底面的对称点，    则，所以， 所以的最小值为点到直线的垂直距离， 因为到的距离为， 所以到平面的距离为， 又， 所以的最小值为. 即的最小值为. 变式4-1．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以， 侧面是正方形，是等腰直角三角形，， 把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M， 则， 又，， 由余弦定理得，此为取得的最小值， 又在直三棱柱中，， 所以所求的周长为.    变式4-2．在棱长为2的正方体中，在上，在上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】把和沿摊平为一个平面图形，如图，当（是与的交点）时，最小， 由正方体知，，，， 所以在平面图形中，， 正方体棱长为2，则， 所以. 变式4-3．在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，， 所以,所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，， 则， 所以， 所以的最小值为. 题型5 锥体体积有关计算 例5．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是圆柱母线长的2倍，若圆锥的母线与底面所成的角为，则圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥与圆柱的底面半径均为，圆柱的母线长为，由题意得圆锥的母线长. 根据线面角的定义，圆锥母线与底面所成角的余弦值等于底面半径与圆锥母线长的比值， 即，解得. 结合，可得. ① 计算圆锥的表面积：圆锥表面积为侧面积与底面积之和，即 . ② 计算圆柱的表面积：圆柱表面积为上下两个底面积与侧面积之和，即 . 因此两者表面积之比为. 变式5-1．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设该圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以该半圆的弧长为． 则这个圆锥的底面半径为. 变式5-2．已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则其体积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，已知总表面积为12，则侧面积为， 正四棱锥的侧面由4个全等的等腰三角形组成. 设侧面三角形的斜高为， 则，即， 正四棱锥的高、斜高以及底面中心到边的距离构成一个直角三角形， 如图所示，作出符合题意的图形， 根据勾股定理得， 则正四棱锥的体积为，A正确. 变式5-3．已知圆锥的侧面展开图是周长为的半圆，则圆锥的表面积为______． 【答案】 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为， 侧面展开图半圆周长：，解得， 半圆弧长：，该弧长等于圆锥底面周长，即，得， 所以圆锥表面积：. 题型6 锥体的表面积与侧面积 例6．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】设圆锥的高为，则，解得． 变式6-1．已知圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出圆锥的轴截面如图， 由已知可得. 在中，. 所以圆锥的体积为. 变式6-2．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知圆锥底面半径，所以底面圆的周长 因为圆锥侧面展开图是一个半圆，这个半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长， 所以半圆的弧长为. 设圆锥的母线长，则半圆的弧长为，解得. 所以圆锥的高，解得. 所以圆锥的体积. 变式6-3．在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取中点，连接，，过点作，由条件可得三棱锥是正三棱锥， 所以为三棱锥的高，且为的中心，则， 所以，则． 题型7 锥体中截面的有关计算 例7．已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，在正四棱锥中，， 且， 所以，所以三角形是等边三角形， 设是的中点，则，所以，且， 设平面与分别相交于点，    则由得， ， 所以，故， 所以， 所以， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以， 所以结合正四棱锥对称性得， 所以截面面积为. 故选：A. 变式7-1．在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为______. 【答案】 【详解】 如图，即为截面三角形，取中点，连接 ，，连接. 由对称性得，为等边的中心、重心， 三点共线，. ∵平面，平面，平面平面， ∴，分别为线段上靠近点的三等分点，. 在 中，， 由为的中心得平面， ∵平面，平面，∴，， 由题意得，，故， ∴的面积为：. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查正四面体截面问题，具体思路如下： （1）利用正四面体的对称性，确定截面三角形各个顶点的位置. （2）利用线面平行的性质转线线平行，得到截面三角形为等腰三角形，计算等腰三角形的底和高，结合公式求面积. 变式7-2．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______.    【答案】 【详解】如图，    沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 变式7-3．已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则________． 【答案】2 【详解】如图所示，延长和交于点， 由，且为的中点，所以，即， 连接交于点，连接，则过点的截面即为截面， 取的中点，连接，因为为的中点，所以，且， 所以，可得，即，所以， 因为，所以. 故答案为：.      题型8 锥体中的最短距离 例8．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 变式8-1．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为. 由题意可知，，即，. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得， 即，解得. 将圆锥侧面沿母线展开，得到如图所示的扇形， 其中与重合于圆锥的母线，点与点在圆锥上重合. 因为是母线的一个三等分点（靠近点）， 所以. 从点到点绕屋顶侧面一周的最短路径，即为展开图中线段的长度. 在中，，，， 由勾股定理得. 故灯光带的最小长度为. 变式8-2．如图，底面半径为1，母线长为2的圆锥底面圆周上有两点B，C，BC为底面直径，AB上一点D满足，一只蚂蚁沿圆锥侧面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 底面半径为1，底面圆的周长为，即扇形的弧长，所以圆心角为， 所以展开图如上， ，， 所以最短路径为 变式8-3．如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【答案】 【详解】因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为， 又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示． 易知为半圆弧的中点，且， 结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为． 题型9 球的表面积与体积 例9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球的半径为，则圆柱、圆锥的半径为，高为， 所以圆锥的体积， 圆柱的体积， 球的体积， 因此圆柱、圆锥、球的体积的比为. 变式9-1．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 【答案】A 【详解】由题可知，球的半径为， 所以球的表面积为，体积为. 变式9-2．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 变式9-3．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的母线长以及底面圆的直径均为. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高， 该几何体的表面积为. （2）该几何体的体积为. 题型10 多面体与球体内切外接问题 例10．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 所以，， 所以为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边， 取的中点为，则， 所以点是三棱锥的外接球的球心，球的半径， 所以外接球的表面积． 变式10-1．已知球的体积为，，，，四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的边长等于_________． 【答案】 【详解】因为球的体积为，所以，解得， 设的边长为， 为的中心，则， 因为， 所以球心位于直线上，且， 所以， 在中，，即， 解得，即的边长等于. 变式10-2．四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【详解】如图，作平面，连接， 因为平面，所以， 而， 因为，平面， 所以平面，而平面， 故， 又，，，由勾股定理得， 所以由锐角三角函数定义得， 结合，且共面，可知， 即落在过点和平行的直线上， 而，则，故， 或， 设，，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得 当时，， 在中，得到， 即，由于，此时无解； 当时，， 在中，得到，即， 联立，，解得，则， 取中点，过点作平面， 设点为外接球球心，外接球半径为， 由余弦定理得， 由于, 故在直角梯形中，， 解得， 设四面体外接球的表面积为S，故. 变式10-3．圆柱内有一个球O，球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若圆柱与球的体积之差为，则球O的表面积为_______. 【答案】 【详解】设球的半径为， 由球与圆柱的上、下底面及母线均相切，可得圆柱的底面半径，圆柱的高， 所以 圆柱体积， 球的体积， 由题意得，代入得 ， 化简得，解得， 所以球的表面积为. 难点一 几何体的折叠与表面最短距离问题 难点分析： 需要实现空间几何体与平面展开图的相互转化，对空间想象能力要求较高。 容易混淆折叠过程中的“不变量”和“变化量”：棱长、面的大小保持不变，但部分角度、点的空间位置会发生改变。 求表面最短距离时，不清楚要把哪几个侧面展开，展开方式选错直接造成计算错误。 处理方法： 牢记核心思想：空间问题平面化，求表面最短距离必须把侧面摊开成平面，利用“两点之间线段最短”计算。 做题标记顶点字母，折叠前后，同一个顶点做好对应，锁定不变的棱长、边长。 遇到多侧面几何体，若展开方式不止一种，需要把所有展开情况全部算出来，再对比取最小值。 难点精练 1．已知在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点．若点为线段上的动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 连接、，设，点、、在平面中， 在长方形中，，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，， 故四边形是边长为的正方形，所以为的中点， 点在上，在线段上取点，使得， 在和中，，，， 故，所以，故， 故当、、三点共线，且时，取最小值， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，此时点与线段的中点重合，且， 故的最小值是. 2．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． 难点二 多面体的外接球相关计算 难点分析： 外接球球心位置不好确定，不同几何体球心位置不一样，学生很难在空间中定位球心。 模型多：长方体模型、补形法（正四面体补正方体）、找底面外心作垂线找球心，方法容易混淆，不知道该选用哪一种模型。 计算容易出错：常要结合勾股定理，联立球半径、球心到面距离、底面外接圆半径的关系式，容易混淆三个量，代错数值。 处理方法： 掌握找球心通用思路：外接球球心到各个顶点距离相等；先找多边形底面的外心，过底面外心作底面的垂线，外接球球心一定落在这条垂线上。 熟记两类高频模型：长方体（正方体）的外接球，体对角线就是外接球直径；正四面体可补形为正方体，共用同一个外接球。 做题时把三个量标注出来，利用勾股关系列式计算，计算完成后代回检验。 难点精练 3．二面角的平面角为钝角，，且．若P，A，B，C在表面积为的球面上，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱锥外接球的半径为，由题意可得，解得， 设，的外心分别为，三棱锥外接球的球心为， 连接，延长交于，连接，则， 因为，所以为的中点，所以， 又因为，所以为的中点，且， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又，， 所以， 在中，， 在中，可得，所以； 又， 在中，， 所以，所以， 所以， 所以二面角的大小为. 4．正边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为______． 【答案】 【详解】 如图，取的中点，连接， 连接交于点， 则，，， 又，则，且， 故四点共圆，且为该圆的圆心， 因此四棱锥外接球球心一定在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为点，则有，易得点的投影一定在直线上，不妨设为点，则， 过作于，设，则， 因，则为二面角的平面角，即， 在中，，， 因，， 则，， 在中，，即， 解得，则， 故四棱锥外接球的表面积为． 基础达标 1．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积的一半，那么这个圆锥的轴截面的顶角的正弦值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥与半球的底面半径为，圆锥的高为，母线长为，轴截面的顶角为． 则由可得，即． 所以圆锥轴截面顶角，其正弦值是1． 2．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，该圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为． 3．如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为面面，面与两平面相交于，所以， 同理可得，得到四边形是平行四边形，得到， 而，可得，故， 由题意得，则，故B正确. 4．在三棱锥中，平面，，若，，，则该三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以在直角三角形中，． 因为平面，平面， 所以，在直角三角形中，． 故该三棱锥的体积． 5．如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 【答案】6 【详解】设，，， 则，解得：，，即，， . 6．已知正四棱台上下底面正方形的边长分别为1和2，该正四棱台的高为3，则该正四棱台体积为__________． 【答案】7 【详解】正四棱台上底面面积，下底面面积，高， 所以该正四棱台体积. 7．一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 8．在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 所以是直角三角形，且， 又因为平面， 所以三棱锥可以补成一个长方体，其外接球与三棱锥的外接球相同， 长方体的体对角线就是外接球的直径， ， 解得， 则外接球的表面积为. 9．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 【答案】 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径， 所以， 因此． 10．如图，已知四棱锥的底面边长与侧棱的长度都是4，是正方形． (1)求该四棱锥高和表面积； (2)若为棱锥的高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）如图，所以棱锥的高为． 棱锥的斜高， 所以其表面积为． （2）， 因为为棱锥高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面， 所以上半部分棱锥的体积， 所以截得的棱台的体积. 11．《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 【答案】(1) (2)立方丈 【分析】 【详解】（1） 如图所示，将几何体拆分为两个四棱锥，和一个三棱柱； 四棱锥的底面，； 则， ； 故几何体体积为． （2）根据刍童的体积公式可知： ； 根据题意可知，上广，下广；下袤，上袤，高； 代入公式可得， 故几何体体积为立方丈． 能力进阶 1．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六个完全一样的正四棱柱分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面展开图的面积至少为（    ）（容器壁的厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，该圆柱形容器的半径的最小值为， 所以该圆柱形容器的侧面展开图面积的最小值为. 2．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为，侧面展开圆心角分别为，高分别为. 圆锥侧面积公式为，已知，母线相等，因此，即. 侧面展开弧长等于底面周长，得，即. 已知，代入得， 结合，解得. 圆锥的高满足，因此， 圆锥体积公式，体积比为. 因此体积比为. 3．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【详解】由圆锥性质知是圆锥的高，底面圆， 已知，因此母线长. 同理. 由，得中. 因为，则底面圆直径为，因此是底面圆的直径. 三棱锥的高，因此体积. 是圆上以为斜边的三角形，点到的最大距离为底面圆的半径， 因此的最大值为. 则的最大值为. 4．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________． 【答案】/0.5 【详解】取的中点，连接,因为是边长为的等边三角形，所以， 且等边三角形的高 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，即是点到平面的高, 因为底面是边长为的菱形，，因此，且， 即是边长为的等边三角形，其面积 所以 因为为的中点，所以点、点到平面的距离相等， 因此三棱锥与三棱锥同底等高，体积相等，即 ， 又 ，因此 5．如图，半径为4的大球内有3个小球，每个小球球面均过大球球心，且与大球球面有且仅有一个公共点，以3个小球球心为顶点的正三角形的中心为大球球心．若为小球两两相交部分（图中线条阴影部分）的体积，为大球内、小球外区域（图中纯色阴影部分）的体积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设大球的半径为，小球半径为， 由题3个小球球心为顶点的正三角形的中心为大球球心． 根据球的对称性可知，则， 大球的体积：，一个小球的体积：， 由图可知， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 简单几何体 复习要点 1.能准确区分多面体与旋转体，熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义，能够识别直棱柱、正棱柱、正棱锥等特殊几何体，会辨析易混淆概念，能够判断几何体类型。 2.分清底面、侧面、棱、侧棱、顶点、母线、轴、高等几何要素；理解棱台、圆台由棱锥、圆锥截得的生成关系，掌握正四面体的相关常用结论。 3.理解祖暅原理；熟记柱、锥、台、球的体积公式，以及棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式，能分清表面积与侧面积，准确代入参数运算。 4.理解折叠、展开过程中不变的棱长、面的大小；会利用侧面展开求解几何体表面两点的最短距离，实现空间问题向平面问题转化。 5.理解大圆、小圆概念，熟练运用球截面勾股公式，会处理球与多面体结合的简单计算问题。 复习重难点 重点： 1.识别棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，掌握特殊几何体（正棱柱、正棱锥、正四面体）的结构与性质，理解台体是锥体平行截取得到。 2.灵活运用祖暅原理；熟练运用柱、锥、台、球的体积公式，以及旋转体、正多面体的侧面积、表面积公式进行计算。 3.掌握球的表面积、体积公式，掌握球截面的勾股定量关系，能完成基础的球的截面运算。 难点： 1.容易误判棱柱、棱台，忽略定义中的限定条件；区分球面与球体，混淆母线、高、斜高等概念。 2.空间几何体与平面展开图之间相互转化，需要建立空间想象，找准折叠前后不变量，学生空间想象能力不足容易出错。 知识点 柱体 一、多面体 定义：由若干平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体。 1.面：围成多面体的各个平面多边形。 2.棱：相邻两个面的公共边。 3.顶点：棱与棱的公共交点。 二、棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 1.底面：互相平行的两个面。 2.侧面：除底面以外的其余各个面。 3.侧棱：相邻两个侧面的公共边。 4.顶点：侧面与底面的公共顶点。 棱柱分类 1.按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.按侧棱与底面的位置关系分： 1.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。 2.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 3.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 4.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。 棱柱表示方法 用底面各顶点的字母表示，例如棱柱。 三、圆柱 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 1.轴：旋转轴。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面，圆柱有两个互相平行的圆形底面。 3.侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面。 4.母线：平行于轴的边旋转到任意位置都叫做圆柱的母线，圆柱母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱表示：用轴上两个端点字母表示，如圆柱。 四、祖暅原理 原文：幂势既同，则积不容异。 内容：夹在两个平行平面之间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 作用：可以推导等底面积、等高的柱体（或锥体）体积相等。 五、柱体的体积 柱体的高：两个底面之间的距离，即一个底面上任意一点向另一个底面作垂线，垂线段的长度。 1.棱柱体积：，为底面积，为棱柱的高。 2.圆柱体积：，是底面圆半径，是圆柱的高。 六、柱体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，等价于几何体平面展开图的总面积。 1.直棱柱表面积 直棱柱侧面积：侧面积等于底面周长乘以高，。 2.圆柱表面积 设底面半径为，母线长为。 底面积：；侧面积：；表面积： 要点速测 1．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．一个正三棱柱高为，底面边长为2，则该正三棱柱的体积为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 知识点 锥体 一、棱锥 定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥。 1.底面：这个三角形或平面多边形。 2.侧面：其余的各个面。 3.侧棱：不在底面上的棱。 4.顶点：所有侧棱的公共交点。 5.高：顶点到底面的垂直距离。 按底面多边形边数分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥定义：如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥。 二、圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 1.轴：作为旋转轴的直角边。 2.底面：垂直于轴的边旋转得到的圆面。 3.侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面。 4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置都称为母线，圆锥所有母线长度相等。 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体。 圆锥表示：用轴上两个端点字母表示该圆锥。 三、棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台。 1.上底面：原棱锥被截得到的截面。 2.下底面：原棱锥的底面。 3.侧面：除去上下底面剩下的面。 4.侧棱：相邻侧面的公共边。 5.顶点：侧面和上、下底面的公共顶点。 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台依次叫三棱台、四棱台、五棱台…… 表示方法：用上下底面顶点字母表示棱台。 四、圆台 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 1.轴：原来圆锥的旋转轴。 2.底面：圆锥原来的底面与截取产生的截面（上、下两个圆形底面）。 3.侧面：圆锥侧面保留在两底面之间的曲面部分。 4.母线：圆锥母线保留在两底面之间的线段，圆台母线全部相等。 台体：棱台和圆台统称为台体。 圆台表示：用轴的两个端点字母表示圆台。 五、锥体、台体的体积 为底面积，为几何体的垂直高；台体中为上底面积，为下底面积。 1.锥体体积： 2.台体体积： 六、锥体、台体表面积与侧面积 棱锥、棱台属于多面体，表面积等于所有面的面积之和，即各个侧面面积加上上下底面面积。 常见几何体侧面积汇总 1.直棱柱：，底面周长，棱柱的高。 2.正棱锥：，底面周长，为斜高。 3.正棱台：，上底周长，下底周长，斜高。 4.圆柱：，底面半径，母线长。 5.圆锥：，底面半径，母线长。 6.圆台：，上底半径，下底半径，母线长。 要点速测 3．已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．若一圆锥的母线长为2，轴截面为正三角形，则该圆锥的体积为______． 知识点 多面体与旋转体 一、多面体 1.多面体定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；棱柱、棱锥、棱台都属于多面体。 2.多面体命名：按照围成它的面的数量命名，几个面就叫做几面体。 （1）三棱锥有1个底面+3个侧面，是四面体；长方体（四棱柱）有6个面，是六面体。 （2）n棱锥：1个底面+n个侧面，共n+1面体； （3）n棱柱、n棱台：2个底面+n个侧面，共n+2面体。 （4）面数最少的多面体是四面体（三棱锥）。 3.正多面体：如果一个多面体所有面都是全等的正多边形，每个顶点汇集的棱条数相等，这个多面体叫做正多面体。 二、正四面体 正四面体是四个面均为全等正三角形的三棱锥，在立体几何中的地位相当于平面几何中的三角形。 设正四面体棱长a=1，则有以下结论： ①对应正方体棱长：；②正四面体的高： ③外接球半径：（外接球与正方体外接球是同一个球）； ④正四面体体积： 重要结论： ①正四面体的对棱互相垂直。 ②补形法：正四面体可补成正方体，正四面体体积等于对应正方体体积的。 三、多面体的折叠与展开 1.多面体展开图：画出底面，依次画出各个侧面，得到平面展开图，做题可标记顶点字母辅助辨认。 2.展开图复原几何体：将展开过程逆推，把平面图形折叠还原为空间多面体。折叠前后，对应棱长、对应面的大小保持不变。 3.表面最短距离：求几何体表面两点之间最短路径，将侧面展开为平面，利用两点之间线段最短求解，把空间问题转化平面几何问题。 四、旋转体 1.旋转体定义：一个平面封闭图形绕它所在平面内一条定直线旋转一周，形成的封闭空间几何体，这条定直线叫做轴。 2.旋转面：一条平面曲线（直线、折线等），绕同一平面内一条定直线旋转一周得到的空间图形。 圆柱、圆锥、圆台概念： 1.定义   1.矩形绕它的一边旋转一周，得到圆柱；   2.直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到圆锥；   3.直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周，得到圆台。 2.相关概念   1.轴：旋转时固定不动的那条直线；   2.底面：垂直于轴的边旋转形成的圆面；   3.侧面：不垂直于轴的边旋转形成的曲面；   4.母线：不垂直于轴的边旋转到任意位置，都叫做母线。 要点速测 5．下列说法中正确的是（   ） ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 6．如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（    ） A． B． C． D． 知识点 球 一、球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 1.球心：半圆的圆心。 2.半径：连接球心和球面上任意一点的线段。 3.直径：连接球面上两点并经过球心的线段。 二、平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。 截面关系公式：设球的半径为，截面小圆半径为，球心到截面平面的距离为，满足勾股关系： 三、球的表面积和体积 1.球的表面积公式：，为球的半径。 2.球的体积公式：，为球的半径。 要点速测 7．若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 题型1 柱体体积有关计算 例1．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 变式1-1．已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时．液面恰好过，，，的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（     ） A．3 B． C． D． 变式1-3．一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 题型2 柱体的表面积与侧面积 例2．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 变式2-1．将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 变式2-2．四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 变式2-3．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF（边长为10m），设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板．若其中三根柱子的高度依次为，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 题型3 柱体中截面的有关计算 例3．已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．某斜棱柱的底面积为，侧棱长为20，其直截面（垂直于侧棱的平面与棱柱的截面）面积为5，则该棱柱的高为__________． 变式3-2．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 变式3-3．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是__ 题型4 柱体中最短距离 例4．在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 变式4-2．在棱长为2的正方体中，在上，在上，则的最小值为__________. 变式4-3．在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型5 锥体体积有关计算 例5．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是圆柱母线长的2倍，若圆锥的母线与底面所成的角为，则圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-2．已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则其体积为（    ） A． B． C．4 D． 变式5-3．已知圆锥的侧面展开图是周长为的半圆，则圆锥的表面积为______． 题型6 锥体的表面积与侧面积 例6．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（   ） A．1 B． C．2 D．3 变式6-1．已知圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 题型7 锥体中截面的有关计算 例7．已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．在棱长为 4的正四面体中，为其外接球的球心，过点 作平面使得 .若，则截正四面体所得截面的面积为______. 变式7-2．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______.    变式7-3．已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则________． 题型8 锥体中的最短距离 例8．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 变式8-1．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，底面半径为1，母线长为2的圆锥底面圆周上有两点B，C，BC为底面直径，AB上一点D满足，一只蚂蚁沿圆锥侧面从C点爬到D点，其移动路径的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式8-3．如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 题型9 球的表面积与体积 例9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 变式9-2．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 变式9-3．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的母线长以及底面圆的直径均为. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 题型10 多面体与球体内切外接问题 例10．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（     ） A． B． C． D． 变式10-1．已知球的体积为，，，，四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的边长等于_________． 变式10-2．四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 变式10-3．圆柱内有一个球O，球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若圆柱与球的体积之差为，则球O的表面积为_______. 难点一 几何体的折叠与表面最短距离问题 难点分析： 需要实现空间几何体与平面展开图的相互转化，对空间想象能力要求较高。 容易混淆折叠过程中的“不变量”和“变化量”：棱长、面的大小保持不变，但部分角度、点的空间位置会发生改变。 求表面最短距离时，不清楚要把哪几个侧面展开，展开方式选错直接造成计算错误。 处理方法： 牢记核心思想：空间问题平面化，求表面最短距离必须把侧面摊开成平面，利用“两点之间线段最短”计算。 做题标记顶点字母，折叠前后，同一个顶点做好对应，锁定不变的棱长、边长。 遇到多侧面几何体，若展开方式不止一种，需要把所有展开情况全部算出来，再对比取最小值。 难点精练 1．已知在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点．若点为线段上的动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 难点二 多面体的外接球相关计算 难点分析： 外接球球心位置不好确定，不同几何体球心位置不一样，学生很难在空间中定位球心。 模型多：长方体模型、补形法（正四面体补正方体）、找底面外心作垂线找球心，方法容易混淆，不知道该选用哪一种模型。 计算容易出错：常要结合勾股定理，联立球半径、球心到面距离、底面外接圆半径的关系式，容易混淆三个量，代错数值。 处理方法： 掌握找球心通用思路：外接球球心到各个顶点距离相等；先找多边形底面的外心，过底面外心作底面的垂线，外接球球心一定落在这条垂线上。 熟记两类高频模型：长方体（正方体）的外接球，体对角线就是外接球直径；正四面体可补形为正方体，共用同一个外接球。 做题时把三个量标注出来，利用勾股关系列式计算，计算完成后代回检验。 难点精练 3．二面角的平面角为钝角，，且．若P，A，B，C在表面积为的球面上，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．正边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为______． 基础达标 1．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积的一半，那么这个圆锥的轴截面的顶角的正弦值是（    ） A． B．1 C． D． 2．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（    ）． A．1 B．2 C． D． 4．在三棱锥中，平面，，若，，，则该三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________． 6．已知正四棱台上下底面正方形的边长分别为1和2，该正四棱台的高为3，则该正四棱台体积为__________． 7．一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 8．在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 9．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 10．如图，已知四棱锥的底面边长与侧棱的长度都是4，是正方形． (1)求该四棱锥高和表面积； (2)若为棱锥的高的中点，过点作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积． 11．《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 能力进阶 1．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六个完全一样的正四棱柱分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面展开图的面积至少为（    ）（容器壁的厚度忽略不计） A． B． C． D． 2．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________． 4．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________． 5．如图，半径为4的大球内有3个小球，每个小球球面均过大球球心，且与大球球面有且仅有一个公共点，以3个小球球心为顶点的正三角形的中心为大球球心．若为小球两两相交部分（图中线条阴影部分）的体积，为大球内、小球外区域（图中纯色阴影部分）的体积，则（   ） A． B． C． D． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $