专题04 幂、指数与对数（期中复习讲义）（必备知识+9大题型+分层检测）高一数学上学期沪教版

专题04 幂、指数与对数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 指数幂的拓展 熟练掌握整数指数幂的运算性质，理解分数指数幂的定义，明确正分数指数幂。掌握无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂的运算性质，能进行简单无理数指数幂的计算。 基础考点，小题主要考查指数幂的定义与运 算性质、计算指数幂的值。 计算题主要考查指数幂的复杂运算。 对数 理解对数的定义，明确对数与指数的相互关系。掌握对数的基本性质，进行对数的化简、计算与求值。了解换底公式，能运用换底公式将不同底数的对数转化为相同底数的对数进行计算，解决与对数底数相关的问题。​ 基础考点，小题主要考查对数的定义与基本 性质、指数式与对数式的互化、对数运算性 质的简单应用、计算对数的值或根据指数式 与对数式的关系求未知数的值等。 计算题对数的复杂运算。 知识点01 指数幂的拓展 1.根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 2.幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 3. 幂的基本不等式 定理 当，时，； 知识点02 对数 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 　　以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N；以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)loga1=0(a>0，a≠1)； (3)logaa=1(a>0，a≠1)； (4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 5. 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 6.对数的换底公式 1. 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 2. 相关结论 (其中a，b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R，n∈R，m≠0). 题型一 根式的化简求值 【典例1】（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 【变式3】（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 ． 题型二 指数幂的运算 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·上海普陀·期中）的5次方根是 . 【典例3】（23-24高一上·上海徐汇·期中）化简（其中） . 【典例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【变式1】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）在实数范围内，的四次方根是 ． 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： .（其中，） 题型三 分数指数幂与根式的互化 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 【典例2】（23-24高一上·上海·期中）已知实数，，化简： . 【变式1】（23-24高一上·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： ．（结果用根式表示） 题型四 指数幂的化简、求值 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 题型五 对数的概念判断与求值 【典例1】（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【变式1】（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【变式2】（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 题型六 指数式与对数式的互化 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）若，则 . 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 题型七 对数的运算 【典例1】（24-25高一上·上海金山·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【变式1】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 【变式3】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，试用、表示的值. 题型八 对数的运算性质的应用 【典例1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则 （用a表示）． 题型九 运用换底公式化简计算 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用，的代数式表示 . 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·上海·期中）化简 ． 3．（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则用有理数指数幂表示的结果是 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，化简 . 6．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知，则 （用表示）． 7．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，则 ． 三、解答题 8．（22-23高一上·上海浦东新·期中）（1）计算：； （2）已知，且，求m的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示 . 4．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则实数 . 5．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 . 6．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 三、解答题 7．（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1800倍. A．129 B．150 C．197 D．199 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）①，则； ②“”是“”一个必要非充分条件； ③若，则； ④若且，，，且则. 以上四个命题，其中真命题的数量是（   ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·上海奉贤·期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 三、解答题 5．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知． (1)求的值； (2)用m表示． 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 7．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂、指数与对数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 指数幂的拓展 熟练掌握整数指数幂的运算性质，理解分数指数幂的定义，明确正分数指数幂。掌握无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂的运算性质，能进行简单无理数指数幂的计算。 基础考点，小题主要考查指数幂的定义与运 算性质、计算指数幂的值。 计算题主要考查指数幂的复杂运算。 对数 理解对数的定义，明确对数与指数的相互关系。掌握对数的基本性质，进行对数的化简、计算与求值。了解换底公式，能运用换底公式将不同底数的对数转化为相同底数的对数进行计算，解决与对数底数相关的问题。​ 基础考点，小题主要考查对数的定义与基本 性质、指数式与对数式的互化、对数运算性 质的简单应用、计算对数的值或根据指数式 与对数式的关系求未知数的值等。 计算题对数的复杂运算。 知识点01 指数幂的拓展 1.根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 2.幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 3. 幂的基本不等式 定理 当，时，； 知识点02 对数 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 　　以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N；以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数； (2)loga1=0(a>0，a≠1)； (3)logaa=1(a>0，a≠1)； (4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 5. 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 6.对数的换底公式 1. 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 2. 相关结论 (其中a，b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R，n∈R，m≠0). 题型一 根式的化简求值 【典例1】（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【详解】， 故答案为：. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 【答案】0 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 ． 【答案】3 【详解】由，得， 因为对任意负数，代数式恒为定值，则有，解得， 所以的值为3. 故答案为：3 题型二 指数幂的运算 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 【典例2】（23-24高一上·上海普陀·期中）的5次方根是 . 【答案】 【详解】因为， 所以的5次方根是， 故答案为：. 【典例3】（23-24高一上·上海徐汇·期中）化简（其中） . 【答案】 【详解】根据指数幂的运算法则，可得. 故答案为：. 【典例4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【详解】. 【变式1】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）在实数范围内，的四次方根是 ． 【答案】 【详解】由指数运算可知，， 所以的四次方根是或， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： .（其中，） 【答案】 【详解】因为，，则. 故答案为：. 题型三 分数指数幂与根式的互化 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 【答案】 【详解】 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·上海·期中）已知实数，，化简： . 【答案】 【详解】实数，， 所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【答案】 【详解】 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·期中）化简： ．（结果用根式表示） 【答案】 【详解】由题意. 故答案为：. 题型四 指数幂的化简、求值 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【答案】 【详解】, 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【详解】解：因为， 所以，即 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 题型五 对数的概念判断与求值 【典例1】（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C 【详解】 ，首数为，尾数为 故选：C． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 题型六 指数式与对数式的互化 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）若，则 . 【答案】 【详解】将两边同时取以2为底的对数，则， 所以， 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 题型七 对数的运算 【典例1】（24-25高一上·上海金山·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【详解】因为，又，， 所以. 【变式1】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，试用、表示的值. 【答案】 【详解】因为，则，即，所以，且， 则. 题型八 对数的运算性质的应用 【典例1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【答案】； 【详解】因为，则 所以． 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则 （用a表示）． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 题型九 运用换底公式化简计算 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用，的代数式表示 . 【答案】 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【详解】， 故答案为：． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题中条件， 则，故A错； 则，故B错； 根据对数的运算法则，可得，即C正确； ，故D错. 故选：C. 二、填空题 2．（23-24高一上·上海·期中）化简 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 . 【答案】 【详解】16的8次方根即：， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则用有理数指数幂表示的结果是 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，化简 . 【答案】 【详解】因为，， 所以 ， 故答案为：. 6．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知，则 （用表示）． 【答案】 【详解】. 故答案为： 7．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，则 ． 【答案】1 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以． 故答案为：1． 三、解答题 8．（22-23高一上·上海浦东新·期中）（1）计算：； （2）已知，且，求m的值． 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 由换底公式可得：， 因为， 所以， 则， 因为， 所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则用表示 . 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则实数 . 【答案】 【详解】由题意知，，则， 所以， 又，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 【答案】或 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 故答案为：或. 三、解答题 7．（24-25高一上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，，用表示. 【详解】（1）由题设有可得，故. （2）因为，故，故. 8．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为，所以． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1800倍. A．129 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为， 设经过天后蝗虫数量达到原来的倍， 则， ，， ，大约经过天能达到最初的倍． 故选：A 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）①，则； ②“”是“”一个必要非充分条件； ③若，则； ④若且，，，且则. 以上四个命题，其中真命题的数量是（   ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】，则,①正确； “可以得出“”， “”不可以得出“,则“”是“”的一个充分不必要条件，则②错误； 若，则，③正确； 若且，，，且，取则没有意义，④错误； 故选：B. 二、填空题 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海奉贤·期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 【答案】 【详解】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同. 由已知， 可得是方程的三个不同的实数根. 由一元三次方程的韦达定理得 ，即①， 由，且为一常数， 则是方程的两不等根， 则由韦达定理可得，②， 联立①②解得. 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知． (1)求的值； (2)用m表示． 【详解】（1），则 . （2） . 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若，求． （2）已知，，试用a，b表示． 【详解】（1）, . （2） . 7．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 8．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【详解】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $