专题01 空间直线与平面（期中复习讲义）高二数学上学期沪教版

专题01 空间直线与平面 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平面及其基本性质 考点二 空间两条直线的位置关系 考点三 直线与平面的位置关系 考点四 平面与平面的位置关系 考点五 斜二测画法、异面直线距离 05 重难题型突破 题型一、空间中的点（线）共面问题 题型二、斜二测画法中有关量的计算 题型三、异面直线的判定 题型四、求异面直线所成的角 题型五、证明线面平行 题型六、证明线面垂直 题型七、求点面距离 题型八、线面垂直证明线线垂直 题型九、求线面角 题型十、由线面角的大小求值 题型十一、证明面面平行 题型十二、求二面角 题型十三、证明面面垂直 题型十四、面面垂直证线面垂直 题型十五、求异面直线的距离 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 平面的三大公理及推论、异面直线概念、异面直线所成角、线面平行与垂直判定及性质、面面平行判定与性质是期中高频考点；斜二测画法、直线与平面所成角、三垂线定理属于中档常考考点；异面直线距离考查频次较低；公理条件遗漏、判定定理条件缺失、空间角范围混淆是本专题主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：直接考查空间位置关系辨析、公理记忆、斜二测直观图识别，侧重概念识记； 中档题：线面、面面平行垂直的证明，求异面直线、线面所成角，容易漏掉判定定理中“相交直线”“直线不在平面内”等条件； 命题联动：空间点线面位置判断常结合简单几何体图形命题，几何证明是期中热门考法。 3.考情总结 题型选择、填空侧重概念辨析，解答题常设立体几何证明大题；整体以基础、中档题为主；定理条件是否齐全、空间角取值范围是高频陷阱，较少出现复杂计算压轴。 识记 1.熟记平面三大公理以及全部推论，分清点、线、面位置关系符号写法； 2.牢记异面直线定义、异面直线所成角范围；熟记线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理与性质定理； 3.记住直线与平面所成角定义与取值范围；识记三垂线定理内容； 4.掌握斜二测画法作图规则，记住空间四边形相关概念。 理解 1.理解三大公理的空间意义，明白“不在同一直线上三点确定一个平面”的前提； 2.理解异面直线是不同在任意一个平面，不是不在某一个平面； 3.理解线面平行判定中“直线在平面外”、线面垂直判定中“两条相交直线”的必要性； 4.理解异面直线角、线面角的构造逻辑；理解斜二测画法长度缩放规则，分清原图与直观图的面积关系。 应用 1.能够利用平面公理判断点线面共面、共线问题； 2.会辨析空间直线的三种位置关系； 3.能运用判定、性质定理完成线面、面面平行与垂直的简单证明； 4.会简单求解异面直线所成角、直线与平面所成角； 5.可以使用斜二测画出平面图形直观图； 考点一 平面及其基本性质 1.平面画法：水平放置平面用________，锐角约________，横边长为邻边________倍，遮挡部分画________。 2.公理1：直线上________在平面内，则整条直线在平面内。 3.公理2：________三点确定一个平面；包含3个推论：直线+直线________、两________直线、两________直线确定平面。 4.公理3：两不同平面有一个公共点，则有且只有一条过该点的________。 ⚠️易混易错 忽略公理2“三点不共线”前提，认为任意三点确定一个平面；证明共面问题直接套用推论，漏掉条件；两个平面相交，误以为只有一个公共点。 考点二 空间两条直线的位置关系 1.公理4：平行于同一直线的两条直线互相________。 2.等角定理：两边分别平行，方向相同则角________；推论：两边分别平行，两角________或________。 3.异面直线：不同在任何一个________内的两条直线；异面直线判定定理；异面直线所成角范围________。 ⚠️易混易错 把“不在同一个平面”等同于异面直线；求异面直线所成角算出钝角不转化为补角；忽略等角定理角相等需要方向相同的条件。 考点三 直线与平面的位置关系 1.三类位置：直线在平面________、直线与平面________、直线与平面________。 2.线面平行：判定（平面________一条直线平行平面________直线，则线面平行）；性质（线面平行，过直线的平面与已知平面________，则直线平行交线）。 3.线面垂直：判定（直线垂直平面内两条________直线，则线面垂直）；性质：垂直同一平面的两直线互相________。 4.线面角：斜线与它平面内射影的锐角，范围________；三垂线定理。 ⚠️易混易错 使用线面平行判定，忘记直线在平面外条件；线面垂直判定用两条平行直线代替相交直线；混淆线面角的取值范围。 考点四 平面与平面的位置关系 1.两个平面位置：________（无公共点）、________（一条公共直线，无数公共点）。 2.面面平行判定：一个平面内两条________直线都平行另一个平面，则两平面平行。 3.面面平行性质：两平行平面和第三个平面________，则两条交线互相平行。 ⚠️易混易错 面面平行判定，使用平面内两条平行直线代替相交直线；混淆面面平行的判定定理与性质定理，分不清条件和结论。 考点五 斜二测画法、异面直线距离 1.斜二测画法：平行x轴长度________，平行y轴长度________，夹角________或________。 2.异面直线公垂线：和两条异面直线都垂直且相交；公垂线段长度为异面直线距离；可转化为线面距离、面面距离求解。 ⚠️易混易错 斜二测画图，平行于y轴线段忘记减半；把只垂直但不相交的直线当作异面直线的公垂线。 题型一、空间中的点（线）共面问题 💡破题要诀 优先利用公理2及其三个推论，借助不共线三点、直线与线外一点、相交或平行直线确定基准平面。再证明其余点或者直线上两点落在该平面，依靠公理1推证直线在平面之内。 做判断题多用反例排除，书写证明题务必写清前提条件。特别留意"三点不共线"这类限定，不能随意省略，避免证明过程出现逻辑漏洞。 例1．如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 变式1-1．下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 变式1-2．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-3．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    题型二、斜二测画法中有关量的计算 💡破题要诀 牢记斜二测作图规则，平行于x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，两轴夹角取45°或135°。无论是原图转直观图，还是直观图反求原图，都要抓住线段的缩放规律。 记住面积换算关系：直观图面积=原图面积×√2/4。计算不要颠倒倍数关系，分清坐标轴方向，看清题目求解的是原图还是直观图的相关量。 例2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 变式2-1．边长为6的正方形放置在水平平面上，则其直观图的面积是________． 变式2-2．如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为__________. 变式2-3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 题型三、异面直线的判定 💡破题要诀 可以使用异面直线判定定理，平面外一点与平面内一点的连线，和平面内不经过该点的直线互为异面直线。也可以采用反证法，先假设两直线共面，结合条件推导矛盾。 画图尽量用平面衬托图形，区分"无公共点"的两类情况。两条直线没有交点，有可能是平行直线，不能直接判定就是异面直线。 例3．如图，在四棱锥中，，，是的中点．求证：平面； 变式3-1．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 变式3-2．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 变式3-3．如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 题型四、求异面直线所成的角 💡破题要诀 平移法：选取端点、中点等特殊点作平行线，把异面直线转化为相交直线，构造出对应的角。常借助中位线、平行四边形实现直线的平行平移。 若构造得到的角是钝角，必须取它的补角作为异面直线夹角。牢记角度范围(0°,90°]，书写步骤要交代取角的依据，不要漏掉关键说明。 例4．