专题03 基本不等式及其应用（求最值、证明不等式）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册

专题03 基本不等式及其应用（求最值、证明不等式） 目录 典例详解 类型一、运用基本不等式求函数的最值 考向1、直接法 考向2、配凑法和换元法 考向3、“1”的妙用 考向4、消元法 类型二、运用基本不等式证明不等式 考向1、直接应用 考向2、限定变形应用 压轴专练 类型一、运用基本不等式求函数的最值 考向1、直接法 1.原始形式： （1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2.涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 3.在用基本不等式求函数的最值时,要满足三个条件:一正、二定、三相等. ①一正:各项均为正数;（异号不能使用基本不等式,同负号可先转化为同正,再使用基本不等式） ②二定:含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:含变数的各项均相等,取得最值. （2）积定和最小,和定积最大 ①设为正实数,若（和为定值）,则当时,积有最大值,且这个值为. ②设为正实数,若（积为定值）,则当时,有最小值,且这个值为 例1.（1）求函数的最大值. （2）求函数的最小值. （3）若，，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】（1） ；（2） ；（3）A 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以 当且仅当，即时， （2） 当且仅当，即时， （3）因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 解得（舍去），或， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即的取值范围是 变式1-1.求函数的最大值. 【答案】-2 【分析】 (1)根据已知条件结合基本不等式求解； （2）“一不正”的处理：负负得正. 【详解】因为，所以-，-. 所以 当且仅当，即时， 变式1-2.已知实数，满足，则的最大值为________ 【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】， 则，当且仅当时等号成立， 故的最大值为 考向2、配凑法和换元法 1.配凑法： （1）根据已知条件配凑分母 (2)结合基本不等式求解 2.换元法: (1)将分母换成新元，注意新元的取值范围； (2)用新元代替旧元； （3）结合基本不等式求解 例2.（1）已知，求函数的最大值. （2）求的值域. 【答案】（1） ；（2） 【分析】根据已知条件配凑分母或将分母换成新元，再结合基本不等式求解即可. 【详解】(1)， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时， (2)令t=x＋1， 当,即t=x+1>0时,（当t=2即x＝1时取“＝”号） 考向3、“1”的妙用 基本不等式解题口诀：（一正，二定，三相等， 积定和最小，和定积最大） 1.原始形式： （1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2.涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 例3.已知，且，求的最小值. 【答案】16 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 考向4、消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 例4.已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】 因为，且，所以， 所以， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 类型二、不等式的恒成立和有解问题 考向1、在R上的恒成立问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0且∆<0； （2）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅，则一定满足a<0且∆≤0； （3）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0且∆<0； （4）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为∅，则一定满足a>0且∆≤0. 考向2、限定范围的恒成立和有解问题 限定范围的恒成立和有解问题 (1)参变分离． (2)构建新函数，根据题意求新函数的最值． (3)恒成立问题：“>、”最大值，“<、”最小值 (4)有解问题：“>、”最小值，“<、”最大值 考向3、更换主元问题 已知谁的范围，谁就是主元。 题型三、利用基本不等式证明不等式 1.（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 2.（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 3.已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 4.已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到 ，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 1.下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 2.不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 3.下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D 4.若实数满足，则的最小值为（ ） A．9 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可. 【详解】 都是正数，≥ 当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6． 5.已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B错误； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 6.已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 7.已知正数满足，则下列选项不正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】C 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确 故答案选C. 7.设x<－1，求函数的最值。 【答案】最大值为1，无最小值 【分析】(1)根据已知条件结合基本不等式求解； （2）“一不正”的处理：负负得正. 【详解】因为，即，所以， 则。 当且仅当，即时，y有最大值，且，y无最小值 1 / 14 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式及其应用（求最值、证明不等式） 目录 典例详解 类型一、运用基本不等式求函数的最值 考向1、直接法 考向2、配凑法和换元法 考向3、“1”的妙用 考向4、消元法 类型二、运用基本不等式证明不等式 考向1、直接应用 考向2、限定变形应用 压轴专练 类型一、运用基本不等式求函数的最值 考向1、直接法 1.原始形式： （1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2.涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 3.在用基本不等式求函数的最值时,要满足三个条件:一正、二定、三相等. ①一正:各项均为正数;（异号不能使用基本不等式,同负号可先转化为同正,再使用基本不等式） ②二定:含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:含变数的各项均相等,取得最值. （2）积定和最小,和定积最大 ①设为正实数,若（和为定值）,则当时,积有最大值,且这个值为. ②设为正实数,若（积为定值）,则当时,有最小值,且这个值为 例1.（1）求函数的最大值. （2）求函数的最小值. （3）若，，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-1.求函数的最大值. 变式1-2.已知实数，满足，则的最大值为________ 考向2、配凑法和换元法 1.配凑法： (1)根据已知条件配凑分母 (2)结合基本不等式求解 2.换元法: (1)将分母换成新元，注意新元的取值范围； (2)用新元代替旧元； (3)结合基本不等式求解 例2.（1）已知，求函数的最大值. （2）求的值域. 考向3、“1”的妙用 “1”的妙用： (1)适用范围：“倒数”型给和求和问题 (2)关键：找到等式，将其化为1． 例3.已知，且，求的最小值. 考向4、消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 例4.已知，且，则的最小值为 ． 类型二、运用基本不等式证明不等式 考向1、直接运用 基本不等式的原始形式： （1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 例5.（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 考向2、限定应用 由基本不等式变形得到的常用结论: 结论1:（） 证明:由,不等式两侧同时加,可得,即,即, 故可得 ① 由,不等式两侧同时加,可得,即 ,故可得, 即 ② 结合①②可得（） 结论2:（） 证明:由结论1可知,当,根据不等式性质的可开方性质,可对该不等式进行开方,可得（） 结论3:（同号） 证明:若同号,则与同正,根据不等式,可得（当且仅当时取等号“=”） 结论4:（异号） 证明:若异号,则与同负,, 与同正,根据基本不等式,可得,故 结论5:（） 证明:由,,,相加可得 ,即. 证明:由,不等式两侧同时加,可得,即,即, 故可得 ① 由,不等式两侧同时加,可得,即 ,故可得, 即 ② 结合①②可得（） 例6.已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 1.下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 3.下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 4.若实数满足，则的最小值为（ ） A．9 B．5 C．6 D．2 5.已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 6.已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.已知正数满足，则下列选项不正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 8.设x<－1，求函数的最值. 9.已知，求证： (1)； (2)． 10.已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$