专题03 空间向量及其应用（必备知识+21题型+分层检测）（期中复习讲义）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

专题03 空间向量及其应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的基础概念与运算、 基本定理、在立体几何中的应用 1．熟练掌握空间向量的定义（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等），明确其与平面向量的联系与区别； 2．熟练掌握空间向量的坐标运算，并能运用坐标判定向量的平行与垂直； 3．理解共面向量定理和空间向量基本定理，能利用基底对空间向量进行分解与表示； 4．牢记空间向量在立体几何中用于判定线面、面面位置关系的条件，以及距离公式（点到平面距离 ）、角度公式（线线角、线面角、二面角的向量计算公式）. 填选题：一般考查向量的基本运算； 解答题：一般分两问：①线面/面面平行/垂直证明（基础得分点）；②空间角（二面角为主）或点到平面距离计算（重难点） 知识点01 空间向量的概念与运算 考点1：空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等）与平面向量情形相同。 考点2：对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量． 知识点02 向量共面的充要条件与空间向量基本定理 考点1：向量共面的充要条件：如果 与 是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与 、 共面的充要条件是：存在唯一的一对实数 与 ，使得 ． 考点2：空间向量基本定理：如果 、 与 是不共面的向量，那么对于空间中任一向量 ，存在唯一的一组实数 、 与 ，使得 ． 知识点03 空间向量的坐标表示 考点1：空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量 的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标 表示为 ，这个表示的意义是： 是坐标轴正方向上的单位向量 与 的线性组合 ． 考点2：给定空间两点 与 ，则 ． 知识点04 坐标表示下的空间向量运算 设向量 ，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 知识点05 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量 均为非零向量，则 （1） ； （2） ； （3） ． 知识点06 空间向量在立体几何中的应用 空间中的直线和平面可以分别通过方向向量和法向量与空间向量联系起来，从而把立体几何的许多问题化为向量的问题加以解决． 考点1：空间直线与平面之间的平行与垂直 （1）两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直． （2）直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量． （3）两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量；两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行． 考点2：求距离 （1）平面外一点 到平面的距离 由公式 给出，其中 是平面的一个法向量， 是平面上任意一点． （2）平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理． 考点3：求角的大小 （1）具有方向向量 与 的两条直线的所成角 的大小由如下公式确定： （2）具有方向向量 的直线与具有法向量 的平面的所成角 的大小由如下公式确定： （3）具有法向量 与 的两个平面所成的锐二面角（或直二面角） 的大小由如下公式确定： 题型1 空间向量的有关概念 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 空间向量的加减运算 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 题型3 空间向量加减运算的几何表示 8．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）三棱锥中，，点是的重心，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 11．在空间四边形中，则 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 题型4 由空间向量共线求参数或值 13．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（    ） A．0 B． C． D． 14．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 题型5 空间向量的数乘运算 16．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 17．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则 . 题型6 空间向量数乘运算的几何表示 19．（23-24高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 21．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 22．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 题型7 求空间向量的数量积 23．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 24．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 25．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 题型8 空间向量数量积的应用 26．（23-24高二上·上海长宁·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为 ． 27．（22-23高二上·上海宝山·期中）平行六面体，，，若，则 . 28．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，，，，为中点.    (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的大小； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 题型9 判定空间向量共面 29．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 30．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 31．（24-25高二上·上海·课前预习）空间中任意两个向量是否一定共面？ 题型10 空间向量共面求参数 32．（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 33．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若四点共面，则实数的值为 ． 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 35．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 题型11 空间共面向量定理的推论及应用 36．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 37．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 题型12 用空间基底表示向量 39．（24-25高二上·上海·阶段练习）平行六面体中，°，则 ． 40．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    41．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    题型13 空间向量的坐标运算 42．（23-24高二上·上海·期中）已知，若共面，则实数（ ） A．2 B．1 C． D． 43．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正四棱柱的底面边长为，高为，则集合中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为 . 45．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量与，则在方向上的数量投影为 . 46．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，则向量在向量上的投影向量是 . 题型14 空间向量模长的坐标表示 47．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，且，则为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 49．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量，那么方向上的单位向量为 . 50．（24-25高二上·上海·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 51．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 题型15 空间向量平行的坐标表示 52．（24-25高二上·上海·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 53．（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 54．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 55．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 题型16 空间向量垂直的坐标表示 56．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知向量，，，则 . 57．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 58．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 59．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间向量，且与垂直，则等于 ． 题型17 空间向量夹角余弦的坐标表示 60．（22-23高二上·上海浦东新·期中）设向量，，其中，则下列命题中正确命题的个数为（    ） ①向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关）；        ②的最大值为 ③与夹角的最大值为                                ④的最大值为1 A．1 B．2 C．3 D．4 61．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量，则与的夹角大小为 ． 62．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 63．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 题型18 点到平面距离的向量求法 64．（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 65．（24-25高二上·上海·阶段练习）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 . 66．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 67．（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 68．（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为 ． 题型19 异面直线夹角的向量求法 69．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 70．（25-26高二上·上海·阶段练习）如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是 .    71．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 72．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 73．（25-26高二上·上海杨浦·阶段练习）在空间四边形中，； (1)若分别是的中点，求证：四点共面； (2)若分别是的中点，求：异面直线所成角的大小. 题型20 线面角的向量求法 74．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则直线与平面所成角的大小为 （用反三角表示） 75．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的大小是 . 76．（23-24高二上·上海·期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 77．（23-24高二上·上海金山·期中）在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为 ． 78．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 题型21 面面角的向量求法 79．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图正方体的棱长为2，则二面角的大小为 ． 80．（23-24高二上·上海黄浦·期中）四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为 . 81．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知空间非零向量、、，则下列命题中正确的是（   ） A．若、、共面，则、、，中至少存在一对向量平行； B．若，那么与、共面； C．若、、，不共面，那么、、所在直线中至少存在两条直线异面； D．若、、，不共面，那么、、所在直线中不可能存在两条直线异面. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2023个 D．4046个 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 4．（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量平行于向量，则 ． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，三条侧棱两两垂直，且，若F为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 三、解答题 7．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面． (1)求证：． (2)求二面角的平面角的余弦值． (3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 9．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 3．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知棱长为的正四面体中，为中点，则 . 5．（24-25高二上·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 6．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ． 三、解答题 7．（24-25高二上·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 8．（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 9．（25-26高二上·上海·阶段练习）如图所示，在正方体中，棱长为，点N在BD上，点M在上，且. (1)求证：平面． (2)若，求直线与平面所成角大小； (3)求的长度的最小值. 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的基础概念与运算、 基本定理、在立体几何中的应用 1．熟练掌握空间向量的定义（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等），明确其与平面向量的联系与区别； 2．熟练掌握空间向量的坐标运算，并能运用坐标判定向量的平行与垂直； 3．理解共面向量定理和空间向量基本定理，能利用基底对空间向量进行分解与表示； 4．牢记空间向量在立体几何中用于判定线面、面面位置关系的条件，以及距离公式（点到平面距离 ）、角度公式（线线角、线面角、二面角的向量计算公式）. 填选题：一般考查向量的基本运算； 解答题：一般分两问：①线面/面面平行/垂直证明（基础得分点）；②空间角（二面角为主）或点到平面距离计算（重难点） 知识点01 空间向量的概念与运算 考点1：空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等）与平面向量情形相同。 考点2：对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量． 知识点02 向量共面的充要条件与空间向量基本定理 考点1：向量共面的充要条件：如果 与 是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与 、 共面的充要条件是：存在唯一的一对实数 与 ，使得 ． 考点2：空间向量基本定理：如果 、 与 是不共面的向量，那么对于空间中任一向量 ，存在唯一的一组实数 、 与 ，使得 ． 知识点03 空间向量的坐标表示 考点1：空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量 的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标 表示为 ，这个表示的意义是： 是坐标轴正方向上的单位向量 与 的线性组合 ． 考点2：给定空间两点 与 ，则 ． 知识点04 坐标表示下的空间向量运算 设向量 ，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 知识点05 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量 均为非零向量，则 （1） ； （2） ； （3） ． 知识点06 空间向量在立体几何中的应用 空间中的直线和平面可以分别通过方向向量和法向量与空间向量联系起来，从而把立体几何的许多问题化为向量的问题加以解决． 考点1：空间直线与平面之间的平行与垂直 （1）两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直． （2）直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量． （3）两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量；两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行． 考点2：求距离 （1）平面外一点 到平面的距离 由公式 给出，其中 是平面的一个法向量， 是平面上任意一点． （2）平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理． 考点3：求角的大小 （1）具有方向向量 与 的两条直线的所成角 的大小由如下公式确定： （2）具有方向向量 的直线与具有法向量 的平面的所成角 的大小由如下公式确定： （3）具有法向量 与 的两个平面所成的锐二面角（或直二面角） 的大小由如下公式确定： 题型1 空间向量的有关概念 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案. 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 2．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量定义判断A，B，应用特殊值法判断C选项，根据向量相等判断D选项. 【详解】对于A：模长相等方向未知不能确定向量相等，A选项错误； 对于B：模长相等都是1，方向未知不能确定向量相等，B选项错误； 对于C：满足， 但是不满足，C选项错误； 对于D：在正方体中，且方向相同，D选项正确. 假命题个数为3. 故选：C. 题型2 空间向量的加减运算 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 设正方形的中心为，连接、、，如图所示， 则，，，面，面， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ ∵， ∴当时， ， ∴. 故选：C. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】 如图， , 所以， 所以， 故选:C. 6．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量减法运算法则，得共线、共线，所以共线，继而得解. 【详解】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即. 故选：B. 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值. 【详解】因为， 且，所以， 而，当且仅当同向时，等号成立， 而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向， 所以 且均小于直径长2，即， 综上，. 根据选项可知A不符合. 故选：A 题型3 空间向量加减运算的几何表示 8．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）三棱锥中，，点是的重心，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算的知识求得正确答案. 【详解】延长，交于，由于点是的重心，所以是的中点， 所以 . 故选：D 9．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】根据向量减法原则，，而， 故. 故选：C. 11．在空间四边形中，则 ． 【答案】0 【分析】选取一组基底，利用空间向量的加减法，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】如图： 令，，， 则. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 题型4 由空间向量共线求参数或值 13．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知，为空间直角坐标系中的两个点，，若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量共线列方程即可求解. 【详解】因为知，，所以. 因为，则，解得：. 故选：B． 14．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】因为于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 题型5 空间向量的数乘运算 16．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 17．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 故答案为：. 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则 . 【答案】 【分析】根据题意当，时，有最小值1，平方后结合空间向量数量积运算性质，根据最小值为1列方程进行求解即可. 【详解】由可知： 当，时，有最小值1， 因为，是空间单位向量，，空间向量满足，， 两边平方可得： 显然当时，有最小值，最小值为1，所以， 解得：，即当时成立，因此， 故答案为： 题型6 空间向量数乘运算的几何表示 19．（23-24高二上·上海嘉定·期中）在长方体中，为中点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义表示出. 【详解】 如上图示，，，而， 而. 故选：A 20．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【分析】利用正方体的结构特征、性质，及空间向量加减、数乘的几何意义、数量积的运算律判断各项正误. 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 21．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案. 【详解】由，，，则； 由，，，则； 由，，，则； 显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为， 结合题意可作图如下： 在底面连接，作图如下： 由，即，则，易知； 由，即，则，易知； 由，即，则； 由，，则，易知； ，； . 故答案为：. 22．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 题型7 求空间向量的数量积 23．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 【答案】 【分析】讨论当的起点和终点分别为正方体上相邻的两个顶点、正方体侧面上对角的两个顶点、正方体底面上对角的两个顶点、正方体体对角线的两端点时，的取值，即可得解. 【详解】 ①当的起点与终点为正方体上相邻的两个顶点，，与平行或垂直， 若，且与同向，即， ； 若，且与反向，即， ； 若，即，； ②当的起点与终点为正方体侧面上对角的两个顶点，，与的夹角为或， 若与的夹角为，即， ； 若与的夹角为，即， ； ③当的起点与终点为正方体底面上对角的两个顶点，，与的垂直， 即，; ④当的起点与终点为正方体体对角线的两端点，，或， 若，即， ； 若，即， . 综上：与向量的数量积共有3种结果，分别为-1，0，1. 故答案为：3. 24．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 25．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解. 故答案为： 题型8 空间向量数量积的应用 26．（23-24高二上·上海长宁·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出长方体的体对角线的长，即可得出外接球的半径，进而根据球的表面积公式得出答案. 【详解】因为，长方体外接球的直径即等于长方体的体对角线， 且， 所以， ， 所以，， 所以，外接球的半径，表面积为.    故答案为：. 27．（22-23高二上·上海宝山·期中）平行六面体，，，若，则 . 【答案】 【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求. 【详解】 如上图知：， 所以， 故. 故答案为： 28．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，，，，为中点.    (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的大小； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)，. 【分析】（1）利用空间中垂直关系的转化可得平面平面，再结合可得平面，利用解直角三角形可求线面角的大小. （2）利用空间向量的线性运算可得，平方后可求其长度. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故， 而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故， 而，故， 而平面，平面，故， 故. （2）    因为为的重心，连接并延长交与，连接， 则，故， 故， 故， 而，， 又平面，平面，故， 故，故. 题型9 判定空间向量共面 29．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 30．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 31．（24-25高二上·上海·课前预习）空间中任意两个向量是否一定共面？ 【答案】是 【分析】根据空间向量的定义分析判断 【详解】因为空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面的两个向量, 因此空间中任意两个向量一定是共面向量 题型10 空间向量共面求参数 32．（24-25高二上·上海·期末）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】10 【分析】利用空间向量基本定理可得，由题设条件推得方程组，求解即得. 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 33．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知四面体，空间的一点满足，若四点共面，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算结合空间向量基本定理可知即可得解. 【详解】因为四点共面，故，，共面. 故存在唯一实数对，使. 故. 整理得到：. 由四面体可得为空间向量的一组基底. 故，相加即得，故. 故答案为：. 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解. 【详解】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 35．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 题型11 空间共面向量定理的推论及应用 36．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 37．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把A到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 38．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】因为，即， 整理得， 由A、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得，解得. 故答案为：． 题型12 用空间基底表示向量 39．（24-25高二上·上海·阶段练习）平行六面体中，°，则 ． 【答案】 【分析】用基底表示出，然后利用向量数量积的运算，求得. 【详解】 因为， 所以 ， 所以. 故答案为： 40．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为三棱柱中，、分别是、的中点， 且，，， 所以， 故答案为：. 41．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    【答案】 【分析】直接利用向量的线性运算即可得答案. 【详解】, 则， 所以 故答案为：    题型13 空间向量的坐标运算 42．（23-24高二上·上海·期中）已知，若共面，则实数（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由共面向量基本定理结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】，若共面，则,其中， 则， 所以，解得. 故选：B 43．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正四棱柱的底面边长为，高为，则集合中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、、、、、， 因为 则对任意，， 均有， 所以集合，只有一个元素. 故选：A. 44．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为 . 【答案】 【分析】先设终点的坐标，再应用空间向量的坐标运算即可求参. 【详解】设的终点坐标为, 所以，所以, 所以的终点坐标为. 故答案为：. 45．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量与，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由题意，根据空间向量数量积的坐标表示求出，结合计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以在方向的数量投影为. 故答案为： 46．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知，向量在向量上的投影向量 . 故答案为：. 题型14 空间向量模长的坐标表示 47．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，求出的值，可得出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则， 解得，则，所以， 因此，. 故选：B. 48．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 49．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量，那么方向上的单位向量为 . 【答案】 【分析】利用方向上的单位向量为，结合空间向量模的坐标表示求解． 【详解】因为向量， 所以， 所以方向上的单位向量为． 故答案为：． 50．（24-25高二上·上海·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案． 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为：. 51．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 题型15 空间向量平行的坐标表示 52．（24-25高二上·上海·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【答案】## 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 53．（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据且不共线求解即可. 【详解】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 54．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 【答案】6 【分析】由空间向量平行得到方程组，求出的值. 【详解】因为，所以设，故，解得：. 故答案为：6 55．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的夹角为，利用三角形面积公式得到答案； （2）根据平行关系和模长得到，于是或，求出点的坐标. 【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点， 可得， ， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为. （2）因为，所以，其中， 因为，可得， 所以， 于是或， 即点的坐标为或. 题型16 空间向量垂直的坐标表示 56．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得， 故答案为： 57．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【答案】14 【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 58．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【分析】由线面平行得到求解即可； 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 59．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间向量，且与垂直，则等于 ． 【答案】 【分析】利用向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为与垂直，故，故， 故答案为：. 题型17 空间向量夹角余弦的坐标表示 60．（22-23高二上·上海浦东新·期中）设向量，，其中，则下列命题中正确命题的个数为（    ） ①向量与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关）；        ②的最大值为 ③与夹角的最大值为                                ④的最大值为1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可用三角函数值假设的值，利用空间坐标的运算结合三角恒等变换和三角函数的图象性质即可求解. 【详解】因为, 所以设,, 设z轴正方向的单位向量为, , 因为，所以，故①正确； ， 所以的最大值为，故②错误； ， 所以，所以与夹角的最大值为，故③正确； ， 所以的最大值为1，故④正确. 故选:C. 61．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量，则与的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】，而，故， 故答案为：. 62．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 63．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 【答案】/ 【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可. 【详解】由题意，，所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 题型18 点到平面距离的向量求法 64．（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 65．（24-25高二上·上海·阶段练习）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 . 【答案】 【分析】由点到平面的距离公式的向量求法求解即可. 【详解】因为底面的一个法向量为 ，且 ， 所以顶点到底面的距离为：， 故答案为：. 66．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为底面是菱形，，连接，则为等边三角形， 取的中点，连接，则，又，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以点到平面的距离. 故答案为： 67．（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】求出，则点到平面的距离. 【详解】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 68．（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为 ． 【答案】/ 【分析】将棱长为1的正四面体，放入棱长为的正方体中，并建立适当的空间直角坐标系，作出截面，由截面平面，故只需求出点到平面的距离即可，由向量方法即可得解. 【详解】如图所示：将棱长为1的正四面体，放入棱长为的正方体中，并以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系； 设分别是正四面体的侧棱的中点，显然截面平面， 故所求即为点到平面的距离， 由题意， 从而， 设平面的法向量为, 所以，令，解得，所以， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 题型19 异面直线夹角的向量求法 69．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间两直线所成角的以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可以推出与所成角为， 但与所成角为时，或， 所以是与所成角为的充分不必要条件. 故选：A. 70．（25-26高二上·上海·阶段练习）如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线和所成的角是 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，运算得解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 故 设异面直线和所成的角为，则， . 异面直线和所成的角是. 故答案为：. 71．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 72．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 【答案】 【分析】利用两个向量夹角的余弦公式即可求得结果. 【详解】，又因为夹角范围为：，故. 故答案为：. 73．（25-26高二上·上海杨浦·阶段练习）在空间四边形中，； (1)若分别是的中点，求证：四点共面； (2)若分别是的中点，求：异面直线所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据即可求证， （2）由基底表示向量，即可模长公式以及数量积的运算律，结合向量的夹角即可求解. 【详解】（1）由于分别是的中点，故, 故四点共面 （2）, 由于，不妨设棱长为2， 由于， 故 ， ， 故， 因此异面直线所成角的余弦值为，故所成角的大小为 题型20 线面角的向量求法 74．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则直线与平面所成角的大小为 （用反三角表示） 【答案】 【分析】利用空间向量求解即可. 【详解】解：由题意可知 设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为， 则， 所以 故答案为： 75．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的大小是 . 【答案】 【分析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【详解】 由四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形， 则以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 又，则直线与平面所成角的大小为， 故答案为：. 76．（23-24高二上·上海·期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 77．（23-24高二上·上海金山·期中）在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量知识进行求解. 【详解】解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    已知，， 故，，，， ， 设平面的法向量为， 即，故， 令，故， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：. 78．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 题型21 面面角的向量求法 79．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图正方体的棱长为2，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ,0,，,0,，,,，，0，，,,， ,,，,0,， 设平面的法向量,,， 则，取，得,1,， 又平面的法向量,0,， 设二面角的大小为， ， 二面角的大小为． 故答案为： 80．（23-24高二上·上海黄浦·期中）四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】将该正四面体放到棱长为正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】依题意可将该正四面体放到棱长为正方体中如下图所示， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设二面角为，显然二面角为锐二面角， 则，所以.    故答案为： 81．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，的中点分别为，，连接，根据正棱柱的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知空间非零向量、、，则下列命题中正确的是（   ） A．若、、共面，则、、，中至少存在一对向量平行； B．若，那么与、共面； C．若、、，不共面，那么、、所在直线中至少存在两条直线异面； D．若、、，不共面，那么、、所在直线中不可能存在两条直线异面. 【答案】B 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：当、、共面时，这时、、相当于这个平面内的三个平面向量， 因此这三个平面向量可以都不共线，故A错误； 对于B：若根据共面向量定理可知与、共面，故B正确； 对于C：设、、，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，故C错误； 对于D：如下图所示：    若、、，显然异面，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2023个 D．4046个 【答案】B 【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案. 【详解】设， 则， ，， ， ， ， 所以满足条件的点的个数为1个. 故选：B. 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 4．（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【分析】向量共面定理建立等式，解方程求出的值. 【详解】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知向量平行于向量，则 ． 【答案】 【分析】根据共线向量定理可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故存在实数，使得， 故，故，故， 故， 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，三条侧棱两两垂直，且，若F为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，可将该几何体置于棱长为2的正方体中并以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，的坐标，利用空间向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因，，三条侧棱两两垂直，且， 故可将该几何体置于棱长为2的正方体中，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 故，， 则异面直线与所成角的余弦值为： . 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【答案】(1)4.5 (2)9 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）根据共面定理，结合坐标运算即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以， 解得． （2）， 设，即,,,,,,， 所以，解得，，． 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面． (1)求证：． (2)求二面角的平面角的余弦值． (3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点在的延长线上且使． 【分析】（1）连接交于点，则，连接，先根据勾股定理和面面垂直的性质证得线面垂直，以所在直线为轴、轴、轴建立的空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直； （2）根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法计算二面角平面角的余弦值； （3）解法一：根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法结合线面平行计算得到点的位置；解法二：连接，根据题设知，可得平面，在平面找到过点有即为所求. 【详解】（1）连接交于点，则，连接． 在中，，， 所以． 所以， 所以，由于平面平面， 所以底面． 以所在直线为轴、轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系， 则． 由于， 则， 所以． （2）由于平面，由（1）可知， 所以平面的法向量． 设平面，则 设，得到取， 所以． 所以二面角的平面角的余弦值是． （3）存在，点在的延长线上且使，使得平面. 解法1：假设在直线上存在点，使平面． 设，则， 得， 由（1）可知 设平面，则 设，得到 不妨取． 又因为平面， 所以，即，得， 即点在的延长线上且使． 解法2：连接，由题设知， 因为平面，平面，所以平面， 所以在平面找到过点有即为所求. 如图3． 假设在直线上存在点，使平面， 在的延长线上取点，使， 则，从而平面． 9．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由已知条件求出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可； （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 2．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可判断元素个数. 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·期末）已知棱长为的正四面体中，为中点，则 . 【答案】/ 【分析】将向量用向量、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 在棱长为的正四面体中， 由空间向量数量积的定义可得， 因为为的中点，，则，可得， 所以，， 所以，. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线的计算方法可求解. 【详解】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正四棱柱的高为，标出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于的方程，至少有一个解， 即，整理得，解得， 因为，所以，所以棱长的最大值为. 故答案为： 三、解答题 7．（24-25高二上·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【答案】(1) (2)、、线性无关 【分析】（1）用表述，结合向量垂直的数量积形式可求线段的长； （2）设，利用基底法可求，故可判断它们线性无关. 【详解】（1）由题设可得， ， 故， 整理得到，故. （2）令， 则， 整理得到， 故，解得， 故、、线性无关. 8．（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的从标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐表示求出夹角进而求得面积即可. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 9．（25-26高二上·上海·阶段练习）如图所示，在正方体中，棱长为，点N在BD上，点M在上，且. (1)求证：平面． (2)若，求直线与平面所成角大小； (3)求的长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解即得. （3）由（1）的信息，利用向量模的坐标表示，结合二次函数求出最小值. 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 由，，设， 则，，， 由平面，得平面的一个法向量，显然， 即，而直线平面，所以平面. （2）由（1）及，得，， 由平面，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为，则， 所以直线与平面所成角大小为. （3）由（1）得， 当且仅当时取等号，所以的长度的最小值是. 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $