大题突破3：圆的方程解答题11考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 大题突破3：圆的方程解答题11考点复习指南 考点1 求圆的方程 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知的三个顶点的坐标为，，，求 (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程. 3．（23-24高二上·河南·期中）已知点，，，. (1)证明：，并且四边形是等腰梯形； (2)若过点，，，，求的标准方程. 4．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)经过点P且与直线垂直的直线方程； (2)求以为直径的圆的方程. 5．（23-24高二上·山东·期中）已知的顶点，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程. 6．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 7．（23-24高二上·北京通州·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)求点A的坐标； (2)求经过点P且与直线平行的直线方程； (3)求以为直径的圆的方程. 考点2 直线与圆的位置的判断及应用 8．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 9．（23-24高二上·海南·期中）已知直线：，圆：，为坐标原点． (1)若，判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆有公共点，求实数的取值范围． 10．（23-24高二上·天津·期中）已知圆，直线 (1)证明：不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时直线的方程． 11．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，直线. (1)对，直线与圆C能否相切？若相切，求出切线方程，若不相切，说明理由； (2)设直线l与圆C交于点A，B，若为等腰直角三角形，求l的方程. 12．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆. (1)试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若直线与圆交于两点，分别过的圆的切线相互垂直，求的值. 13．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线l与圆C恒有两个交点； (2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 考点3 圆的切线问题 14．（23-24高二上·江苏扬州·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 15．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 16．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知圆：． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点是，若（是原点），求的最小值及对应的点坐标． 17．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，，，，是的外接圆，直线经过点，且与相切于点． (1)求的标准方程； (2)求直线的方程以及线段的长． 18．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 19．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线的斜率． 考点4 圆的弦长问题 20．（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 21．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 22．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 23．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知的顶点坐标分别是，，. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与的外接圆相交于M，N两点，求. 24．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 25．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 26．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A的方程； (2)当时，求直线l的方程． 27．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 考点5 圆与圆的位置关系及其应用 28．（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 29．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆经过，两点． (1)求圆的半径； (2)判断圆（且）与圆的位置关系． 30．（18-19高二上·山西太原·期中）已知圆，圆． (1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程；若不相交，请说明理由． (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值． 31．（23-24高二上·辽宁·期中）在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由； 考点6 圆的公共弦问题 32．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 34．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点． (1)求圆的一般方程； (2)求圆与圆的公共弦的长． 35．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的标准方程; (2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度. 36．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆与圆交于、两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的弦长. 37．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 考点7 圆的公切线问题 38．（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 39．（21-22高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)若圆与圆：有三条外公切线，求的值； (2)若圆与直线交于两点，，且（为坐标原点），求的值． 40．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 41．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 42．（22-23高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 考点8 圆的最值问题 43．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 44．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 45．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知抛物线的焦点到准线间的距离为2，且点抛物线C上． (1)求m的值； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，于点D，，求DQ的最大值． 46．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点，点满足，且 (1)求点的轨迹方程及t的取值范围； (2)求的最大值． 47．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知圆 (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若为圆上的任意一点，求的取值范围． 48．（23-24高二上·山西·期中）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 49．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点，圆的圆心坐标为，半径为1. (1)过点A作圆的切线，求此切线的方程； (2)设点，，为圆上任意一点，求的最大值； 50．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知圆. (1)直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值. 51．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 52．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线. (1)求直线恒过定点的坐标； (2)求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 53．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 54．（22-23高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 55．（23-24高二上·广东江门·期中）已知方程， (1)若此方程表示圆，求的取值范围； (2)若的值为（1）中能取到的最大正整数，从而得到以为圆心的圆，已知动点为直线上的动点，由作圆的切线，切点为，试求的面积的最小值． 56．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，且截y轴所得的弦长等于， (1)求圆C的方程； (2)设点P是圆C上一动点，求点P到直线的距离的取值范围． 考点9 圆的轨迹问题 57．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 58．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 59．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 60．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 61．（15-16高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点． (1)求线段中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程． 62．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 考点10 直线与圆的韦达定理 63．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若点，过的直线交圆于，两点，求的取值范围. 64．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 65．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知动点与两定点的距离之比为 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为1，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由. 66．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围． 67．（23-24高二上·山东·期中）已知点，曲线上任意一点均满足. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点，证明：． 考点11 直线与圆的定点定值问题 68．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 69．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 70．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 71．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 72．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值． 73．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知圆． (1)证明：圆过定点． (2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 74．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 1．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 3．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 4．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：． (1)写出圆C的标准方程； (2)当m满足什么条件时，直线l和圆C相交． 5．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 6．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 7．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 8．（19-20高一下·江苏无锡·期末）已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 9．（10-11高二上·甘肃武威·期中）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 11．（19-20高二上·浙江杭州·期中）已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程； (3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 12．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 13．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 14．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 15．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 16．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 17．（24-25高二上·天津宝坻·阶段练习）已知圆． (1)过点作圆C的切线l，求l的方程； (2)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． (3)在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 18．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 19．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 大题突破3：圆的方程解答题11考点复习指南 考点1 求圆的方程 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将分离参数，可得，解方程组，即可求得答案. （2）设出圆的标准方程，由题意列出方程，求得参数，即可得答案. 【详解】（1）直线，即， 由于，故， 即直线过定点. （2）设圆C的方程为， 由题意得圆C经过P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切， 则且，即， 解得或， 故圆C的方程为或. 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知的三个顶点的坐标为，，，求 (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）根据点点距离公式可判断三角形为等腰三角形，即可根据面积公式求解， （2）根据直角三角形的性质确定外接圆圆心和半径，即可求解方程. 【详解】（1），，， 由于, 所以为以为斜边的等腰直角三角形，可得中点， 所以，故的面积为20. （2）由（1）知. 所以外接圆圆心恰好为中点，半径, 所以三角形外接圆标准方程为. 3．（23-24高二上·河南·期中）已知点，，，. (1)证明：，并且四边形是等腰梯形； (2)若过点，，，，求的标准方程. 【答案】(1)证明见解析. (2)的标准方程为. 【分析】（1）证明四边形的一组对边平行且不相等； （2）根据四边形为等腰梯形，确定圆心所在直线为底的垂直平分线，用待定系数法求解圆心半径确定圆的标准方程. 【详解】（1）由已知：，有， ，有， 所以，所以， ，， ， 所以,， 综上有四边形是等腰梯形. （2）     设圆心中，半径为，则方程为， 由已知条件知圆心在线段的垂直平分线上上， 直线过中点且斜率, 所以，所以直线方程为即， 点在直线上满足①， 且, 即 解得②，联立①②有，解得， 半径, 所以的标准方程为. 4．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)经过点P且与直线垂直的直线方程； (2)求以为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】第一问运用直线垂直的定义得到斜率，结合点斜式方程求解即可，第二问通过联立直线得到关键点的坐标，求出圆的半径和圆心后用标准方程求解即可. 【详解】（1）易知的斜率为，故所求直线斜率是 直线过点，故直线方程为 方程为 （2）联立方程组解得 故，，由中点坐标公式得中点坐标为 由两点间距离公式得， 故所求圆方程为 5．（23-24高二上·山东·期中）已知的顶点，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出高所在直线的斜率，点斜式求解即可； （2）判断三角形为直角三角形，可得圆心半径求解. 【详解】（1）， 直线的斜率， 边上的高所在直线的斜率为2， 边上的高所在直线过点， 边上的高所在直线的方程为，即. （2）， 即为以角为直角的直角三角形， 故的外接圆以中点为圆心，为半径， 的外接圆的方程为. 6．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果； （2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为. 【详解】（1）因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为， 化简可得． 即直线l的方程为 （2）设圆C的方程为，则， 因为圆C与y轴相切，所以， 又圆心C到l的距离，所以， 即， 解得，． 故圆C的方程为． 7．（23-24高二上·北京通州·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)求点A的坐标； (2)求经过点P且与直线平行的直线方程； (3)求以为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解； （2）求出直线的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程； （3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程. 【详解】（1）由解得， 所以直线与的交点为. （2）由得直线的斜率为， 又点P的坐标为， 所以经过点P且与直线平行的直线方程为，即. （3）因为，，所以的中点坐标为，， 所以以为直径的圆的方程为. 考点2 直线与圆的位置的判断及应用 8．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 9．（23-24高二上·海南·期中）已知直线：，圆：，为坐标原点． (1)若，判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离 (2) 【分析】（1）根据,，可求得直线方程，利用圆心到直线的距离和半径关系即可判断； （2）直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，解出即可. 【详解】（1）由题可知，， 若,则， 所以，解得， 此时直线：， 圆心到的距离，所以直线与圆相离． （2）若与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即， 两边平方，整理得，解得， 所以实数的取值范围为． 10．（23-24高二上·天津·期中）已知圆，直线 (1)证明：不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的线段的最短长度以及此时直线的方程． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明直线过的定点在圆内即可； （2）利用圆心到直线距离最大时即截得的线段的最短时即可. 【详解】（1）圆，即， 所以,圆的半径. 直线即， ，解得：，故直线过定点. 所以, 故点在圆内，且直线过定点. 所以不论取什么实数时，直线与圆恒交于两点. （2）直线被圆截得的线段的最短长度时，即圆心到直线的距离最大时， 且直线过定点， 所以圆心到直线的最大距离为,此时弦长为. 且此时垂直直线，设直线的斜率为，直线的斜率：， 则，. 故直线的方程为：，即. 直线被圆截得的线段的最短长度为，此时直线的方程为. 11．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，直线. (1)对，直线与圆C能否相切？若相切，求出切线方程，若不相切，说明理由； (2)设直线l与圆C交于点A，B，若为等腰直角三角形，求l的方程. 【答案】(1)不能相切，理由见解析； (2). 【分析】（1）求出直线所过定点，判断点是否在圆内即可； （2）根据为等腰直角三角形求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式可得m，即可得直线方程. 【详解】（1）直线与圆C不可能相切.理由如下： 将直线的方程化为， 所以直线过定点， 因为，所以点P在圆C内， 所以，直线与圆C不可能相切. （2）圆的圆心为，半径为， 作，垂足为D， 如图，若为等腰直角三角形，则， 则，即圆心C到直线l的距离为2. 于是有，解得. 所以，此时l的方程为，即. 12．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆. (1)试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若直线与圆交于两点，分别过的圆的切线相互垂直，求的值. 【答案】(1)直线与圆相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）由直线过圆内一定点，则直线与圆相交； （2）由直线与圆切的几何性质，得四边形为正方形，转化为圆心到直线的距离为，从而建立关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）直线与圆相交，理由如下： 直线可化为：， 由此可知恒过定点， 由，知点恒在圆内， 所以，直线与圆相交. （2）设分别过的圆的切线交点为，且切线相互垂直， 所以，，， 所以四边形为正方形， 则点到直线的距离为， 则有， 解得：.    13．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线l与圆C恒有两个交点； (2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)面积最大值为，或. 【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可； （2）注意到，所以当时，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为直线可变形为， 所以，解得， 故直线经过的定点为. 将点代入圆的方程有， 所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点. （2）由（1）知，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径. 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到， 所以，解得或. 故所求直线l的方程为或. 考点3 圆的切线问题 14．（23-24高二上·江苏扬州·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)、 【分析】（1）先求得交点坐标，然后根据直线平行求得直线的方程. （2）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得正确答案. 【详解】（1）由解得，所以交点为， 由于直线与直线平行，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 所以直线与圆相切. 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， ，圆心到直线的距离， 解得，所以直线方程为， . 综上所述，切线方程为、. 15．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）思路一：分切线斜率是否存在，结合相切的条件即可求解；思路二：设出切线方程，然后使用距离公式求解； （2）思路一：找点的对称点，将题目转换为将军饮马模型即可求解；思路二：先用不等式的性质证明，然后说明当，时等号成立，即可得到的最小值是. 【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为， 圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，故满足题意； 当过点且斜率存在的直线为， 若直线与圆相切， 则，解得，此时满足题意的直线为， 综上所述，所求切线的方程为或. 方法二：所求切线经过点，设其方程为. 则该直线到点的距离为，即. 所以，此即，得. 故或，从而所求切线的方程为或. （2）方法一：如图所示： 设点关于直线的对称点，显然， 则，解得，所以的坐标为， 设与直线交于点， 则，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为. 方法二：设，则，从而. 故 . 从而 . 当，时，有，. 所以的最小值是. 16．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知圆：． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点是，若（是原点），求的最小值及对应的点坐标． 【答案】(1)或或或 (2)最小值为，P点坐标为. 【分析】（1）首先利用待定系数法设出切线的方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程； （2）的距离用到圆心的距离与半径来表示，建立与的关系，求出点的轨迹为一条直线，然后将求的最小值问题转化为原点到直线的距离问题. 【详解】（1）圆：，所以，， ①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为， 则圆心到切线的距离为， 即，解得. 所以切线方程为或. ②当切线在两坐标轴上的截距不为零时， 设切线的方程为， 则圆心到切线的距离为， 即，解得或. 所以切线方程为或. 综上所述，所求切线方程为或或或. （2）因为，，则， 所以即，即点在直线：上． 取最小值，只需要取得最小值，即过点向作垂线，所以， 即直线的方程为：， 解方程组得， 所以点坐标为，的最小值为． 17．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，，，，是的外接圆，直线经过点，且与相切于点． (1)求的标准方程； (2)求直线的方程以及线段的长． 【答案】(1) (2)或； 【分析】（1）设圆的一般方程为,代入三点的坐标求解即可； （2）由题意可得心到直线的距离，分类讨论直线的斜率不存在与否可得直线的的方程，利用勾股定理可求得线段的长，从而得解. 【详解】（1）依题意，设圆的一般方程为， 因为圆过，，三点， 所以，解得， 所以圆的一般式方程为，即. （2）由（1）可知圆心为，半径， 因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线为，经过，显然不满足题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 因为直线与相切于点， 所以到直线的距离等于，即，解得， 当时，直线为，即， 当时，直线为，即， 又，所以. 18．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程； （2）求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案. 【详解】（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为； 则，解得或， 故切线方程为或. （2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得， 由可得， 即和， 故过切点，的直线方程为，整理得. 解法2：因为O，，P，四点共圆， 所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为 与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.    19．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心C的坐标为，由，求出的值，得到圆心坐标，求出半径得圆C的标准方程； （2）设出切线方程，由圆心到直线距离等于半径，求出未知系数. 【详解】（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为， 又，即，解得． 所以圆心，圆的半径， 故圆C的标准方程是． （2）直线过点且与圆C相切，斜率不存在时不满足条件， 设切线斜率为，切线方程为，即． 直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为． 考点4 圆的弦长问题 20．（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程； （2）利用垂径定理求出弦长，从而可求的面积. 【详解】（1）设的一般方程为， 由题意可知， 解得， 所以， 故的标准方程为. （2）由（1）可知，，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. . 21．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用圆的切线性质求出，进而求得圆的半径即得答案. （2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】（1）依题意，设圆的方程为， 由圆与轴相切于点，得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以．    22．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线和曲线的位置关系根据一元二次方程的判别式求出的取值范围． （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和向量的数量积的应用求出，即可由圆的弦长公式求解． 【详解】（1）设过点且斜率为的直线的方程为：， 则：， 整理得：， 直线与圆交于，两点， ， 所以：， 解得：． （2）直线与圆交于,，,两点， ， 由于：， 则：，所以：， 故 解得：或． 由于，所以， 直线的方程为：， 圆心到直线的距离， 圆的半径为 所以． 23．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知的顶点坐标分别是，，. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与的外接圆相交于M，N两点，求. 【答案】(1)； (2)120°. 【分析】（1）设出直线方程，后待定系数法构造方程，求解系数即可. （2）画出图形，求出圆心到直线的距离为，后根据圆的性质结合等腰三角形知识可解. 【详解】（1）设圆的一般方程为：， 将，，代入， 得，解得，所以外接圆的方程为； （2）由（1）知，设圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 又因为，在等腰中，所以圆心角，则. 24．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 25．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 26．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A的方程； (2)当时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）选①：因为圆A与直线相切， 所以圆A的半径为， 因此圆A的方程为； 选②：因为圆A与圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为， 所以圆A的方程为. （2）两种选择圆A的方程都是， 当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为， 把代入中，得， 显然，符合题意， 当过点的动直线l存在斜率时，设为， 直线方程为， 圆心到该直线的距离为：， 因为，所以有， 即方程为： 综上所述：直线l的方程为或. 27．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）根据直线经过定点，而定点在圆内，即可求证， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）变形为， ，，，故直线恒过． 又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，． 则，． 故． 考点5 圆与圆的位置关系及其应用 28．（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含. 29．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆经过，两点． (1)求圆的半径； (2)判断圆（且）与圆的位置关系． 【答案】(1)2 (2)圆与圆外离 【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果. （2）比较两圆心距与即可判断. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以圆的一般方程为，则标准方程为， 故圆的半径为2． （2）由（1）可知圆的圆心．半径， 又圆N的圆心，半径， 所以，， 又因为，所以， 所以圆与圆外离． 30．（18-19高二上·山西太原·期中）已知圆，圆． (1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程；若不相交，请说明理由． (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值． 【答案】(1)相交， (2)或． 【分析】（1）两圆化成标准方程，得圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，判断出两圆相交，两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程； （2）设，，即，把直线方程代入圆利用韦达定理求实数的值． 【详解】（1）圆化成标准方程为，圆心，半径， 圆化成标准方程为，圆心，半径， 由，两圆相交， 两圆方程作差得． 即公共弦所在直线的方程为． （2）由题可知，设， 将代入，得， 整理得，，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 由 可得， 化简得，即，解得或． 31．（23-24高二上·辽宁·期中）在平面直角坐标系中，已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，2个 【分析】（1）根据题意利用圆系方程运算求解； （2）设，根据题意可知点轨迹是以为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析判断. 【详解】（1）将点代入圆可得圆，解得， 即圆， 将点表示成“点圆”形式：， 可设圆的方程为， 代入点可得，解得， 所以圆的方程为， 即. （2）由（1）可知：，圆的圆心，半径， 设，因为，即， 整理得， 可知点轨迹是以为圆心，半径的圆， 且，可知圆与圆的位置关系为相交，两圆有2个公共点， 所以圆上存在2个点，使得. 考点6 圆的公共弦问题 32．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可； （2）求出直线的方程，再联立直线的方程得到圆的圆心坐标，再求出半径即可. 【详解】（1）因为圆与交于，两点， 所以两圆方程作差得直线的方程为． 又圆，所以点到直线的距离， 所以； （2），圆， 则，，则， 则直线的方程为，即， 由，解得，所以， 所以点到直线的距离， 设圆的半径为，所以， 所以圆的方程为． 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 34．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点． (1)求圆的一般方程； (2)求圆与圆的公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长. 【详解】（1）设，由得，解得，则， ，所以圆的标准方程为，半径为， 所以圆的一般方程为. （2）圆即，圆心为，半径为， 两点的距离为，而，所以两圆相交， 由、， 两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 35．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的标准方程; (2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）直线与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程； （2）圆C与圆相交于A，B两点，线段即为两圆的公共弦．将两圆的方程的相减，得到二元一次方程，即为公共弦所在直线的方程，在利用圆的弦长公式求出线段的长度. 【详解】（1）圆与直线相切， 圆心到直线的距离等于圆的半径. 因此半径， 圆的标准方程为. （2）圆与圆相交于两点， 由两式相减得方程:， 直线的方程即为. 圆心到直线的距离为， 所以. 36．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆与圆交于、两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减即可得； （2）可借助弦长公式计算，亦可通过计算出交点坐标，利用两点距离公式解决. 【详解】（1）由题意，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，两圆相交， 两圆公共弦所在直线的方程为即，． （2）法一：到直线的距离， 所以公共弦长为． 法二：由得或， 故公共弦长为． 37．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程； （2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长. 【详解】（1）因为圆心到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为.    （2）圆：的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心到 距离， 所以.    考点7 圆的公切线问题 38．（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 39．（21-22高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)若圆与圆：有三条外公切线，求的值； (2)若圆与直线交于两点，，且（为坐标原点），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆有三条公切线，说明两圆外切，根据两圆外切可以求出参数的值 （2）设，，则等价于，直线与圆联立方程，根据韦达定理，得到关于的等式，即可求解的值 【详解】（1）由， 知圆的圆心，半径为； 由圆：，有圆心，半径为1， 依题意有圆与圆相外切，故； （2）设，，有，， 由，有， 整理得………① 由，得：，易知，是方程的根，故有，代入①，得，满足要求，故 40．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可； （2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 41．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用半径、到的距离、公共弦长的一半构成的直角三角形可得答案； （2）由图象、方程特征可知一条公切线为：；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离解得，可得答案. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 两圆方程、相减可得公共弦直线方程为 ，所以点到的距离为， 所以公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，也即， 则点到此公切线的距离，解得：， 所以另一条公切线的方程为：， 综上，两圆的公切线方程为和． 42．（22-23高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 考点8 圆的最值问题 43．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 44．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解； （2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：. 【详解】（1）设圆的标准方程为：， 由题意得：，得：， 即：圆的圆心坐标：. （2）由题意得:， 所以：， 所以：最大值为：：，最小值为：. 45．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知抛物线的焦点到准线间的距离为2，且点抛物线C上． (1)求m的值； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，于点D，，求DQ的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线中的几何意义即可求解抛物线方程，即可代入可求解， （2）根据斜率公式化简可得直线AB：，结合圆的性质，即由点点距离求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线间的距离为2， 所以． 又因为点抛物线C上，所以． （2）设，，所以，． 因为，所以， 所以， 又直线AB的方程为：，即， 所以直线AB：， 所以直线恒过． 因为于点D，所以点D在以PM为直径的圆上． 即圆心为，半径为． ． 所以DQ的最大值． 46．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点，点满足，且 (1)求点的轨迹方程及t的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 （1）利用两点间距离公式，代入，即可求解点的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，即可求解的取值范围； （2）由条件转化，利用点与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】（1） 由可知， ，化简为， 即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，方程为； 由，即， 则圆心到直线的距离， 解得：； （2）由题意可知，， 所以， 点在圆外，所以的最大值为， 所以的最大值为. 47．（23-24高二上·山东菏泽·期中）已知圆 (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若为圆上的任意一点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径；再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，依据圆到直线的距离求出每一种情况下的直线方程即可. （2）先分析出的几何意义；再求出圆心与点的距离为，根据圆的特点算出动点与定点距离的最大值和最小值；最后求出的取值范围即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径. 当经过点的直线与轴垂直时，直线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，故直线与圆相切，符合题意； 当经过点的直线与轴不垂直时，设直线方程为， 即. 由圆到直线的距离得：，解得， 此时直线的方程为，化简得， 综上：圆的切线方程为或. （2）的几何意义为圆上动点与定点距离的平方， 设圆心与点的距离为，则， 所以的最大值为，最小值为， 故的最大值为，最小值为， 即的取值范围． 48．（23-24高二上·山西·期中）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出圆的标准方程，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再减去半径即可得解. 【详解】（1）因为圆M的圆心在y轴上， 所以可设圆M的方程为， 又圆M经过，两点， 所以，解得， 所以圆M的方程为， 故圆M的圆心坐标为，半径为， （2）由题意得圆心M到直线的距离为， 故直线与圆相离， 所以P到直线的距离的最小值为． 49．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点，圆的圆心坐标为，半径为1. (1)过点A作圆的切线，求此切线的方程； (2)设点，，为圆上任意一点，求的最大值； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆心到直线距离等于半径求解切线方程即可. （2）设，将用表示出，再求其最大值. 【详解】（1）由题意得圆标准方程为，，, 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 由，解得：， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 所以切线的方程为或. （2）方法一：设点，则， ∴ 设点，则 ∵， ∴， 即的最大值为； 方法二：设点，则，即， ∴ 设，则直线与圆有公共点， ∴圆心到直线的距离， 解得，故得的最大值为； 方法三：设点，则， 设， ，当时取最大值， 故得的最大值为 50．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知圆. (1)直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值. 【详解】（1）由题意得，圆的半径， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切； 综上，直线的方程为或. （2）由题意得圆心到直线的距离， 所以， 点到直线的距离的最大值为， 则的面积的最大值. 51．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值及弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立，解得. 故直线恒过定点. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为， 可知点在圆内，直线与圆相交， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，解得， 此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为. 52．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线. (1)求直线恒过定点的坐标； (2)求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)直线恒过定点 (2)，4 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值及弦长. 【详解】（1）直线， 可化为， 联立解得故直线恒过定点. （2）由，配方得， 所以圆心，半径为，直线恒过定点， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短. 因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，解得. 此时圆心到直线的距离为， 所以最短弦长为. 53．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】 （1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1） 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2） 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 54．（22-23高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入圆方程求解参数即可. （2）转化为点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 55．（23-24高二上·广东江门·期中）已知方程， (1)若此方程表示圆，求的取值范围； (2)若的值为（1）中能取到的最大正整数，从而得到以为圆心的圆，已知动点为直线上的动点，由作圆的切线，切点为，试求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的一般式方程中的求解出的范围； （2）先表示出，然后确定出面积取最小值时的值，结合点到直线的距离公式完成计算. 【详解】（1）因为方程表示圆，所以， 所以， 即的取值范围是； （2）因为的值为（1）中能取到的最大正整数，所以， 所以，圆心，半径， 又因为， 所以取最小值时取最小值，且取最小值即为到直线的距离， 所以， 所以的最小值为. 56．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，且截y轴所得的弦长等于， (1)求圆C的方程； (2)设点P是圆C上一动点，求点P到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据圆的切线性质设出圆心的坐标，结合圆的弦长求解即得. （2）求出圆心到直线距离，利用几何性质求出取值范围即得. 【详解】（1）由圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，设点，显然圆的半径为， 由圆截y轴所得的弦长等于，得，解得， 所以圆C的方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 点到的距离， 显然直线与圆相离，因此圆上点到该直线距离最小值为3，最大值为7， 所以点P到直线的距离的取值范围是.    考点9 圆的轨迹问题 57．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 58．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 59．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）根据题意，设，由两点间距离公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由圆的弦长公式，代入计算，即可求得，当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大，结合三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）设，，，， ，轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）对于，满足，故在圆C内， 当时，存在弦PQ被点G平分； ，， 则， 当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大， 面积最大为． 60．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解. 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 61．（15-16高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点． (1)求线段中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出线段的中点坐标，表达出的坐标，代入求出轨迹方程； （2）由几何关系得到，故，得到轨迹方程. 【详解】（1）设线段的中点的坐标为，的坐标为， ∵，∴， 又在圆上， ∴，化简得， 故线段中点的轨迹方程为； （2）设的中点为， 在中，， 设O为坐标原点，连接，则⊥， ∴， ∴， 化简得 故线段PQ中点的轨迹方程为 62．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 考点10 直线与圆的韦达定理 63．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若点，过的直线交圆于，两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设圆心，根据圆经过，两点得到方程，求出，即可得到圆心坐标与半径，从而得到圆的方程； （2）当直线的斜率不存在直接求出，设直线的斜率存在时，设直线为，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 又圆经过，两点， 所以圆半径， 解得，所以圆心，，所以圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或， 不妨令，则，所以，， 所以； 设直线的斜率存在时，设直线为，，， 由，消去得，显然， 所以，， 又， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即； 综上可得的取值范围为. 64．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交列出不等式，可得解； （2）直线与圆联立利用韦达定理可求得直线的方程，进而得解. 【详解】（1）∵直线与圆交于两点，∴， 解得. （2）设，， 将代入方程， 整理得， ∴，， ， 解得，由（1）知， 所以直线的方程为， 可知圆心在直线上， ∴是圆的直径，且， ∵是圆上的一动点（异于，）， ∴到直线的最大距离即为半径为1， ∴面积的最大值为. 65．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知动点与两定点的距离之比为 (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作两条直线分别与轨迹相交于两点，若直线与的斜率之积为1，试问线段的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由. 【答案】(1) (2)线段的中点在定直线上. 【分析】（1）设点的坐标为，由题意知，代入点的坐标整理计算即可； （2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，求出点坐标，同理求出点的坐标，进而可求出中点坐标得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，由题意知， 即， 平方整理得， 即动点的轨迹的方程为. （2）设直线的方程为：，代入， 整理得， 因为点都在圆上， 所以，即， 此时. 因为直线与的斜率之积为1， 同理可得， . 设的中点为，此时，则. 故线段的中点在定直线上. 66．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程； （2）联立方程组，得到，根据，求得，由，化简得到，结合韦达定理，求得，结合，求得，再代入不等式，求得或，进而求得的取值范围． 【详解】（1）由圆与圆关于直线对称． 设圆的圆心坐标为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由直线的方程为， 联立方程组，整理得， 根据题意，可得，解得， 设，则， 因为直线的斜率分别为，且，可得，即， 即，即， 所以，可得， 因为，可得，解得， 将代入中，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围为． 67．（23-24高二上·山东·期中）已知点，曲线上任意一点均满足. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设的坐标，由题知，即，化简方程即可； （2）法一：考虑直线斜率不存在与存在两种情况.当斜率存在时，设直线方程，代入圆的方程消元后，利用直线的斜率之和，即可证明； 法二：考虑直线斜率为零和不为零两种情况.当直线斜率不为零时，设直线方程，代入圆的方程，消元后，利用直线的斜率之和，即可证明； 法三：根据题意得，在中由正弦定理知 ①②两式相比，可得，即可证明. 【详解】（1）设的坐标，由， 得， 化简，得，即. 故的轨迹方程为. （2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以 当与轴不垂直时，设的方程为，， 将代入得. 所以，. 则直线的斜率之和为 由得. 则. 从而，故的倾斜角互补，所以. 综上， 方法二：当与轴重合时，. 当与轴不重合时，设的方程为，， 将代入得. 所以，. 则直线的斜率之和为. 由得 . 则. 从而，故的倾斜角互补，所以. 综上，. 方法三：由题意，，所以， 在中由正弦定理知 ①② 因为，所以， ①②得， 又，所以. 考点11 直线与圆的定点定值问题 68．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或 (2)①；②证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 69．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得； （2）根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （3）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1） 由题知：直线方程为，则由，得到，即， 点为线段的中点，，即， . （2） 由，则圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为.. （3）    由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是（3）设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 70．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程； （3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可. 【详解】（1）解：设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）解：因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，    因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 71．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点. (1)若，求实数的值； (2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由构成方程组得，再结合点，在圆上可求得，则可求； （2）设直线的方程为，联立直线方程与圆的方程可得，B同理可得，再由，，三点共线，得到 ，能得到与的关系式，然后可求，得到与的关系式，则的值可求. 【详解】（1）设，， 由得，即，故. 因为点，在圆上，所以，解得：， 所以，又，所以. （2）依题意，，，直线的方程为， 联立方程组，整理得：， 所以，，故. 同理可得. 因为，，三点共线，所以，即， 整理可得：， 显然，故. 设，则，解得， 即，所以，所以. 72．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设，根据题意得出，再根据两点间距离公式即得. （2）联立，利用韦达定理，代入斜率公式整理即得. 【详解】（1）设，在中，PB为圆的切线，所以， ，所以，得，即， 所以曲线的方程： （2）由点Q为曲线上纵坐标最大的点，所以， 设，，斜率为k的直线方程为：， 由，得， 得，， 所以 ，          而， ， 所以， 即直线MQ，NQ的斜率之和为定值为 【点睛】直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程、弦长、弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决. 73．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知圆． (1)证明：圆过定点． (2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【分析】（1）对圆的方程变形，列出方程组，即可求解. （2）设出直线方程，并与圆的方程联立，再结合韦达定义，以及向量垂直的性质，即可求解. 【详解】（1）证明：圆的方程变形为：， 令，解得， 把代入圆成立， 所以圆过定点． （2）当时，圆的方程为：． 假设存在直线符合题意． 设直线的方程为，与圆联立得： ． 所以判别式． 设，，由根与系数的关系得， ，． 若以为直径的圆经过原点，则，从而有， 即 解得：， 代入，均成立， 所以直线的方程为或. 74．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据设点代入即可得到曲线的方程； （2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到方程，进而得到过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到过该定点即可. 【详解】（1）设，由，得，所以， 两边平方并化简，得曲线的方程为. （2）由（1）得，设直线、的斜率分别为，， 如图所示，    当不垂直于轴时，设，联立， 整理得，解得（舍）或， 当时，，所以， 同理得， 所以的斜率， 因为，代入可得， 故的方程为， 即， 故过定点； 当轴时，设，则， 所以，即， 又因为，代入可得， 解得或（舍），所以（或）， 所以的方程为，过点. 综上，直线过定点 1．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.（2）根据圆的面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可； （2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则. 圆圆心坐标为，则圆的方程为 （2）如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 如果选择条件②和③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 3．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【详解】（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 4．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：． (1)写出圆C的标准方程； (2)当m满足什么条件时，直线l和圆C相交． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用配方法化方程为标准方程即得. （2）利用圆的圆心到直线的距离小于半径，求解不等式即得. 【详解】（1）圆C：的方程化为：， 所以圆C的标准方程为. （2）由（1）知圆的圆心，半径， 由，解得， 所以当时，直线l和圆C相交. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 6．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两个定点，满足的点，得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程； （2）根据条件，用表示出面积，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题设知，两边化简得， 所以点的轨迹的方程为 （2）由题意知直线的斜率一定存在，设，即， 因为原点到直线的距离，， 所以，当且仅当时，取得等号， 又当时，由，得到，解得， 所以直线的方程为．    7．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案； （2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案. 【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为， 联立方程组，解得． 直线和的交点． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． （2）设所求圆的标准方程为， 的斜率为，故直线的斜率为1， 由题意可得 解得 故所求圆的方程为． 化为一般式：． 8．（19-20高一下·江苏无锡·期末）已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； （2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解. 【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 9．（10-11高二上·甘肃武威·期中）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程； （2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程. 【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 （2）由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 11．（19-20高二上·浙江杭州·期中）已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程； (3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值17，最小值 【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可； （2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程； （3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值． 【详解】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 公共弦； （2）圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，，即，到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （3） 当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，四边形的面积； 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：， 则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， ，， 设， 当或1时，正好是轴及垂直轴， 面积， 当时，最大且，或1时，最小， 四边形面积的最大值17，最小值． 12．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【详解】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 13．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 14．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 15．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果. 【详解】（1）设直线与圆相交的弦为线段， 因为圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则， 所以直线与圆相交所得的弦长为. （2）设圆关于直线对称所得的圆为圆， 由题意可得圆心与圆心关于直线对称， 设圆心，则，解得， 则，则圆的方程为. 16．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析，定点 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．（24-25高二上·天津宝坻·阶段练习）已知圆． (1)过点作圆C的切线l，求l的方程； (2)若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． (3)在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果. （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积. 【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . （3）圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 18．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$