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在线段，，，所在的直线中，互为异面直线的有（     ）    A．与 B．与 C．与 D．与 变式4-1．正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 变式4-2．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      变式4-3．在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型五、证明线面平行 💡破题要诀 主要运用线面平行判定定理，在平面内部寻找一条直线与已知直线平行。证明时必须写明已知直线在平面外，借助中位线、平行四边形构造线线平行关系。 也可先证明面面平行，间接得到线面平行。切忌只找到平面内的平行线，却忽略"直线在平面外"的条件，造成证明逻辑残缺。 例5．已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为______． 变式5-1．如图，在正方体中，求异面直线与DC所成的角的大小． 变式5-2．在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，且直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型六、证明线面垂直 💡破题要诀 运用线面垂直判定定理，证明这条直线垂直平面内两条相交直线，"相交"是必不可少的条件。可利用已有的线面垂直、面面垂直性质，推导需要的线线垂直。 不能用平面内两条互相平行的直线来证明线面垂直。证出线面垂直后，可当作已知条件，进一步推导线线垂直、求解线面角等后续问题。 例6．如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)若平面，，求证：． 变式6-1．在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 变式6-2．如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，．求证：平面． 变式6-3．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 题型七、求点面距离 💡破题要诀 一般过目标点向平面作垂线，找准垂足位置后，解三角形算出垂线段的长度。垂足难以定位时，可借助等体积法，将距离转化为几何体的高来运算。 如果直线与平面平行，可转化为直线上其他易求点到平面的距离。严格区分垂线与斜线，切勿把斜线段的长度错误当成点到平面的距离。 例7．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 变式7-1．已知正方形的边长为，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知三棱锥，是直角三角形，，，平面，，求点到平面的距离_______. 变式7-3．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 题型八、线面垂直证明线线垂直 💡破题要诀 若一条直线垂直平面，则该直线垂直平面内任意直线。先证其中一条直线垂直某个平面，另一条直线包含于此平面，即可证两直线垂直。 常搭配三垂线定理，把空间异面垂直转化为平面内射影的垂直。答题完整写出线面垂直推导过程，不可以跳步直接得出线线垂直的结论。 例8．如图所示，在正方体中，.证明： (1)证明 (2). 变式8-1．如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 变式8-3．如图所示，在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点．当时，证明：平面． 题型九、求线面角 💡破题要诀 线面角是斜线与其在平面内射影形成的锐角。过斜线上一点向平面作垂线确定垂足，连接斜足与垂足得到射影，斜线和射影夹角即为线面角。 放到直角三角形中利用三角函数求解，牢记取值范围[0°,90°]。不要误将斜线和平面内任意一条直线的夹角，当作所求的线面角。 例9．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面. (1)证明：； (2)若是靠近点的的三等分点，求与平面所成角的正切值. 变式9-1．如图所示，平面，四边形是正方形，则与平面所成角为________． 变式9-2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为2，为的中点，平面．若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的正切值（   ） A． B． C． D． 变式9-3．如图，在三角形纸片中，点在线段上，且，，.沿折痕将折起，使点到达点，且平面与平面垂直. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型十、由线面角的大小求值 💡破题要诀 严格依据定义作出线面角，确定对应的直角三角形，将题目给出的线面角作为已知条件。梳理图形边长关系，利用勾股定理、三角函数建立方程求解线段。 作图确认垂线、垂足、射影的准确位置，留意题目存在多解的可能性。算出结果后进行检验，舍去不符合空间实际位置的解。 例10．如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 变式10-1．印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异.自秦汉玺印至明清篆刻，方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝.如图是一个金属印章，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，均为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为，则该几何体的体积是（    ） A．32 B． C．64 D． 变式10-2．正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 变式10-3．在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 题型十一、证明面面平行 💡破题要诀 使用面面平行判定定理，证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，两条直线一定要满足相交条件。也可证明两平面同时垂直于同一条直线。 答题分步书写，先证线面平行，再推导面面平行，不能省略中间推理。切记平面内两条平行直线，不能够用来证明两个平面互相平行。 例11．如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 变式11-1．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    变式11-2．如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 变式11-3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 题型十二、求二面角 💡破题要诀 常用定义法、三垂线定理法，定义法在棱上取点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角；三垂线法通过作垂线找到平面角。 将平面角放置在三角形中计算，二面角范围为[0°,180°]。注意辨别计算得到的是平面角本身，还是它的补角，避免角度符号出错。 例12．在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值． 变式12-1．如图所示，三棱锥P-ABC中，，，D为BC的中点，于点H，连接BH，则二面角的大小为________． 变式12-2．如图，底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心，侧面与底面所成的锐二面角为，侧棱与底面所成的角为，则______． 变式12-3．如图，正三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面； (3)若，求二面角的大小． 题型十三、证明面面垂直 💡破题要诀 核心用面面垂直判定定理，在其中一个平面内找到一条直线，证明该直线垂直另一个平面，依靠线面垂直推导出面面垂直。 要保证这条垂线完全处在平面内部。不能仅凭两个平面内部的直线互相垂直，就直接判定面面垂直，防止出现逻辑推导错误。 例13．如图，在正三棱柱中，点是的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 变式13-1．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 变式13-2．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 变式13-3．如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． (1)在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； (2)若，求证：平面平面． 题型十四、面面垂直证线面垂直 💡破题要诀 运用面面垂直的性质定理，两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线，就垂直于另外一个平面。做题第一步要精准找到两个平面的交线。 必须同时满足：直线在平面内、直线垂直交线两个条件。答题书写把全部条件写齐全，缺少任意一条，都不能推出线面垂直结论。 例14．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，已知，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 变式14-1．如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面 B． C．平面 D． 变式14-2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点. (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，求三棱锥的体积. 变式14-3．如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，，求证：． 题型十五、求异面直线的距离 💡破题要诀 直接法需要作出公垂线，公垂线必须同时与两条异面直线垂直并且相交，计算公垂线段的长度。公垂线不好画出时，可转化为线面距离求解。 也可以转化为一对平行平面之间的距离。注意：只垂直但不相交的直线不是公垂线 例15．如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是________． 变式15-1．正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 变式15-2．棱长为1的正四面体对棱中点的距离为________． 变式15-3．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 基础固本练（限时：15分钟） 1．已知为两条直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的的直观图是直角三角形，，为直角顶点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面        ②与平面相交 ③平面        ④平面平面 正确的结论的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 4．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．若正四棱台上下底面边长分别为2和3，高为，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_________. 6．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 7．在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 8．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，，二面角的大小为，则_________． 9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的一点，为线段的中点． (1)求证：； (2)若为线段的中点，求二面角的大小． 10．如图，已知四棱锥底面为平行四边形，且平面，点，分别为棱，上的点； (1)若是中点，且，求证：； (2)若，且平面，求的值； 11．已知四棱锥，底面为正方形，E、F、G分别是、、的中点．设平面与平面的交线为l，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)若，求证：平面平面． 综合进阶练（限时：15分钟） 12．把正方形沿对角线折起，当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 13．已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 14．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 15．在四棱锥中，平面，为的中点，是直线上一点．若平面，则到平面的距离最大值为__________． 16．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则___________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平面及其基本性质 考点二 空间两条直线的位置关系 考点三 直线与平面的位置关系 考点四 平面与平面的位置关系 考点五 斜二测画法、异面直线距离 05 重难题型突破 题型一、空间中的点（线）共面问题 题型二、斜二测画法中有关量的计算 题型三、异面直线的判定 题型四、求异面直线所成的角 题型五、证明线面平行 题型六、证明线面垂直 题型七、求点面距离 题型八、线面垂直证明线线垂直 题型九、求线面角 题型十、由线面角的大小求值 题型十一、证明面面平行 题型十二、求二面角 题型十三、证明面面垂直 题型十四、面面垂直证线面垂直 题型十五、求异面直线的距离 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 平面的三大公理及推论、异面直线概念、异面直线所成角、线面平行与垂直判定及性质、面面平行判定与性质是期中高频考点；斜二测画法、直线与平面所成角、三垂线定理属于中档常考考点；异面直线距离考查频次较低；公理条件遗漏、判定定理条件缺失、空间角范围混淆是本专题主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：直接考查空间位置关系辨析、公理记忆、斜二测直观图识别，侧重概念识记； 中档题：线面、面面平行垂直的证明，求异面直线、线面所成角，容易漏掉判定定理中“相交直线”“直线不在平面内”等条件； 命题联动：空间点线面位置判断常结合简单几何体图形命题，几何证明是期中热门考法。 3.考情总结 题型选择、填空侧重概念辨析，解答题常设立体几何证明大题；整体以基础、中档题为主；定理条件是否齐全、空间角取值范围是高频陷阱，较少出现复杂计算压轴。 识记 1.熟记平面三大公理以及全部推论，分清点、线、面位置关系符号写法； 2.牢记异面直线定义、异面直线所成角范围；熟记线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理与性质定理； 3.记住直线与平面所成角定义与取值范围；识记三垂线定理内容； 4.掌握斜二测画法作图规则，记住空间四边形相关概念。 理解 1.理解三大公理的空间意义，明白“不在同一直线上三点确定一个平面”的前提； 2.理解异面直线是不同在任意一个平面，不是不在某一个平面； 3.理解线面平行判定中“直线在平面外”、线面垂直判定中“两条相交直线”的必要性； 4.理解异面直线角、线面角的构造逻辑；理解斜二测画法长度缩放规则，分清原图与直观图的面积关系。 应用 1.能够利用平面公理判断点线面共面、共线问题； 2.会辨析空间直线的三种位置关系； 3.能运用判定、性质定理完成线面、面面平行与垂直的简单证明； 4.会简单求解异面直线所成角、直线与平面所成角； 5.可以使用斜二测画出平面图形直观图； 考点一 平面及其基本性质 1.平面画法：水平放置平面用平行四边形，锐角约45°，横边长为邻边2倍，遮挡部分画虚线。 2.公理1：直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 3.公理2：不共线三点确定一个平面；包含3个推论：直线+直线外一点、两相交直线、两平行直线确定平面。 4.公理3：两不同平面有一个公共点，则有且只有一条过该点的公共直线。 ⚠️易混易错 忽略公理2“三点不共线”前提，认为任意三点确定一个平面；证明共面问题直接套用推论，漏掉条件；两个平面相交，误以为只有一个公共点。 考点二 空间两条直线的位置关系 1.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行。 2.等角定理：两边分别平行，方向相同则角相等；推论：两边分别平行，两角相等或互补。 3.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线；异面直线判定定理；异面直线所成角范围。 ⚠️易混易错 把“不在同一个平面”等同于异面直线；求异面直线所成角算出钝角不转化为补角；忽略等角定理角相等需要方向相同的条件。 考点三 直线与平面的位置关系 1.三类位置：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 2.线面平行：判定（平面外一条直线平行平面内直线，则线面平行）；性质（线面平行，过直线的平面与已知平面相交，则直线平行交线）。 3.线面垂直：判定（直线垂直平面内两条相交直线，则线面垂直）；性质：垂直同一平面的两直线互相平行。 4.线面角：斜线与它平面内射影的锐角，范围；三垂线定理。 ⚠️易混易错 使用线面平行判定，忘记直线在平面外条件；线面垂直判定用两条平行直线代替相交直线；混淆线面角的取值范围。 考点四 平面与平面的位置关系 1.两个平面位置：平行（无公共点）、相交（一条公共直线，无数公共点）。 2.面面平行判定：一个平面内两条相交直线都平行另一个平面，则两平面平行。 3.面面平行性质：两平行平面和第三个平面相交，则两条交线互相平行。 ⚠️易混易错 面面平行判定，使用平面内两条平行直线代替相交直线；混淆面面平行的判定定理与性质定理，分不清条件和结论。 考点五 斜二测画法、异面直线距离 1.斜二测画法：平行x轴长度不变，平行y轴长度减半，夹角45°或135°。 2.异面直线公垂线：和两条异面直线都垂直且相交；公垂线段长度为异面直线距离；可转化为线面距离、面面距离求解。 ⚠️易混易错 斜二测画图，平行于y轴线段忘记减半；把只垂直但不相交的直线当作异面直线的公垂线。 题型一、空间中的点（线）共面问题 💡破题要诀 优先利用公理2及其三个推论，借助不共线三点、直线与线外一点、相交或平行直线确定基准平面。再证明其余点或者直线上两点落在该平面，依靠公理1推证直线在平面之内。 做判断题多用反例排除，书写证明题务必写清前提条件。特别留意"三点不共线"这类限定，不能随意省略，避免证明过程出现逻辑漏洞。 例1．如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 【答案】(1)如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面. (2)由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式1-1．下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 【答案】A 【详解】对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确； 对于C，由平面的概念可知，平面不具有边缘，平面无限延展，故选项C正确； 对于D，A、B两点均在平面内，则直线也在内，故选项D正确， 变式1-2．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 变式1-3．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    【答案】 取的中点，的中点，连接、、，      因为、分别为、的中点，所以，， 翻折前，中，，，， 是的中点，是的中点，是的中点， 则，，，，， 翻折后，则有，，， 因为，为的中点， 所以，， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 因为为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以、、、共面. 【详解】略 题型二、斜二测画法中有关量的计算 💡破题要诀 牢记斜二测作图规则，平行于x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，两轴夹角取45°或135°。无论是原图转直观图，还是直观图反求原图，都要抓住线段的缩放规律。 记住面积换算关系：直观图面积=原图面积×√2/4。计算不要颠倒倍数关系，分清坐标轴方向，看清题目求解的是原图还是直观图的相关量。 例2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 变式2-1．边长为6的正方形放置在水平平面上，则其直观图的面积是________． 【答案】 【详解】根据斜二测画法的性质有. 变式2-2．如图，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的周长为__________. 【答案】 【详解】依题意，在中，是边的中点，，，，， 因此， 所以的周长为. 变式2-3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】由斜二测画法，可知四边形中， ，，且,如图所示： 过作于， 则四边形为矩形， 所以, 所以, 在中，. 题型三、异面直线的判定 💡破题要诀 可以使用异面直线判定定理，平面外一点与平面内一点的连线，和平面内不经过该点的直线互为异面直线。也可以采用反证法，先假设两直线共面，结合条件推导矛盾。 画图尽量用平面衬托图形，区分"无公共点"的两类情况。两条直线没有交点，有可能是平行直线，不能直接判定就是异面直线。 例3．如图，在四棱锥中，，，是的中点．求证：平面； 【答案】取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【详解】略. 变式3-1．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 【答案】(1) 连接交于，连接.如图：    因为底面是菱形，所以为的中点，又为的中点， 则，又平面，平面，则平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图：    作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，，则. 变式3-2．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明:连接交于点，如图所示： 由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 【详解】略. 变式3-3．如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 【详解】略 题型四、求异面直线所成的角 💡破题要诀 平移法：选取端点、中点等特殊点作平行线，把异面直线转化为相交直线，构造出对应的角。常借助中位线、平行四边形实现直线的平行平移。 若构造得到的角是钝角，必须取它的补角作为异面直线夹角。牢记角度范围(0°,90°]，书写步骤要交代取角的依据，不要漏掉关键说明。 例4．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在线段，，，所在的直线中，互为异面直线的有（     ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】还原为正方体，如下：    A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线与是相交直线，不是异面直线，B不正确； C选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，C不正确； D选项，直线和直线是平行直线，不是异面直线，D错误. 变式4-1．正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（1）错误； 对于（2）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（2）错误； 对于（3）：直线BN与是异面直线，故（3）正确； 对于（4）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（4）正确. 变式4-2．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 变式4-3．在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D 题型五、证明线面平行 💡破题要诀 主要运用线面平行判定定理，在平面内部寻找一条直线与已知直线平行。证明时必须写明已知直线在平面外，借助中位线、平行四边形构造线线平行关系。 也可先证明面面平行，间接得到线面平行。切忌只找到平面内的平行线，却忽略"直线在平面外"的条件，造成证明逻辑残缺。 例5．已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则，且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角的余弦值为. 变式5-1．如图，在正方体中，求异面直线与DC所成的角的大小． 【答案】 【详解】因为，所以或其补角为异面直线与DC所成的角， 在正方体中，， 故， 故异面直线与DC所成的角为. 变式5-2．在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为的中点， 故，则为异面直线，所成的角或其补角. 又因，，为的中点， 则，， 在中，，则， 在中，由余弦定理，. 即异面直线，所成角的余弦值为. 变式5-3．如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，且直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，易知，所以为直线与直线所成的角或其补角， 设，则， ， 在中，由余弦定理得， 又直线与直线所成角范围为， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 题型六、证明线面垂直 💡破题要诀 运用线面垂直判定定理，证明这条直线垂直平面内两条相交直线，"相交"是必不可少的条件。可利用已有的线面垂直、面面垂直性质，推导需要的线线垂直。 不能用平面内两条互相平行的直线来证明线面垂直。证出线面垂直后，可当作已知条件，进一步推导线线垂直、求解线面角等后续问题。 例6．如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)若平面，，求证：． 【答案】(1)取中点，连接， 因为是中点，所以是的中位线， ，且， 在三棱柱中，，，为中点， ，， ，，四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得：平面. (2)平面，平面, ， 已知，又，，平面， 平面， 平面， . 【分析】 【详解】（1）略. （2）略. 变式6-1．在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【详解】折叠前，在正方形中，， ，折叠后重合为点， 垂直关系保留，如图，, 又，平面， ∴平面，选项D正确； 选项A，假设平面，则， 与已知矛盾，A错误； 选项B，∵平面，∴①， 假设平面，则，与条件① 矛盾，B错误； 选项C，同理，假设平面，则， 与条件①矛盾，C错误； 变式6-2．如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，．求证：平面． 【答案】不妨设，则． 连接，由直棱柱的性质知，四边形为矩形，又为的中点， 故，于是，所以， 又，，所以平面， 因为平面，所以． 又平面，平面，故， 又，故平面． 【详解】略 变式6-3．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面 (2)证明：因为底面是正方形，为的中点，所以． 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以． 又，平面，，所以平面 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型七、求点面距离 💡破题要诀 一般过目标点向平面作垂线，找准垂足位置后，解三角形算出垂线段的长度。垂足难以定位时，可借助等体积法，将距离转化为几何体的高来运算。 如果直线与平面平行，可转化为直线上其他易求点到平面的距离。严格区分垂线与斜线，切勿把斜线段的长度错误当成点到平面的距离。 例7．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） 如图所示，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为分别为线段的中点，所以， 所以就是异面直线与所成的角. 在中，， 故异面直线与所成的角的余弦值为； （2）在正方体中，因为分别为线段的中点， 所以，，且平面. 因为， 故三棱锥的体积. 在中，， 因为，所以为直角三角形， 则. 设点D到平面的距离为d， 则三棱锥的体积，解得， 故点D到平面的距离为. 变式7-1．已知正方形的边长为，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正方形的边长为，，分别是，的中点， 则，，， 又平面，平面，所以， 又，所以，易知， 取中点，连接，易知，则， 所以， 设点到平面的距离为，由，得到，解得. 变式7-2．已知三棱锥，是直角三角形，，，平面，，求点到平面的距离_______. 【答案】 【详解】平面，. 由，，得， 又，代入得：. 平面，平面，. 又，，，平面， 平面. 平面，，即为直角三角形. 在中，. . 设点到平面的距离为. 由等体积法：， ，，解得. 变式7-3．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)设，连接， 因为是正方形，所以是线段的中点， 因为是侧棱的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取线段的中点，连接， 因为，所以点与点到平面的距离相等， 因为底面，，所以底面，所以， 则， 因为平面，所以， 则， ， 则底边上的高为，则， 因为，所以点或到平面的距离为. 题型八、线面垂直证明线线垂直 💡破题要诀 若一条直线垂直平面，则该直线垂直平面内任意直线。先证其中一条直线垂直某个平面，另一条直线包含于此平面，即可证两直线垂直。 常搭配三垂线定理，把空间异面垂直转化为平面内射影的垂直。答题完整写出线面垂直推导过程，不可以跳步直接得出线线垂直的结论。 例8．如图所示，在正方体中，.证明： (1)证明 (2). 【答案】(1)在正方体中，，且 ，故 ； 又 ，所以四边形 是平行四边形； 所以，又 平面 ， 平面 ； 所以 平面 ; (2)连接，因为四边形 是正方形，所以 , 在正方体中， 平面 ， 平面 ，所以 , ，，且 ， 平面 ； 所以 平面 ，因为 平面 故 ，即 . 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 变式8-1．如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，交于点， 平面，平面，， ，， ，即， 在平面内，过作于，连接. ，，，平面， 平面，，此即为满足条件的点， 是圆的直径，， ， ，即，故选项B正确. 变式8-2．如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明见解析. 【分析】 【详解】（1）设与的交点为， 直线与所成角为， 由已知，同理可得， 所以， 所以， 因为 ， 所以 . 即直线 与 所成角的正弦值为 . （2）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 . 因为底面 是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 变式8-3．如图所示，在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点．当时，证明：平面． 【答案】因为，是的中点，所以． 在直三棱柱中， 因为底面，底面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 显然， 所以．所以． 因为，，平面， 所以平面． 【详解】略 题型九、求线面角 💡破题要诀 线面角是斜线与其在平面内射影形成的锐角。过斜线上一点向平面作垂线确定垂足，连接斜足与垂足得到射影，斜线和射影夹角即为线面角。 放到直角三角形中利用三角函数求解，牢记取值范围[0°,90°]。不要误将斜线和平面内任意一条直线的夹角，当作所求的线面角。 例9．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面. (1)证明：； (2)若是靠近点的的三等分点，求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明：平面，面，， 又为菱形，，，， 平面，. (2) 【详解】（1）略 （2） 是靠近点的的三等分点，设与的交点为，连接，过点作与点， 由（1）知平面，所以为与面所成角， 棱形，， 过点作与点， ， 在直角三角形中，， . 变式9-1．如图所示，平面，四边形是正方形，则与平面所成角为________． 【答案】/ 【详解】因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成角为 变式9-2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为2，为的中点，平面．若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的正切值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知平面，平面，， 所以与平面所成角是，即， 所以， 因为，所以与所成角是， 平面，平面，平面平面， 又因为平面平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以 平面，平面， 所以， 所以在中. 变式9-3．如图，在三角形纸片中，点在线段上，且，，.沿折痕将折起，使点到达点，且平面与平面垂直. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为折叠前，且，故，所以． 又平面平面两平面的交线为，因为平面，且，所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可知点为点在平面上的垂足，因此为在平面上的射影， 故为直线与平面所成的角． 在中，，，所以． 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 题型十、由线面角的大小求值 💡破题要诀 严格依据定义作出线面角，确定对应的直角三角形，将题目给出的线面角作为已知条件。梳理图形边长关系，利用勾股定理、三角函数建立方程求解线段。 作图确认垂线、垂足、射影的准确位置，留意题目存在多解的可能性。算出结果后进行检验，舍去不符合空间实际位置的解。 例10．如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：在圆柱中，平面，平面，则， 由点在以为直径的圆上（除外），得， 而平面，则平面，又平面， 因此，又，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由平面，得是直线DE与平面所成的角，则， 在中，， 而，则， 又， 所以三棱锥的体积. 变式10-1．印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异.自秦汉玺印至明清篆刻，方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝.如图是一个金属印章，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，均为4，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为，则该几何体的体积是（    ） A．32 B． C．64 D． 【答案】D 【详解】设正四棱锥的底面边长为，则底面的对角线长为， 由题意正四棱柱和正四棱锥的高为，所以正四棱锥的侧棱长为， 因为正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为，所以，解得， 故该几何体的体积为. 故选：D 变式10-2．正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【详解】设此正四棱柱的底面边长为，高为， 则三棱锥的体积为，得， 又与底面所成的角为， 所以，得，得， 所以此正四棱柱的表面积为． 故选：A． 变式10-3．在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 【答案】(1)证明: 因为平面，又面，所以， 又，，面， 所以面，又面， 所以， 又平面，面，面面，所以， 故，又是的中点， 所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）过作面于，连接， 则为直线与平面所成的角，所以， 又，所以， 设，由（1）知，所以， 又平面，面，所以，又为中点， 所以，又，所以， 得到，又，所以，得到， 又，由， 得到，整理得到， 所以.    题型十一、证明面面平行 💡破题要诀 使用面面平行判定定理，证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，两条直线一定要满足相交条件。也可证明两平面同时垂直于同一条直线。 答题分步书写，先证线面平行，再推导面面平行，不能省略中间推理。切记平面内两条平行直线，不能够用来证明两个平面互相平行。 例11．如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式11-1．（基础点27空间点、直线、平面之间的位置关系）如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    【答案】证明：如图，取BE的中点M，连接GM，HM，EF， 因为为的中点， 所以是的中位线，所以， 同理，是的中位线，是的中位线， 所以，，所以， 由，平面,平面，得平面， 同理，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【详解】略. 变式11-2．如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1），分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ， ． （2）连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形，则点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 又平面，平面， 平面． （3）连接，，，则四边形是平行四边形， ， ，，则四边形是平行四边形， ， ， 又，， 四边形是平行四边形， ， ， 平面平面． 变式11-3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明:在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【详解】略. 题型十二、求二面角 💡破题要诀 常用定义法、三垂线定理法，定义法在棱上取点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得到二面角的平面角；三垂线法通过作垂线找到平面角。 将平面角放置在三角形中计算，二面角范围为[0°,180°]。注意辨别计算得到的是平面角本身，还是它的补角，避免角度符号出错。 例12．在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1) 因为底面是菱形，， 所以，， 所以是等边三角形， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）由可知：平面，因为平面，所以， 因为， 所以就是二面角的平面角， 因为为边长等于的等边三角形，为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以，即为直角三角形，， 所以， 所以二面角的正切值为. 变式12-1．如图所示，三棱锥P-ABC中，，，D为BC的中点，于点H，连接BH，则二面角的大小为________． 【答案】 【详解】因为，，D为BC的中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，且平面，即平面， 所以平面平面，即平面平面， 故二面角的大小为：. 变式12-2．如图，底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心，侧面与底面所成的锐二面角为，侧棱与底面所成的角为，则______． 【答案】 【详解】设顶点在底面正方形上的射影为正方形中心，连接， 取中点记为点，连接，， 底面，因此侧棱与底面所成角，由正切定义得 ，​ 因为是正方形中心，故；又底面，由三垂线定理得， 因此侧面与底面所成锐二面角的平面角，得 ，​ 设正方形边长为，则​，，因此 . 变式12-3．如图，正三棱柱中，是的中点． (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1)是正三棱柱， 平面，平面,则． 是正三角形，是的中点， ． 平面， 平面． 又平面， ∴平面平面． (2)连结，设． 是正三棱柱，∴四边形是矩形，是的中点． 是的中点，． 又平面，平面，平面． (3)． 【分析】 【详解】（1）略； （2）略； （3）作于点，于点，连结． ∵平面平面，且两平面的交线为，平面， 平面． 故是在平面上的射影． 根据三垂线定理得，．于是是二面角的平面角． 设，由，则． 在中，． 在中，． 在中，，所以． 于是二面角的大小是． 题型十三、证明面面垂直 💡破题要诀 核心用面面垂直判定定理，在其中一个平面内找到一条直线，证明该直线垂直另一个平面，依靠线面垂直推导出面面垂直。 要保证这条垂线完全处在平面内部。不能仅凭两个平面内部的直线互相垂直，就直接判定面面垂直，防止出现逻辑推导错误。 例13．如图，在正三棱柱中，点是的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，所以为中点. 又点是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2)正三棱柱中，为正三角形，且平面. 因为点是的中点，所以. 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式13-1．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】B 【详解】依题意可知，平面，平面，平面都垂直于平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，共7对． 变式13-2．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接. 在直四棱柱中，四边形是矩形，因为对角线与交于点， 所以为的中点， 又点是棱的中点，所以， 又平面平面， 所以平面. (2)连接. 因为底面是矩形，所以， 因为点分别是棱的中点，， 所以， 所以四边形是正方形，所以. 在直四棱柱中，平面， 又平面，所以. 因为平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式13-3．如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． (1)在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； (2)若，求证：平面平面． 【答案】(1)延长，交于点，连接，直线即为所求交线． (2) 在平面内，过点作于，，，所以， 在中，，，， 在中，， 所以， 因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）延长，交于点，连接，直线即为所求交线． 是两平面一个公共点， 因为平面，平面， 所以是两平面另一个公共点， 因此直线为平面与平面的交线． （2）略 题型十四、面面垂直证线面垂直 💡破题要诀 运用面面垂直的性质定理，两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线，就垂直于另外一个平面。做题第一步要精准找到两个平面的交线。 必须同时满足：直线在平面内、直线垂直交线两个条件。答题书写把全部条件写齐全，缺少任意一条，都不能推出线面垂直结论。 例14．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，已知，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)取的中点为，连接、. 因为为的中点，所以，， 因为为的中点，底面是正方形，所以，， 所以且，则四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接， 因为侧面是边长为1的正三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，所以， 则. 变式14-1．如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面 B． C．平面 D． 【答案】B 【详解】由是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，因此，B正确； 由不垂直于知不垂直于平面，A错误； 因与不一定垂直，故得不出平面,故C错误； 又因，但与不一定垂直，故得不出平面，从而推不出,即D错误. 变式14-2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点. (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，求三棱锥的体积. 【答案】(1)取中点，连接,，由于为的中点，所以,且, 又在中，,N为BC中点， 所以，，且, 所以，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，, 又平面，平面，所以，平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接交于点，连接，作于点, 由平面，平面，平面平面， 所以，所以, 又在中，, 所以，,又为中点， 所以，， 所以，, 所以， 由于侧面是边长为2的正三角形，，， 平面平面,平面平面,平面， 所以，平面, 所以，. 变式14-3．如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，，求证：． 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为，所以为的中位线，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 在三棱柱中，四边形为平行四边行，又，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 又平面，所以∥平面； (2)证明：因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面， 所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型十五、求异面直线的距离 💡破题要诀 直接法需要作出公垂线，公垂线必须同时与两条异面直线垂直并且相交，计算公垂线段的长度。公垂线不好画出时，可转化为线面距离求解。 也可以转化为一对平行平面之间的距离。注意：只垂直但不相交的直线不是公垂线 例15．如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是________． 【答案】4 【详解】因为分别与、垂直，故是与的公垂线， 所以的长4就是与之间的距离， 故答案为：4 变式15-1．正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 【答案】/ 【详解】 取的中点，连接交于点，连接 则点为线段的中点，为的中位线，又， 有，且， 所以异面直线与的距离为到平面的距离， 即点到平面的距离，设该距离为， 由题意得，， 由，得， 解得,故异面直线AC与的距离是：. 变式15-2．棱长为1的正四面体对棱中点的距离为________． 【答案】 【详解】如图，分别为的中点，因为正四面体的棱长为1，所以,即为等腰三角形； 在中，，为的中点，所以， 又，所以. 变式15-3．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 【答案】 【详解】如图： 取的中点G，连接EG、FG，所以， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 所以异面直线与之间的距离即为直线与平面间的距离， 即点B与平面的距离. 连接，，设. 因为，，所以. 因为平面，平面，所以， 因为，所以 因为，平面 所以平面，即为点到平面的距离. 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为. 基础固本练（限时：15分钟） 1．已知为两条直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】若，则或与是异面直线，所以A错误； 若，则，所以B错误； 若，则存在直线，使， 又，所以，所以，所以C正确； 若，，则当且仅当与的交线垂直时，，所以D错误. 2．如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的的直观图是直角三角形，，为直角顶点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直观图中，直角顶点为，所对的直角边，则斜边. 由勾股定理，，所以直观图的面积为. 由斜二测画法，水平放置的平面图形的面积是其直观图面积的倍，所以的面积为. 3．如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面        ②与平面相交 ③平面        ④平面平面 正确的结论的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【详解】对于①，因为平面平面，而平面，所以平面，故①正确； 对于②，因为，则与确定一个平面，所以平面，故②错误； 对于③，与平面内的直线不垂直，故③错误； 对于④，在正方体中，得平面，而平面，所以平面平面，故④正确. 4．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别取的中点，连接，因为等边三角形，则， 又因平面平面，平面平面，则平面， 因平面，则， 因，则，故，， 则， 因为分别为的中点， 所以，则为异面直线与所成角或补角， 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 5．若正四棱台上下底面边长分别为2和3，高为，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_________. 【答案】 【详解】如图正四棱台中，分别为下底面和上底面的中心， 过作底面的垂线，垂足为，E落在上，则为该棱台的侧棱与底面所成的角.    连接， 则，， 所以 所以. 即该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为. 6．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【详解】 取中点，连接， 因为，所以， 由平面易得，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 7．在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 【答案】/ 【详解】由题意得，又平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过作于， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又，，所以， 在中，，所以， 所以直线到平面的距离为. 8．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，，二面角的大小为，则_________． 【答案】 【详解】如图，过点作且，连接， 所以四边形是矩形， 则，，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，即， 又， 由余弦定理得， ， 所以，. 9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的一点，为线段的中点． (1)求证：； (2)若为线段的中点，求二面角的大小． 【答案】(1)因为底面，底面，所以. 因为底面为正方形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 因为，为线段的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，设，取中点，连接， 则，，. 因为底面，所以底面. 过点作，交于点，连接. 因为底面，所以，. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，. 因为，，所以， 所以，即，所以. 在中，，所以. 故二面角的大小为. 10．如图，已知四棱锥底面为平行四边形，且平面，点，分别为棱，上的点； (1)若是中点，且，求证：； (2)若，且平面，求的值； 【答案】(1)证明：∵平面，平面， ∴，又是中点，且，∴， 又∵，平面，∴平面， 又平面，∴. (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）连接交于点，连接， ∵底面为平行四边形，∴，又， 即，又∵平面， 平面，平面平面， ∴，∴. 11．已知四棱锥，底面为正方形，E、F、G分别是、、的中点．设平面与平面的交线为l，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)若，求证：平面平面． 【答案】(1)分别为中点，是中位线， ， 底面是正方形，，， 平面，平面，平面， 分别为中点，是的中位线， ， 平面，平面，平面， ，平面， 平面平面. (2)底面为正方形， ， 平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 故. (3)取连接，取的中点，连接， ，， 底面是正方形，， 又，平面,平面. 平面，. 底面为正方形，， 又平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面. 平面,, ，平面， 由线面垂直的判定定理：平面， 又平面，故平面平面. 【分析】 【详解】（1）略. （2）略. （3）略. 综合进阶练（限时：15分钟） 12．把正方形沿对角线折起，当点到平面的距离最大时，直线与平面所成角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方形的边长为，为对角线的中点.由正方形的性质，，，且. 折叠过程中，始终垂直于，所以点在过且垂直于的平面内运动，且的长度不变. 平面与平面的交线为； 又因为且平面，所以平面平面. 在平面内，点到直线的距离就是点到平面的距离.由于该距离不超过，且当且仅当时取到最大值，所以点到平面的距离最大时，. 又因为，而是平面内的两条相交直线，所以此时平面，点为点在平面上的垂足. 于是直线在平面上的射影为，直线与平面所成角为. 在直角三角形中，，所以. 因此直线与平面所成角为. 13．已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 【答案】①④ 【详解】①当点与重合时， ，，且，平面， 所以平面，因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②当点与重合时，若，因为，， 平面，故平面， 而平面，故，但，矛盾， 所以②错误； ③当与重合时，若，因，故， 而，故，当在变化时，，矛盾；所以③错误； ④若在之间，则在平面，过作的垂线，交线段于， 在上截取，连接，则四边形为平行四边形， 故，故，故四边形为平行四边形， 设平面，在平面中，过作，交于， 因为平面平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故，故，故④正确. 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 故此时④也正确. 综上，④正确. 14．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 【答案】 【详解】取的中点为，连接， 依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 15．在四棱锥中，平面，为的中点，是直线上一点．若平面，则到平面的距离最大值为__________． 【答案】 【详解】若平面PAB，则到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为的中点， 所以到平面的距离等于点到平面距离的一半． 又平面，平面， 所以平面平面. 因为平面平面， 所以过点垂直于的直线，垂直于平面. 所以点到平面距离等于点到直线距离． 易知，所以到直线的距离的最大值为， 当且仅当，即时等号成立. 综上所述，到平面的距离最大值等于到直线的距离的最大值的一半，为． 16．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则___________ 【答案】 【详解】如图，作，为垂足，又， ，平面， 所以平面，连接，过作，交于点， 因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，则， 易知，， 又，且，， 所以，则，即，所以. 连接，过作，交于，因为，所以， 则平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，则， 因为，，，平面， 所以平面， 连接，则平面就是平面. 由，得，则，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $