专题02 等式与不等式（期中复习讲义）高一数学上学期沪教版

专题02 等式与不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 等式性质与一元二次方程 考点二 不等式的性质与作差比较法 考点三 —元二次不等式 考点四 分式不等式与简单绝对值不等式 考点五 基本不等式（平均值不等式) 考点六 三角不等式 05 重难题型突破 题型01 等式的性质与方程的解集 题型02 不等式的大小比较 题型03 证明不等式与取值范围 题型04 一元二次不等式的求解 题型05 根据一元二次不等式的解集求参数 题型06 分式不等式 题型07 绝对值不等式 题型08 利用基本不等式求最值 题型09 不等式的实际应用 题型10 绝对值三角不等式 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 等式的性质、一元二次方程判别式与韦达定理、不等式性质、作差比较法、一元二次不等式求解是期中核心考点；分式不等式、简单绝对值不等式、基本不等式属于高频中档考点；三角不等式考查频次偏低；含参数一元二次方程、不等式，分母不为0、判别式讨论、等号成立条件是主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：直接考查等式不等式性质、判别式计算、简单不等式求解，侧重概念识记； 中档题：结合韦达定理求值、求解含参数一元二次不等式、分式与绝对值不等式，容易忽略分母不为零、端点取舍； 命题联动：一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者综合是热门考法，基本不等式常结合求最值出题。 3.考情总结 题型选择、填空占比高，解答题常设置不等式求解、最值计算大题；基础、中档题为主体；含参数问题、基本不等式“一正二定三相等”容易设置陷阱，极少出现复杂压轴。 识记 1.熟记等式基本性质、一元二次方程判别式、韦达定理全部公式及变形； 2.牢记不等式的各条性质，区分同向可加、同向同正可乘的前提条件； 3.熟记分式、绝对值不等式等价转化规则；记牢基本不等式、三角不等式公式与等号成立条件； 4.熟记一元二次方程、不等式对应表格，能够快速复述判别式对应解集情况。 理解 1.理解等式乘法性质不能两边除以0的逻辑； 2.理解判别式Δ三种取值对应实根情况，明白韦达定理成立前提是方程为一元二次方程即；理解作差比较法完整推理逻辑；理解分式不等式不能直接两边乘分母的原因； 3.理解基本不等式一正、二定、三相等每一条的意义，清楚缺少条件会造成解题错误。 应用 1.会使用作差法比较代数式大小； 2.能熟练解一元二次、分式、简单绝对值不等式，规范写出区间或者集合解集；会利用韦达定理进行代数式求值； 3.能够运用基本不等式求解最值，主动检验等号能否取到； 4.会处理简单含参数一元二次方程、不等式，会对判别式、二次项系数分类讨论，结合数轴分析端点。 考点一 等式性质与一元二次方程 1.等式具备传递性、加法、乘法性质，________。 2.一元二次方程标准形式；________判断实根情况。 3.韦达定理：________，掌握两根平方和、倒数和等常用变形。 ⚠️易混易错 韦达定理使用前提是；实数范围内无实根，不能套用韦达定理计算；解方程不要遗漏退化成一次方程的情况。 考点二 不等式的性质与作差比较法 1.作差比较法四步骤：________、变形、________、定大小。 2.不等式核心性质：乘负数不等号________；同向可加，________；同向同________才可相乘。 ⚠️易混易错 不等式两边同乘代数式，不判断正负直接改写不等号；忽略同向同正可乘性的正数前提，直接套用结论。 考点三 一元二次不等式 1.牢记条件下，对应方程根与不等式解集。 2.先两边乘________反转不等号化为二次项系数为正再求解；解题可以借助二次函数草图。 ⚠️易混易错 忘记把二次项系数化为正数；端点值取舍出错；混淆大于取两边、小于取中间口诀，不结合判别式判断有无实根。 考点四 分式不等式与简单绝对值不等式 1.分式不等式先移项通分右侧化为0，等价转化整式不等式，________恒不为0。 2.时，________；________。 ⚠️易混易错 分式不等式直接两边乘分母；型分式不等式忘记排除分母等于0；平方去绝对值忽略式子非负的前提。 考点五 基本不等式（平均值不等式） 1.，全体实数成立；要求________，当且仅当________取等。 2.求满足一________、二________、三________；和定________最大，积定________最小。 ⚠️易混易错 忽略正数条件直接使用基本不等式；忽略检验等号能否取到；没有和或积为定值强行求最值。 考点六 三角不等式 1.对任意实数，________。 2.分清左右两侧等号成立条件。 ⚠️易混易错 记错等号成立条件；直接套用不等式求最值，不验证等号是否可以成立。 题型01 等式的性质与方程的解集 💡破题要诀 牢记等式两条核心性质，同加同减等式不变，同乘同除非零数等式仍成立。 解方程时逐步移项合并同类项，注意去括号变号。求出根后代入检验，含参数方程要讨论系数是否为0，区分唯一解、无解、无穷多解的情况，最后写出方程解集。 【例1】已知方程的两个根为，则=__________. 【例2】若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是________. 【变式1-1】下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【变式1-2】若关于的方程的解集为，则______． 【变式1-3】解关于x，y的方程组． 题型02 不等式的大小比较 💡破题要诀 常用作差法，两式相减，对差式因式分解或配方，判断正负确定大小；也可用作商法，两正数相除，和1比较。 特殊值法适合选择题快速排除。注意变形等价，乘除代数式先判断正负，不等号方向随负数乘除改变。 【例3】下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【例4】，，，则的大小关系是_________． 【变式2-1】已知，是非零实数，则可以证明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是______. 【变式2-2】已知非零实数a，b，则“”是 “”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】，，，则，，，由大到小的顺序是（   ） A． B． C． D． 题型03 证明不等式与取值范围 💡破题要诀 证明优先作差、配方，把式子化成完全平方判断符号。求范围避免多次放缩，防止范围扩大。 看清已知条件，多个变量可整体代换。证明题分清充分必要，取值范围最后检验边界能否取到，等号成立条件不可忽略。 【例5】若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例6】已知，，则的取值范围是__________． 【变式3-1】已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知， (1)求的取值范围； (2)求a的取值范围. 题型04 一元二次不等式的求解 💡破题要诀 先化标准形式，保证二次项系数大于0。求对应一元二次方程的根，画出二次函数草图。 大于0取两边，小于0取中间。无根时直接看开口方向写解集。注意解集区间端点，方程有根时端点包含，还要留意不等式是否带等号。 【例7】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例8】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】写出下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【变式4-2】已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型05 根据一元二次不等式的解集求参数 💡破题要诀 不等式解集端点就是对应方程的根，用韦达定理建立参数关系式。先判断二次项系数正负，对应抛物线开口方向。 含参时讨论二次项系数是否为0，验证判别式。求出参数后带回原题检验，保证解集和条件一致。 【例9】已知不等式的解集为，写出一组满足要求的，，的值，其中___________，___________，___________． 【例10】若不等式的解集是R，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 【变式5-2】已知不等式（）的解集是． ① ②若不等式的解集为，则 ③若不等式的解集为，则 ④若不等式的解集为，且，则 其中正确结论的序号是__________． 【变式5-3】已知集合，．，且． (1)求实数p及q的值； (2)关于x的不等式的解集为，求实数k的取值范围． 题型06 分式不等式 💡破题要诀 不能直接两边乘分母，要移项通分，化为分式大于或小于0。转化为整式不等式，分子分母乘积大于0。 带等号时分母不能等于0。因式分解后用穿针引线法求解集。重点记住分母恒不为零，排除使分母等于0的自变量。 【例11】设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例12】不等式的解集为______． 【变式6-1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知关于的不等式的解集为．若，则实数的取值范围是_________． 【变式6-3】已知集合． (1)若，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 题型07 绝对值不等式 💡破题要诀 基础型|x|<a(a>0)等价-a<x<a；|x|>a(a>0)等价x>a或x<-a。多个绝对值可分段去绝对值，按零点划分区间讨论。 也可利用几何意义，看作数轴上点的距离。求解后检验区间端点是否满足原式。 【例13】已知，不等式的解集为______． 【例14】不等式的解集为_________． 【变式7-1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】不等式的解集______. 【变式7-3】关于的不等式的解集是________． 题型08 利用基本不等式求最值 💡破题要诀 基本不等式a+b≥2√ab，牢记一正、二定、三相等。先判断变量为正数；凑和或积为定值；最后验证等号能否取到。 无法直接凑定值时，可拆项、乘除构造式子。等号取不到时改用函数单调性求最值。 【例15】若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例16】已知，，，且，则的最小值为______． 【变式8-1】函数在处取得最小值，则t等于___________. 【变式8-2】商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 【变式8-3】（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 题型09 不等式的实际应用 💡破题要诀 仔细读题，找出不等关系，设定变量。把文字条件翻译成不等式，建立模型。 求解不等式后，结合实际意义取舍结果，变量要符合现实，如人数、长度大于0。最后作答，检验结果是否满足题目全部限制条件。 【例17】某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为，深为．已知池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元． (1)设池底的一边长为，试写出总造价（元）关于的函数关系式，并指出其定义域； (2)当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【例18】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 【变式9-1】（1）若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则x，y为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【变式9-2】甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【变式9-3】北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 题型10 绝对值三角不等式 💡破题要诀 核心公式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。求最值关键找等号成立条件。 用于证明不等式或求参数范围，可拆分式子匹配三角不等式结构。注意等号成立条件：ab≥0或ab≤0，看清是求和还是差的绝对值。 【例19】通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____. 【例20】已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 【变式10-1】的最小值为_____________． 【变式10-2】已知实数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-3】若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 基础固本练（限时：15分钟） 1．关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（     ） A． B．或, C． D．或, 3．已知，且，则下列选项不正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 4．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5．已知实数，，满足，且，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．已知，关于的方程的两个实数根为，，且，则________． 7．若不等式的解集为或，则实数n的值为______. 8．若，且，则 的最小值为______ 9．若关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是______． 10．（1）比较与的大小； （2）已知x，，且，比较与的大小． 11．（1）已知实数，满足，，求的取值范围； （2）已知正实数，满足，求的最小值． 12．某助农企业通过直播带货销售一种特色农产品礼盒.已知该项目的年固定成本（设备、场地等）为100万元.每销售（）千箱礼盒，需投入的变动成本（采购、物流等）为万元.根据市场定价，每箱礼盒的售价为500元.假设礼盒能全部售出. (1)求该企业的年利润（万元）关于年销售量（千箱）的函数解析式，并求年销售量为多少时，年利润最大；（利润=销售收入-固定成本-变动成本） (2)求每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量，并求出每箱礼盒的最低平均成本.（平均成本=(固定成本+变动成本)÷销量） 综合进阶练（限时：15分钟） 13．已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 14．已知，若使不等式能成立，则实数m的最小值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 15．如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 16．若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．已知，且，则的最小值为__________. 18．已知集合，，且中恰有3个整数元素，则实数a的取值范围为__________． 19．设关于的不等式的解集为，其中，． (1)当，且时，求实数的值； (2)当，且时，求集合． 20．已知，函数． (1)当时，函数的图象与轴交于，两点，求； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 等式性质与一元二次方程 考点二 不等式的性质与作差比较法 考点三 —元二次不等式 考点四 分式不等式与简单绝对值不等式 考点五 基本不等式（平均值不等式) 考点六 三角不等式 05 重难题型突破 题型01 等式的性质与方程的解集 题型02 不等式的大小比较 题型03 证明不等式与取值范围 题型04 一元二次不等式的求解 题型05 根据一元二次不等式的解集求参数 题型06 分式不等式 题型07 绝对值不等式 题型08 利用基本不等式求最值 题型09 不等式的实际应用 题型10 绝对值三角不等式 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 等式的性质、一元二次方程判别式与韦达定理、不等式性质、作差比较法、一元二次不等式求解是期中核心考点；分式不等式、简单绝对值不等式、基本不等式属于高频中档考点；三角不等式考查频次偏低；含参数一元二次方程、不等式，分母不为0、判别式讨论、等号成立条件是主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：直接考查等式不等式性质、判别式计算、简单不等式求解，侧重概念识记； 中档题：结合韦达定理求值、求解含参数一元二次不等式、分式与绝对值不等式，容易忽略分母不为零、端点取舍； 命题联动：一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者综合是热门考法，基本不等式常结合求最值出题。 3.考情总结 题型选择、填空占比高，解答题常设置不等式求解、最值计算大题；基础、中档题为主体；含参数问题、基本不等式“一正二定三相等”容易设置陷阱，极少出现复杂压轴。 识记 1.熟记等式基本性质、一元二次方程判别式、韦达定理全部公式及变形； 2.牢记不等式的各条性质，区分同向可加、同向同正可乘的前提条件； 3.熟记分式、绝对值不等式等价转化规则；记牢基本不等式、三角不等式公式与等号成立条件； 4.熟记一元二次方程、不等式对应表格，能够快速复述判别式对应解集情况。 理解 1.理解等式乘法性质不能两边除以0的逻辑； 2.理解判别式Δ三种取值对应实根情况，明白韦达定理成立前提是方程为一元二次方程即；理解作差比较法完整推理逻辑；理解分式不等式不能直接两边乘分母的原因； 3.理解基本不等式一正、二定、三相等每一条的意义，清楚缺少条件会造成解题错误。 应用 1.会使用作差法比较代数式大小； 2.能熟练解一元二次、分式、简单绝对值不等式，规范写出区间或者集合解集；会利用韦达定理进行代数式求值； 3.能够运用基本不等式求解最值，主动检验等号能否取到； 4.会处理简单含参数一元二次方程、不等式，会对判别式、二次项系数分类讨论，结合数轴分析端点。 考点一 等式性质与一元二次方程 1.等式具备传递性、加法、乘法性质，等式两边不能同除以0。 2.一元二次方程标准形式；判别式判断实根情况。 3.韦达定理：，掌握两根平方和、倒数和等常用变形。 ⚠️易混易错 韦达定理使用前提是；实数范围内无实根，不能套用韦达定理计算；解方程不要遗漏退化成一次方程的情况。 考点二 不等式的性质与作差比较法 1.作差比较法四步骤：作差、变形、判号、定大小。 2.不等式核心性质：乘负数不等号反向；同向可加，不能同向相减；同向同正才可相乘。 ⚠️易混易错 不等式两边同乘代数式，不判断正负直接改写不等号；忽略同向同正可乘性的正数前提，直接套用结论。 考点三 一元二次不等式 1.牢记条件下，对应方程根与不等式解集。 2.先两边乘反转不等号化为二次项系数为正再求解；解题可以借助二次函数草图。 ⚠️易混易错 忘记把二次项系数化为正数；端点值取舍出错；混淆大于取两边、小于取中间口诀，不结合判别式判断有无实根。 考点四 分式不等式与简单绝对值不等式 1.分式不等式先移项通分右侧化为0，等价转化整式不等式，分母恒不为0。 2.时，；。 ⚠️易混易错 分式不等式直接两边乘分母；型分式不等式忘记排除分母等于0；平方去绝对值忽略式子非负的前提。 考点五 基本不等式（平均值不等式） 1.，全体实数成立；要求，当且仅当取等。 2.求满足一正、二定、三相等；和定积最大，积定和最小。 ⚠️易混易错 忽略正数条件直接使用基本不等式；忽略检验等号能否取到；没有和或积为定值强行求最值。 考点六 三角不等式 1.对任意实数，。 2.分清左右两侧等号成立条件。 ⚠️易混易错 记错等号成立条件；直接套用不等式求最值，不验证等号是否可以成立。 题型01 等式的性质与方程的解集 💡破题要诀 牢记等式两条核心性质，同加同减等式不变，同乘同除非零数等式仍成立。 解方程时逐步移项合并同类项，注意去括号变号。求出根后代入检验，含参数方程要讨论系数是否为0，区分唯一解、无解、无穷多解的情况，最后写出方程解集。 【例1】已知方程的两个根为，则=__________. 【答案】3 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 【例2】若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是________. 【答案】或 【详解】若方程无实根，则，得到， 若方程无实根，则，得到， 则当两方程均无实根时，， 所以若两个方程至少有一个方程有实根时，或， 故答案为：或. 【变式1-1】下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 【变式1-2】若关于的方程的解集为，则______． 【答案】1 【详解】对方程变形，可得整式方程，，所以，由于解集为，故，解得． 故答案为：1． 【变式1-3】解关于x，y的方程组． 【答案】 当时无解；当时，解集为 【详解】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 题型02 不等式的大小比较 💡破题要诀 常用作差法，两式相减，对差式因式分解或配方，判断正负确定大小；也可用作商法，两正数相除，和1比较。 特殊值法适合选择题快速排除。注意变形等价，乘除代数式先判断正负，不等号方向随负数乘除改变。 【例3】下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】举反例，则，故选项A错误； 举反例，则，故选项B错误； 因为，所以，因为，所以，故选项C正确； 当，则，故选项D错误. 故选：C. 【例4】，，，则的大小关系是_________． 【答案】 【详解】易得，，， ，所以， ，所以， 则. 【变式2-1】已知，是非零实数，则可以证明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是______. 【答案】（答案不唯一） 【详解】由不等式，即， 要使，因为，则，故只需，即， 若取，显然成立，且， 此时，“若，则”是假命题. 故整数，的值依次可取（答案不唯一）. 【变式2-2】已知非零实数a，b，则“”是 “”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，举反例，取，则，此时，不满足因此充分性不成立. 当时，取，则，不满足因此必要性不成立. 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式2-3】，，，则，，，由大到小的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，， ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故， ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故， 综上，即． 题型03 证明不等式与取值范围 💡破题要诀 证明优先作差、配方，把式子化成完全平方判断符号。求范围避免多次放缩，防止范围扩大。 看清已知条件，多个变量可整体代换。证明题分清充分必要，取值范围最后检验边界能否取到，等号成立条件不可忽略。 【例5】若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 解得， 又，， 则，， 两式相加可得. 【例6】已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】令，，则，， 所以，. 则. 又，则；又，则. 所以，即. 故的取值范围是. 【变式3-1】已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设（），将右侧展开整理得 ， 对比等式两边系数，可得方程组 ， 解得， 即， 因为，所以，因为，所以， 根据同向不等式的可加性，得 ，所以. 【变式3-2】若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由已知得，所以. 将与相加得： ，即，解得. 【变式3-3】已知， (1)求的取值范围； (2)求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 则，解得， ， ， ， 则，即的取值范围为. （2）由于， ，， 则，即的取值范围为. 题型04 一元二次不等式的求解 💡破题要诀 先化标准形式，保证二次项系数大于0。求对应一元二次方程的根，画出二次函数草图。 大于0取两边，小于0取中间。无根时直接看开口方向写解集。注意解集区间端点，方程有根时端点包含，还要留意不等式是否带等号。 【例7】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的解集是，可得，且， ，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 【例8】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：要使有意义，则， 解得 不等式两边同时平方得 解得或 所以， 所以不等式的解集是 【变式4-1】写出下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1），； 不等式的解集为. （2），，即，解得； 不等式的解集为. （3），，即， 解得； 或. 不等式的解集为或. 【变式4-2】已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由函数的图象可知。可得， 故即为，即， 解得，即的解集为. 【变式4-3】对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 因为表示不大于的最大整数， 所以由. A：显然当成立时，成立，所以本选项符合条件； B：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； C：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； D：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件. 题型05 根据一元二次不等式的解集求参数 💡破题要诀 不等式解集端点就是对应方程的根，用韦达定理建立参数关系式。先判断二次项系数正负，对应抛物线开口方向。 含参时讨论二次项系数是否为0，验证判别式。求出参数后带回原题检验，保证解集和条件一致。 【例9】已知不等式的解集为，写出一组满足要求的，，的值，其中___________，___________，___________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为，得二次函数开口向下，因此； 一元二次方程的两个不等实根为，， 根据韦达定理得 ， 得， ， 因为，故取，则，， 此时不等式的解集为，符合要求. 【例10】若不等式的解集是R，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，即，不等式为，解集为R，满足要求； 若，需满足，解得， 综上，的取值范围是 【变式5-1】已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 即不等式的解集为， 所以为方程的两根且， 所以，即， 所以可化为， 因为， 所以， 解得或， 所以的解集为. 【变式5-2】已知不等式（）的解集是． ① ②若不等式的解集为，则 ③若不等式的解集为，则 ④若不等式的解集为，且，则 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【详解】已知不等式（）的解集是，说明对应的二次函数开口向上，且图像与轴仅有一个公共点，即判别式. 由判别式，直接可得，①正确； 不等式变形为，由解集得方程的两根分别为，. 由韦达定理得，解得.结合①中的，得，所以，②正确； 不等式对应方程，由韦达定理得两根之积. 由和，得，③错误； 不等式对应方程，由解集得方程的两根分别为，. 由韦达定理得，，结合①中的，得， 因为，所以，④正确. 【变式5-3】已知集合，．，且． (1)求实数p及q的值； (2)关于x的不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解不等式，得，解得或，所以集合或， 又因为，且，所以， 所以和是方程的两个根，所以有，解得， 故实数p及q的值分别为和. （2）由（1）可得关于x的不等式为， 该不等式的解集为， 不等式对任意恒成立， ①当时，恒成立，符合题意， ②时，需满足，解得， 综上所述，实数k的取值范围为 题型06 分式不等式 💡破题要诀 不能直接两边乘分母，要移项通分，化为分式大于或小于0。转化为整式不等式，分子分母乘积大于0。 带等号时分母不能等于0。因式分解后用穿针引线法求解集。重点记住分母恒不为零，排除使分母等于0的自变量。 【例11】设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】化简得， 解得， 所以，而， 因此“”是“”的充分而不必要条件. 【例12】不等式的解集为______． 【答案】或 【详解】不等式， 则有或，解得或， 所以所求解集为或. 【变式6-1】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即，等价于，得， 故不等式的解集是. 【变式6-2】已知关于的不等式的解集为．若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】已知，即不满足不等式，则： 时，分母，解得，此时不在定义域内，不属于解集，符合条件； 分式有意义但值大于0，即，等价于，解得或； 综上可得，实数的取值范围是． 【变式6-3】已知集合． (1)若，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，可得， 由可得，解得或，即， 所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得⫋， 可知， 当时，可得，解得，不符合题意， 当时，可得，即，解得且，即， 综上所述，的取值范围为. 题型07 绝对值不等式 💡破题要诀 基础型|x|<a(a>0)等价-a<x<a；|x|>a(a>0)等价x>a或x<-a。多个绝对值可分段去绝对值，按零点划分区间讨论。 也可利用几何意义，看作数轴上点的距离。求解后检验区间端点是否满足原式。 【例13】已知，不等式的解集为______． 【答案】 【详解】不等式等价于下列不等式组的并集： 或或， 解不等式组，得，不等式组无解； 解不等式组，得，解得； 解不等式组，得，不等式组无解. 综上，不等式的解集为. 【例14】不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】因为非负数的绝对值为本身，负数的绝对值为其相反数， 且，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【变式7-1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，其中， 所以，可得，故不等式的解集为. 【变式7-2】不等式的解集______. 【答案】 【详解】解，则，即， ，， 所以. 【变式7-3】关于的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】不等式等价于， 即，即， 解得或， 所以不等式的解集为 题型08 利用基本不等式求最值 💡破题要诀 基本不等式a+b≥2√ab，牢记一正、二定、三相等。先判断变量为正数；凑和或积为定值；最后验证等号能否取到。 无法直接凑定值时，可拆项、乘除构造式子。等号取不到时改用函数单调性求最值。 【例15】若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】将转化为， ， 当且仅当时，即时，取等号， 所以的最小值为4. 【例16】已知，，，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由 ，得 ， ， 因为 ，所以 ，又 ， 故，于是， 由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号， 故， 等号成立条件 且 ，即 ， 所以最小值为 . 【变式8-1】函数在处取得最小值，则t等于___________. 【答案】 【详解】 ， 当且仅当，即时，该函数取得最小值3. 即. 【变式8-2】商店经销某种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货量均为包，已知每次进货的运输劳务费用为62.5元，全年保管费用为元．为了使利润最大，每次应进货________包；最大利润为________元． 【答案】 500 【详解】设利润为元,则 ， 当且仅当时，即时等号成立. 故每次应进货500包，最大利润为元. 【变式8-3】（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 【详解】（1）∵，∴. ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为. （2）因为，，则由得， 则，当且仅当，即时等号成立. ∴的最小值是. （3），所以，所以， 所以或，又因为，所以 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 题型09 不等式的实际应用 💡破题要诀 仔细读题，找出不等关系，设定变量。把文字条件翻译成不等式，建立模型。 求解不等式后，结合实际意义取舍结果，变量要符合现实，如人数、长度大于0。最后作答，检验结果是否满足题目全部限制条件。 【例17】某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为，深为．已知池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元． (1)设池底的一边长为，试写出总造价（元）关于的函数关系式，并指出其定义域； (2)当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】(1)，定义域为． (2)池底两边长均为时总造价最低，最低总造价为元． 【详解】（1）池底面积为，则池底另一边长为． 由于池底边长为正，所以． 池底造价为元． 池壁面积为． 池壁造价为元． 所以总造价为，定义域为． （2）由，有且． 由基本不等式得． 当且仅当，即时取等号，即当时等号成立， 此时池底另一边长为，且总造价的最小值为元． 【例18】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 【答案】(1)万元，万元． (2)仓库应建在距离车站千米处，此时的最小值为万元． 【详解】（1）由题意，设，，其中． 当时，，，所以，．因此，． 当时，（万元），（万元）． （2）由小问1得，当时，． 当且仅当，即时取等号；又，故． 因此，仓库应建在距离车站千米处，总费用的最小值为万元． 【变式9-1】（1）若菜园面积为36平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则x，y为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15米，宽为米时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 【变式9-2】甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 【变式9-3】北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】(1)元 (2)当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【分析】 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． （2）依题意知，当时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 题型10 绝对值三角不等式 💡破题要诀 核心公式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。求最值关键找等号成立条件。 用于证明不等式或求参数范围，可拆分式子匹配三角不等式结构。注意等号成立条件：ab≥0或ab≤0，看清是求和还是差的绝对值。 【例19】通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____. 【答案】 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以等号成立的条件为. 故答案为： 【例20】已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，当时，取等号， 所以， 解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 【变式10-1】的最小值为_____________． 【答案】 【详解】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 【变式10-2】已知实数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，但是，所以不能推出， 当时，则，则 ，所以，所以可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式10-3】若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由，当且仅当时等号成立， 则，即或，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 基础固本练（限时：15分钟） 1．关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即， 故，解得. 2．不等式的解集是（     ） A． B．或, C． D．或, 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以； 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上所述，原不等式的解集为. 3．已知，且，则下列选项不正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【详解】，且，，， 当时等号成立， A正确. ，， 当时等号成立，B正确. ， 当，即，时等号成立，C错误. ， 当即，时等号成立，D正确. 综上所述不正确的选项为C. 4．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和3，且，故A错误； 对于B，把代入得， 因为关于的不等式的解集为且， 所以，故B错误； 对于C，由韦达定理得，解得， 把代入得， 因为，解得，故C错误； 对于D，把代入，得， 因为，所以，即， 解得解集为，故D正确. 5．已知实数，，满足，且，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 由， 得，即， 所以， 所以． 6．已知，关于的方程的两个实数根为，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意可得，，且，即， 又，即，解得， 所以. 7．若不等式的解集为或，则实数n的值为______. 【答案】 【详解】不等式即. 因为它的解集为，所以方程的两个根为和. 把代入得，即. 于是原不等式为，即，也就是，解得或. 与已知解集或比较，得. 8．若，且，则 的最小值为______ 【答案】9 【详解】由可得，由可得， 所以， 当且仅当时取等号，所以 的最小值为. 9．若关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由不等式，得， 当，即时，解集为， 区间内所有数均小于，无正整数，不符合题意； 当即时，不等式化为，解集为，不符合题意； 当，即时，解集为，若解集中恰有两个正整数， 则这两个正整数必为，因此需满足，即. 综上，实数的取值范围是 10．（1）比较与的大小； （2）已知x，，且，比较与的大小． 【答案】（1）；（2），当且仅当时取等号. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， ，又，则， 所以当时，，即； 当时，，则，即， 综上，，当且仅当时取等号. 11．（1）已知实数，满足，，求的取值范围； （2）已知正实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 【详解】（1）设，展开得， 列方程组，解得，所以． 由，得； 由，得． 两式相加：， 解得，所以的取值范围是． （2）已知，，两边同除以得：． ． 由基本不等式，， 当且仅当，且时取等号． 所以，最小值为． 12．某助农企业通过直播带货销售一种特色农产品礼盒.已知该项目的年固定成本（设备、场地等）为100万元.每销售（）千箱礼盒，需投入的变动成本（采购、物流等）为万元.根据市场定价，每箱礼盒的售价为500元.假设礼盒能全部售出. (1)求该企业的年利润（万元）关于年销售量（千箱）的函数解析式，并求年销售量为多少时，年利润最大；（利润=销售收入-固定成本-变动成本） (2)求每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量，并求出每箱礼盒的最低平均成本.（平均成本=(固定成本+变动成本)÷销量） 【答案】(1)，2万箱 (2)1万箱，300元 【详解】（1）由题意可知，每千箱礼盒的售价为50万元， 所以．     因为，， 所以当时，取得最大值300． 故所求的函数解析式为，， 当年销售量为2万箱时，年利润最大．     （2）设每千箱礼盒的平均成本为万元． 根据题意，得，     因为，所以，当且仅当时取等号， 所以每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量是1万箱．     每千箱礼盒的平均成本最低为（万元）， 所以每箱礼盒的最低平均成本为（元）． 综合进阶练（限时：15分钟） 13．已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 14．已知，若使不等式能成立，则实数m的最小值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由不等式，可得，解得，即， 又由不等式，可得，解得，即， 又由不等式，可得， 因为使不等式能成立，即使不等式能成立， 又因为，，可得，所以， 设，令， 当时，；当时，， 所以，所以实数的最小值为. 15．如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，，， 所以，所以，， 所以， 所以的周长为；设，，所以， 在中，由勾股定理可得，解得， 且，解得或， 当且仅当时取等号； 因为，，所以，所以，则； 所以在中，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取得最大值， 故选：C. 16．若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然当时，不等式有无数个整数解，不符合题意； 当时，原不等式可化为； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，解不等式得， 则该不等式最多有2个整数解，不符合题意； 当，即时，解不等式得， 则满足题意的3个整数解为4，5，6，所以，所以. 故选：B. 17．已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 则，所以， 即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，又因为，即时等号成立，所以的最小值为20. 18．已知集合，，且中恰有3个整数元素，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【详解】集合. 因为，且中恰有3个整数元素，所以且集合不能只含一个元素. 所以，解得或. 分为两部分： 左支，整数：； 右支：，整数：. 令，恰有3个整数，分两种独立情形： 若3个整数在左边，三个整数只能是：-6，-5，-4 那么有，解得，结合，此区间满足； 若3个整数在右边，三个整数是2，3，4 那么有，解得. 恒成立，结合，此区间满足. 综上，实数a的取值范围为. 19．设关于的不等式的解集为，其中，． (1)当，且时，求实数的值； (2)当，且时，求集合． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）（1）当时，关于x的不等式的解集为R， 若，不等式，解得，不符合题意，舍去； 若，则满足，解得，此时不等式的解集为R． （2）①当时，，原不等式可化为，此时． ②当时，原不等式可化为， ，即， 解不等式可得或， 此时． 综上所述，当时，；当时，． 20．已知，函数． (1)当时，函数的图象与轴交于，两点，求； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】 【详解】（1）当时，. 的图象与x轴交于，两点， ，是一元二次方程的两根，则，. . （2）时，不等式恒成立，整理得. 当时， ，恒成立，符合题意； 当时，则或，解得或； 综上所述，，即的取值范围为. （3）由，得，即，得. 当时，，解得； 当时，由，得，解得或； 当时，，则由，解得或； 当时， 当，即时，由，解得； 当，即，由，即，解得； 当，即时，由，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $