专题03 期中真题百炼通关61题19大压轴题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 期中真题百炼通关（57题19大压轴题型） 拔高·压轴破难 题型1 与三角形中线有关的压轴问题 题型2 与三角形高线有关的压轴问题 题型3 全等三角形中动点问题 题型4 全等三角形的模型问题 题型5 全等三角形的判定与性质综合 题型6 角平分线与垂直平分线的综合 题型7 等腰三角形的存在性问题 题型8 三角形中的多结论问题 题型9 平方根、立方根的规律探究综合 题型10 无理数整数部分的计算综合 题型11 实数的综合运算 题型12 用勾股定理解决几何问题 题型13 勾股定理与折叠问题结合 题型14 勾股定理与旋转问题结合 题型15 勾股定理与最值问题结合（含将军饮马） 题型16 勾股定理与全等三角形结合 题型17 勾股定理与等腰三角形结合 题型18 勾股定理中的分类讨论问题 题型19 勾股定理中的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴·压轴破难 题型1 与三角形中线有关的压轴问题（共3小题） 【易错】核心是倍长中线构造全等、转移线段，或利用中线等分面积。压轴多综合动点、最值。关键：找全等、转化边角，审清面积与长度关系。 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为7时，线段的长度最小值为______． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 题型2 与三角形高线有关的压轴问题（共3小题） 【易错】多考等面积法、分类讨论钝角外部高，或高线交点的特殊位置。压轴常结合面积比求线段。关键：底高对应、画对高，注意多解漏解。 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将三角形纸片折叠，使点与重合，折痕交边于点，交边于点，展开并复位．连接，交于点，已知，设的面积为． （1）设的面积为，若，则______； （2）设的面积为，的面积为，若，则______． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，中， ，，，，为中点．将绕点旋转一周，设点、对应的点分别为、，的面积为，则的取值范围是______________． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 (1)观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个等式：________． (2)如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c． 用两种方法计算大正方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式：________． (3)如图3，在中，（），点D，P分别在边上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 题型3 全等三角形中动点问题（共3小题） 【易错】动点分速分时移动，用含 t 的式子表示边长，列全等或面积关系式。压轴考全等判定分类、动态最值。关键：分类讨论、检验 t 范围防增根。 7．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． (1)当为何值时，、两点相遇； (2)在某时刻分别过点和点作于点，于点，求当为何值时，与全等． 8．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合） 9．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 题型4 全等三角形的模型问题（共3小题） 【易错】高频考一线三等角、手拉手、半角、截长补短模型。压轴综合旋转构造全等转移边角。关键：识别模型、会推导等角，实现线段转移。 10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 11．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 12．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 题型5 全等三角形的判定与性质综合（共3小题） 【易错】灵活选用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，证全等后推边角、算周长面积。压轴常隐藏公共边、公共角。关键：顶点对应书写规范，条件不跳步。 13．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 14．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 题型6 角平分线与垂直平分线的综合（共3小题） 【易错】角平分线作垂线、垂直平分线连两端等距，常结合三角形周长、等腰构造。压轴求最值周长。关键：性质判定分清，会利用等距转移线段。 16．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，求长度． 17．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 18．（25-26八年级上·福建福州·期中）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 题型7 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 【易错】给定两点求第三点构成等腰，需分类讨论顶角顶点，按腰相等列方程。压轴常与坐标、动点结合。关键：两两相等三情形全列出，检验重合。 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 21．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，，是从点出发的动点，沿着在三角形边上运动，速度为每秒．设点的运动时间为秒． (1)当P点运动到中点时， 秒； (2)当点在上运动时， cm；（用含t的代数式表示） (3)若存在某一时刻，使得时间为秒时的面积与时间为秒时的面积相等，求出此时的值； (4)点P运动多少秒时，为等腰三角形（直接写出答案）． 题型8 三角形中的多结论问题（共3小题） 【易错】给出图形判断多条结论真假，综合全等、等腰、角平分线、垂直平分线。压轴考几何推理力。关键：逐一推导验证，留意特殊位置反例。 22．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知和都是等边三角形，且三点共线，与交于点与交于点与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤平分．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 24．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 题型9 平方根、立方根的规律探究综合（共3小题） 【易错】观察被开方数缩放对应结果变化，平方根十倍规律、立方根十倍规律。压轴考归纳推理。关键：分清平方根与立方根缩放差异，找一般式。 25．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 26．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 27．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 题型10 无理数整数部分的计算综合（共3小题） 【易错】估算无理数范围，求整数部分与小数部分，进而代数式求值。压轴考变形与估算。关键：准确夹逼取值，小数部分 = 原数−整数部分。 28．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 29．（25-26八年级上·上海·期中）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 30．（25-26八年级上·广东河源·期中）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 题型11 实数的综合运算（共3小题） 【易错】混合运算含绝对值、平方根、立方根、乘方，注意符号与运算顺序。压轴多设陷阱。关键：先化简再运算，绝对值去掉判正负。 31．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 32．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 33．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 题型12 用勾股定理解决几何问题（共3小题） 【易错】把几何线段放进直角三角形，作垂线构造直角，设未知数列勾股方程。压轴综合面积、最值。关键：找准直角边斜边，方程列对。 34．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 35．（2026·广东汕头·三模）如图，在中，，是边上一点，连接 ，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为___________⁠． 36．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）【问题初探】　 如图1，与相交于点，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ∵，， ∴___________________， ∴，，，， ∴. ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴________°， ∴， ∴. ∵，， ∴______________， ∴， ∴． 【方法应用】 （2）如图3，矩形中，、分别是、上的点，满足，，直接写出线段和数量关系为________； 【能力拓展】 （3）如图4，在中，，，在边上取点（），在边上取点，使，连接，，求的大小． 题型13 勾股定理与折叠问题结合（共3小题） 【易错】折叠得对应边相等，设未知量，把三边用 t 表示列勾股方程。压轴考折叠落点、临界。关键：标全相等线段，防多解漏解。 37．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，垂直直线于点P． (1)当时，求的长； (2)当时， ①求的长； ②将沿直线翻折后得到，连接，请直接写出的周长为___________． 38．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，． (1)P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点B落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时______； ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且，求BP的长； (2)如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点B′处，求的长． 39．（26-27八年级上·安徽池州·期中）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 题型14 勾股定理与旋转问题结合（共3小题） 【易错】旋转构造全等转移线段，形成新直角三角形，再用勾股求长度。压轴考旋转角。关键：找旋转全等、识别新增直角，实现边转化。 40．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知在中，，，，将沿所在直线翻折，点C的对应点为D，将绕点C旋转180度，点A、B的对应点分别为点E、F，连接、、，则的面积为_______． 41．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，其中点在边上，连接的延长线与相交于点，则______． 42．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： (1)【初步感知】 如图1，在中，，点为斜边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则______；若，则点D到点E的距离等于______． (2)【探究应用】 如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】 如图3，在中，，平面内存在一点D，使于点，若，请直接写出的长． 题型15 勾股定理与最值问题结合（含将军饮马）（共3小题） 【易错】对称点 + 两点间线段最短，或动点到定点的最短斜边。压轴考最值。关键：作对称点、化折为直，再构造直角三角形用勾股求长。 43．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 44．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 45．（25-26八年级上·陕西西安·期中）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 题型16 勾股定理与全等三角形结合（共3小题） 【易错】先证全等得等量线段、角，再放进直角三角形用勾股。压轴考多步推理。关键：全等转移线段到位，找隐藏直角列式。 46．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 47．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 48．（24-25八年级上·山东聊城·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 题型17 勾股定理与等腰三角形结合（共3小题） 【易错】利用等腰三线合一作高，把腰底转化到直角三角形，再用勾股。压轴求面积、腰长。关键：作对高、分清斜边直角边，防分类遗漏。 49．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． (1)边上的高为______；边上的高为______． (2)当时，求的值； (3)若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 50．（25-26九年级下·江西上饶·期中）如图，是等腰三角形，，点D在边上，，，点P为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与的腰垂直时，则_________． 51．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 题型18 勾股定理中的分类讨论问题（共3小题） 【易错】未指明斜边或直角顶点时，需分情形设未知数逐一列勾股。压轴考严谨性。关键：斜边确定与否决定分类，检验是否符合三边关系。 52．（26-27八年级上·山东青岛·期中）已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒， (1)当秒时，求的面积； (2)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (3)当在边上时，是否存在某一时刻，使点在的角平分线上？若存在求出值，若不存在，请说明理由； (4)若将周长分为两部分，求出的值． 53．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 54．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长及斜边上的高； (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 题型19 勾股定理中的新定义问题（共7小题） 【易错】按新定义理解运算或几何量，转化成勾股定理模型解题。压轴考信息迁移。关键：吃透新定义、转化为熟悉条件，再套勾股求解。 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 56．（2026·广西贵港·二模）新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 (1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 (2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 57．（25-26九年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________．（填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设，将绕着点A顺时针旋转度得到．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中，主支架为13米，辅助支架为5米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 58．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【定义】只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“非全等三角形”．如图1，与中，，，，，所以与是一对“非全等三角形”． (1)【判定】如图2，四边形中，平分，，，请你判断与是不是一对“非全等三角形”，并说明理由． 分析：在上截取，连接，可证，再证，进而得到证明．下面是小林的部分证明过程，请你补充完整． 解：（1）与是一对“非全等三角形”；理由如下： 在上截取，连接 平分 又， 证明过程缺失 (2)【性质】在一对“非全等三角形”中，其中一对相等的边所对的角互补． 如图1，与是一对“非全等三角形”，，，，，求证：； (3)【运用】如图3，在四边形中，，，，，请直接写出的长．    59．（2026·广东东莞·一模）定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形． (1)【初步思考】如图2，在中，，，D、E为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是________． (2)【实践应用】如图3，在矩形中，，．点E在边上，点F在边上，若与是关于的互补三角形，试求的长． 60．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 61．（25-26八年级上·福建厦门·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 期中真题百炼通关（57题19大压轴题型） 拔高·压轴破难 题型1 与三角形中线有关的压轴问题 题型2 与三角形高线有关的压轴问题 题型3 全等三角形中动点问题 题型4 全等三角形的模型问题 题型5 全等三角形的判定与性质综合 题型6 角平分线与垂直平分线的综合 题型7 等腰三角形的存在性问题 题型8 三角形中的多结论问题 题型9 平方根、立方根的规律探究综合 题型10 无理数整数部分的计算综合 题型11 实数的综合运算 题型12 用勾股定理解决几何问题 题型13 勾股定理与折叠问题结合 题型14 勾股定理与旋转问题结合 题型15 勾股定理与最值问题结合（含将军饮马） 题型16 勾股定理与全等三角形结合 题型17 勾股定理与等腰三角形结合 题型18 勾股定理中的分类讨论问题 题型19 勾股定理中的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴·压轴破难 题型1 与三角形中线有关的压轴问题（共3小题） 【易错】核心是倍长中线构造全等、转移线段，或利用中线等分面积。压轴多综合动点、最值。关键：找全等、转化边角，审清面积与长度关系。 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为7时，线段的长度最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积，说明和面积相等，连接，进而求出的面积，根据垂线段最短可得当时，值最小即可求解． 【详解】解：连接， 是中点， ，， 是中点， ，， 设，则， 四边形的面积为7， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，当时，值最小， ， ． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 题型2 与三角形高线有关的压轴问题（共3小题） 【易错】多考等面积法、分类讨论钝角外部高，或高线交点的特殊位置。压轴常结合面积比求线段。关键：底高对应、画对高，注意多解漏解。 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将三角形纸片折叠，使点与重合，折痕交边于点，交边于点，展开并复位．连接，交于点，已知，设的面积为． （1）设的面积为，若，则______； （2）设的面积为，的面积为，若，则______． 【答案】 / / 【分析】（1）作交的延长线于，由三角形面积公式计算即可求解； （2）由折叠性质可得①，过作于，交的延长线于，由三角形面积公式得②，得，，据此计算可得答案． 【详解】解：作交的延长线于， 由折叠可知≌， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由折叠可知≌， ， ， ①， 过作于，交的延长线于， ， ， ， ， ②， 得，， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，中， ，，，，为中点．将绕点旋转一周，设点、对应的点分别为、，的面积为，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】设点到直线的距离为，根据旋转的性质可得，，，则点到直线的距离为，结合为中点可得，，因此． 【详解】解：设点到直线的距离为， 由旋转的性质可得，，，， ∴点到直线的距离为， ∵为中点， ∴， ∴，即， ①当点在线段的延长线上时，如图， 此时， ∴为最小值； ②当点在线段的延长线上时，如图， 此时， ∴为最大值； 综上所述，的取值范围为． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 (1)观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个等式：________． (2)如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c． 用两种方法计算大正方形的面积， 方法1：________； 方法2：________； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的等式：________． (3)如图3，在中，（），点D，P分别在边上，且，，，垂足分别为E，F．若，求的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】（1）根据大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，列出等式即可； （2）利用正方形的面积公式，以及分割法两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （3）连接，根据，进行求解即可. 【详解】（1）解：大长方形面积等于其长乘以其宽，即大长方形面积为， 大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，即大长方形面积为， ∴； （2）解：方法1：大正方形的面积为； 方法2：大正方形的面积为； ∴， 即： （3）解：如图，连接， ， ， ，，， ， 即， ， ． 题型3 全等三角形中动点问题（共3小题） 【易错】动点分速分时移动，用含 t 的式子表示边长，列全等或面积关系式。压轴考全等判定分类、动态最值。关键：分类讨论、检验 t 范围防增根。 7．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． (1)当为何值时，、两点相遇； (2)在某时刻分别过点和点作于点，于点，求当为何值时，与全等． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒或12秒 【分析】（1）设运动时间为秒，根据根据两点相遇时的路程关系列方程求解； （2）分三种情况，结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：，，， 设运动时间为秒， 依题意得：， 得：， 故秒时、两点相遇； （2）解：①如图1，在上，点在上时，作，， ， ， 又， 若时，则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， ， ， 解得：； ③如图3，当点在时， 当时，点到达终点，此时点在上，且， 由①得：， 解得：， 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 8．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合） 【答案】或或 【分析】设点经过t秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出t的值即可． 【详解】解：设点经过秒时，与全等；此时， 分情况讨论： （1）当点在点的左侧时，，则， ∴， ∴； （2）当点E在点B的右侧时， ①，时， ， ∴； ②，时， ， ∴． 综上所述，点经过或或秒时，与全等． 9．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 题型4 全等三角形的模型问题（共3小题） 【易错】高频考一线三等角、手拉手、半角、截长补短模型。压轴综合旋转构造全等转移边角。关键：识别模型、会推导等角，实现线段转移。 10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴，故②正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， ∵， ∴． 故③正确． ∵，，， ∴，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：， 即， ∵， ∴ ∴， 解得：， ∴， 延长到E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）延长到点，使．连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再结合，判定，最后根据，推导得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，． ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 题型5 全等三角形的判定与性质综合（共3小题） 【易错】灵活选用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，证全等后推边角、算周长面积。压轴常隐藏公共边、公共角。关键：顶点对应书写规范，条件不跳步。 13．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，． ∴． ∵， ， ∴． (2) (3) ， 理由如下： 由（2）得：，， ∴ 由（1）得：，， ∴， ∴． 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用旋转的性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而得出； （2）利用勾股定理求解即可； （3）先判断出是，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：， ∴，         ， ∴， ∴． （3）略 14．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②证明：∴， ∴； (2) 解：如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 15．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 题型6 角平分线与垂直平分线的综合（共3小题） 【易错】角平分线作垂线、垂直平分线连两端等距，常结合三角形周长、等腰构造。压轴求最值周长。关键：性质判定分清，会利用等距转移线段。 16．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，求长度． 【答案】(1)证明：如图，连接、， D为的中点，， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ； (2)； 证明：由（1）可知，， ， ； (3)． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质和角平分线的性质，证明，即可得证； （2）根据（1）所得结论即可证明； （3）证明，进而推出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ． 17．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 18．（25-26八年级上·福建福州·期中）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； (2) 证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型7 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 【易错】给定两点求第三点构成等腰，需分类讨论顶角顶点，按腰相等列方程。压轴常与坐标、动点结合。关键：两两相等三情形全列出，检验重合。 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)为等腰三角形时，的值为5或或8 (2)t的值为或10 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （2）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 【详解】（1）解：当时，； 当时， 在中，，，， 则， 在中，，即， 解得：， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （2）解：当点在上时，如图2，   ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) 证明：， ， 而， ， ， ． (3)存在，10或12或 【分析】（1）由于，根据全等三角形的判定定理“”，当时可判断；易得； （2）根据全等三角形的性质得，由于，所以，则根据三角形内角和得，于是根据垂直的定义即可得到结论； （3）在中，，利用勾股定理计算出，作于N，则四边形为矩形，则，然后进行分类讨论：当时，是等腰三角形，易得；当时，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，则，即可得到；当时，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得则，所以，在中利用勾股定理得到，解得． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴当时， ∵ ∴根据题意 ∴； （2）略 （3）解：存在． 在中，， ， ． 过点作于点H，则． ①当时，是等腰三角形， ∴； ②当时，是等腰三角形， 则， ， ③当时，是等腰三角形， 则， ， 在中， ， ， 解得． 综上所述，当t为10s或12s或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理．解题的关键是①在判定三角形全等时，选择恰当的判定条件；②要有分类讨论的思想． 21．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，，是从点出发的动点，沿着在三角形边上运动，速度为每秒．设点的运动时间为秒． (1)当P点运动到中点时， 秒； (2)当点在上运动时， cm；（用含t的代数式表示） (3)若存在某一时刻，使得时间为秒时的面积与时间为秒时的面积相等，求出此时的值； (4)点P运动多少秒时，为等腰三角形（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) (4)当或或18或19.5时，为等腰三角形． 【分析】（1）由勾股定理求出的长，则可得出答案； （2）由题意可得出答案； （3）由三角形公式得出，则可得出答案； （4）分三种情况如图1和2，当时，可以求出或，如图3，当时，作，于点，由等腰三角形的性质就可以得出是的中点，进而得出是 的中点，就可以求出，如图4，当时，就可以求出． 【详解】（1）解：，，， ， 若为的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：由题意可知点在上， 设点到的距离为， ，， ， ， ； （4）解：如图1，当点在上时，， ， ； 如图2，当点在上，，作于点， ， ， ， ， ， ； 如图3，当时，作于， ，． ， ， ∴， ， ， ； 如图4，当时， ， ； 当或或18或19.5时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理求值是关键． 题型8 三角形中的多结论问题（共3小题） 【易错】给出图形判断多条结论真假，综合全等、等腰、角平分线、垂直平分线。压轴考几何推理力。关键：逐一推导验证，留意特殊位置反例。 22．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知和都是等边三角形，且三点共线，与交于点与交于点与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤平分．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用“手拉手”模型证明，从而得到对应边相等，对应角相等，再根据新得到的条件证得，从而判断各选项的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵三点共线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，②正确； 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 点Q在上，是等边三角形， ∴， ∴，③错误； ∵， ∴是等边三角形，④正确； 如图所示，连接，过点分别向作垂线，垂足分别为点， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 又∵， ∴平分， 平分，⑤错； 综上所述，①②④说法正确． 23．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， ∵等边，等边， ∴，，， ∴；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，可知，连接，，，    ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 24．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，求得，即；过作于点，根据全等三角形的判定和性质继续进行判断即可． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ， ，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，故③正确； ④过作于点， ∵为的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． 综上可得，正确的是①②③④． 题型9 平方根、立方根的规律探究综合（共3小题） 【易错】观察被开方数缩放对应结果变化，平方根十倍规律、立方根十倍规律。压轴考归纳推理。关键：分清平方根与立方根缩放差异，找一般式。 25．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 26．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 27．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 题型10 无理数整数部分的计算综合（共3小题） 【易错】估算无理数范围，求整数部分与小数部分，进而代数式求值。压轴考变形与估算。关键：准确夹逼取值，小数部分 = 原数−整数部分。 28．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·上海·期中）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 30．（25-26八年级上·广东河源·期中）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 题型11 实数的综合运算（共3小题） 【易错】混合运算含绝对值、平方根、立方根、乘方，注意符号与运算顺序。压轴多设陷阱。关键：先化简再运算，绝对值去掉判正负。 31．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 32．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴， ∵， ∴． 33．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 题型12 用勾股定理解决几何问题（共3小题） 【易错】把几何线段放进直角三角形，作垂线构造直角，设未知数列勾股方程。压轴综合面积、最值。关键：找准直角边斜边，方程列对。 34．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】根据已知条件先证明，得出的长度和，再由勾股定理得出的长度，设，则，利用勾股定理列出方程求解的值，得出的长度，最终利用勾股定理求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，． 35．（2026·广东汕头·三模）如图，在中，，是边上一点，连接 ，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为___________⁠． 【答案】15 【分析】过点作 ，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到 ，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作 ，， 则： ， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为15． 36．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）【问题初探】　 如图1，与相交于点，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ∵，， ∴___________________， ∴，，，， ∴. ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴________°， ∴， ∴. ∵，， ∴______________， ∴， ∴． 【方法应用】 （2）如图3，矩形中，、分别是、上的点，满足，，直接写出线段和数量关系为________； 【能力拓展】 （3）如图4，在中，，，在边上取点（），在边上取点，使，连接，，求的大小． 【答案】（1）四边形是平行四边形，，是等边三角形；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，平行线的性质，添加辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解决问题的关键． （1）过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，得四边形是平行四边形，可知，，，，再根据平行线的性质，结合，四边形的内角和为，求得，进而求得，即可求解； （2）过点作交于点，连接，证明四边形是平行四边形，可得，，证明，可得为等腰直角三角形，即可求解； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，则四边形是平行四边形，证明，可得是等边三角形，则，由，，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴. ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：四边形是平行四边形，，是等边三角形． （2）如图，过点作交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：． （3）如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，∵， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13 勾股定理与折叠问题结合（共3小题） 【易错】折叠得对应边相等，设未知量，把三边用 t 表示列勾股方程。压轴考折叠落点、临界。关键：标全相等线段，防多解漏解。 37．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，垂直直线于点P． (1)当时，求的长； (2)当时， ①求的长； ②将沿直线翻折后得到，连接，请直接写出的周长为___________． 【答案】(1)20 (2)①25或5；②或 【分析】（1）根据双勾股列方程即可求出，进而求得的长； （2）分情况讨论当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，分别求出的长和的周长． 【详解】（1）如图： ∵ ∴，， 设，则 ∴， 解得： ∴ （2）①当是锐角三角形时， 当时， ； ； ∴ 当是钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∴ 综上所述：或5 ②当是锐角三角形时，由①知，，，，如图，与交于过点作， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴ ∴的周长为： 当是钝角三角形时，如图， 同理可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴的周长为： 综上所述：的周长为或． 【点睛】本题考查等积法求高，双勾股定理的求直角三角形边长，解题的关键是在做题时注意分类讨论． 38．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，． (1)P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点B落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时______； ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且，求BP的长； (2)如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点B′处，求的长． 【答案】(1)①3；②BP＝ (2)BQ的长为2或8 【分析】（1）①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，作的垂直平分线交于点P，连接，再由翻折的性质和勾股定理求出DE即可； ②由翻折得：，设,则,再证，得，,则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证，再由勾股定理得，则； ②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'=3，设则，，然后在，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，作的垂直平分线交于点P，连接即为所求的三角形， ②由翻折得：， ∴∠E＝∠C， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 解得： ,即 （2）解：分两种情况： ①点Q在线段上时，如图3所示： 由翻折的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点Q在延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 综上所述，的长为2或8． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论以及尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 39．（26-27八年级上·安徽池州·期中）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 【答案】 或 【分析】（1）根据题意可得，再由四边形是正方形，可得，即可得； （2）由正方形的面积为144，可得，由E为的三等分点，可得或，再由折叠可知，设，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，， ∵， ∴， ∵H是边上的一个动点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． （2）∵正方形的面积为144， ∴正方形的边长为12，即， ∵E为的三等分点， ∴或， 由折叠可知， 设，则， 当时， 在中，， ∴， 解得； 当时， 在中，， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 题型14 勾股定理与旋转问题结合（共3小题） 【易错】旋转构造全等转移线段，形成新直角三角形，再用勾股求长度。压轴考旋转角。关键：找旋转全等、识别新增直角，实现边转化。 40．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知在中，，，，将沿所在直线翻折，点C的对应点为D，将绕点C旋转180度，点A、B的对应点分别为点E、F，连接、、，则的面积为_______． 【答案】18 【分析】如图，连接交于，延长交于，证明是的垂直平分线，，，结合旋转可得：，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于，延长交于， 由翻折可得：，，， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∴， ∴，， ∴． 41．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，其中点在边上，连接的延长线与相交于点，则______． 【答案】 【分析】利用旋转的性质可得，，，，，进而可得 ，得到，即得，又利用余角性质得，即得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，由旋转可得，，，，，， ∴ ，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， , ∴, ∴， ∴，即点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： (1)【初步感知】 如图1，在中，，点为斜边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则______；若，则点D到点E的距离等于______． (2)【探究应用】 如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】 如图3，在中，，平面内存在一点D，使于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)45； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先证明，得到，进而得到，勾股定理求出即可； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）分点在下方和点在上方，两种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：①当点在下方时，如图，延长至点，使， ∵，于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得； ②当点在上方时，如图，作交于点， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得； 综上：或. 题型15 勾股定理与最值问题结合（含将军饮马）（共3小题） 【易错】对称点 + 两点间线段最短，或动点到定点的最短斜边。压轴考最值。关键：作对称点、化折为直，再构造直角三角形用勾股求长。 43．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 44．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【答案】(1)①如下图， ②5； (2) (3) 【分析】（1）①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可； ②过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时， 连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可； （3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 点P即为所求作； ②解：过点作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． （2）解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接， 则取得最小值，此时， 连接， 根据轴对称性质，得，， 故， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 故的最小值为， 故答案为：． 45．（25-26八年级上·陕西西安·期中）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 【答案】(1) (2)最少的铺设水管的费用是225000元 【分析】(1)作点B关于 的对称点 ，连接 交于P，此时的值最小，连接先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论； (2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，连接． 因为等腰的直角边长为4，E是斜边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以． （2）如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所选择的位置，过点作交的延长线于点． 在中，千米，千米， 所以（千米）， 所以最短路线（千米）， 最少的铺设水管的费用为（元）． 答：最少的铺设水管的费用是 元． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键． 题型16 勾股定理与全等三角形结合（共3小题） 【易错】先证全等得等量线段、角，再放进直角三角形用勾股。压轴考多步推理。关键：全等转移线段到位，找隐藏直角列式。 46．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； (3)， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； (2) 证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 48．（24-25八年级上·山东聊城·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】(1)B (2)C (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据推出结论即可； （2）根据全等得出，由三边关系推出； （3）延长到，使，连接，根据等腰三角形性质求出； （4）延长到H，使得，连接，可证，得到，再在中，根据边长的关系即可证明． 【详解】（1）解：（1）在和中， ， ； （2）由（1）可得：， ， 中，， 由三边关系得：， ； （3）延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （4）证明：如图所示，延长到H，使得，连接， 同理， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型17 勾股定理与等腰三角形结合（共3小题） 【易错】利用等腰三线合一作高，把腰底转化到直角三角形，再用勾股。压轴求面积、腰长。关键：作对高、分清斜边直角边，防分类遗漏。 49．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． (1)边上的高为______；边上的高为______． (2)当时，求的值； (3)若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) (3)或5或6或 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由等面积法求出即可； （2）当时，由（1）得,再由勾股定理得，则，即可求解； （3）分情况讨论：①当时，②当，点在上时，③当时，④当，点在上时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴边上的高为；边上的高为． （2）如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． （3）解：分情况讨论： ①当时， 如图，过点作于点， 由（1）得：，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． ②当，点在上时， ． ③当时， 点与点重合，则， ∴． ④当，点在上时， 如图，过点作于点， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴． 综上所述，所有满足条件的的值为或5或6或． 50．（25-26九年级下·江西上饶·期中）如图，是等腰三角形，，点D在边上，，，点P为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与的腰垂直时，则_________． 【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 51．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 题型18 勾股定理中的分类讨论问题（共3小题） 【易错】未指明斜边或直角顶点时，需分情形设未知数逐一列勾股。压轴考严谨性。关键：斜边确定与否决定分类，检验是否符合三边关系。 52．（26-27八年级上·山东青岛·期中）已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒， (1)当秒时，求的面积； (2)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (3)当在边上时，是否存在某一时刻，使点在的角平分线上？若存在求出值，若不存在，请说明理由； (4)若将周长分为两部分，求出的值． 【答案】(1) (2)存在某一时刻，点在的垂直平分线上，此时t的值为秒． (3)存在某一时刻，使点在的角平分线上，此时t的值为秒． (4)2或． 【分析】（1）如图：连接，当秒时，、，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图，设是的垂直平分线，连接，利用垂直平分线的性质可得，且，，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）如图，设是角平分线，过Q作，利用角平分线的性质可得，则，且，易证全等三角形的判定与性质可得，即；然后在中，利用勾股定理列方程求解即可； （4）先求得的周长为，，再分当P在上，当Q在上和P在上，当Q在上两种情况，分别画出图形并结合题意列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 当秒时，， ∴ ∴的面积为． （2）解：如图，设是的垂直平分线，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，且， ∴， 在中，， ∴，解得：符合题意， ∴存在某一时刻，使点在的垂直平分线上，此时t的值为秒． （3）解：如图，设是角平分线，过Q作， ∵， ∴，则，且， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：符合题意， ∴存在某一时刻，使点在的角平分线上，此时t的值为秒． （4）解：∵，，， ∴的周长为， ∵它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止， ∴， 如图：当P在上，Q在上，即，此时， ∵将周长分为两部分， ∴或14， 当时，即，解得：，符合题意； 当时，即，解得：，不符合题意． 如图：当P在上，Q在上，即，此时， ∵将周长分为两部分， ∴或14， 当时，即，解得：，不符合题意； 当时，即，解得：，符合题意． 综上，将周长分为两部分，的值为2或． 53．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)证明：∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴； (2)①证明：∵在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，即可利用证明． （2）①根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用全等三角形的性质可得． ②根据题意可得，为等腰三角形，再分以下种情况分别讨论即可：当，，时． 【详解】（1）略 （2）①略； ②∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，为等腰三角形，分3种情况： （a）当时，如图，则， ∴平分， ∴点是的中点， ∴； （b）当时，如图，则， ∴， ∴， ∴；     （c）当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述：当的长度为或时，为等腰三角形． 54．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长及斜边上的高； (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）过点作交于点，根据面积法计算； （2）当点在的角平分线上，过点作，根据角平分线的性质和面积法计算； （3）分类讨论当在上时和当在上时，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：过点作交于点， 由题意知，， ∵， ∴ ； （2）解：如图，当点在的角平分线上，过点作， 则有， ∵， 又∵ ， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 解得； （3）解：①当在上时，， ∴， 解得； ②当在上，作的中垂线交于点，则有， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时， 解得； ③当在上，时，， 由（1）知， ∴， 此时， 解得； ④当在上，时， 此时， 解得； 综上所述，是等腰三角形时，或或或． 题型19 勾股定理中的新定义问题（共7小题） 【易错】按新定义理解运算或几何量，转化成勾股定理模型解题。压轴考信息迁移。关键：吃透新定义、转化为熟悉条件，再套勾股求解。 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 56．（2026·广西贵港·二模）新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 (1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 (2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② (3)或 【分析】（1）过点作，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到结论； （2）①根据题意证明，即可证明，即可得到结论； ②根据题意证明为等腰三角形，得到点为的中点，求出，根据勾股定理求出，再证明故点为中点，求出，即可得到答案； （3）分点是中点和点是中点两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点作，则四边形是矩形， ∴， 矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”， ，， 是等腰直角三角形， ， 矩形， ， ； （2）解：①略 ②，，四边形是“直角等距四边形”， ， 为等腰三角形，， 点为的中点， ， 在中，， 由①知， ， 是等腰三角形，， 故点为中点， ， ； （3）解：在中，，， ， 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 设， 由“等垂点”可得，， ∴，、 ∵， ， ，， ∵， ∴，解得， ∴； 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 解得， 由“等垂点”可得，，同理可得， ，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 57．（25-26九年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________．（填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设，将绕着点A顺时针旋转度得到．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中，主支架为13米，辅助支架为5米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）①②④ （2）证明：如图所示， ∵将绕着点A顺时针旋转度得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是“邻等对补四边形” ∴， ∴， ∴C，B，E三点共线， 在中，， ∴， 即：平分； （3）平方米 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）由题意可知，再由全等三角形的性质可得，，，再证明C，B，E三点共线，由等边对等角得出，即可得证； （3）过点A作交于F，先求出，由等腰三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，再由勾股定理计算可得，即可得解． 【详解】解：（1）如图① ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 如图② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 如图③ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形不是邻等对补四边形； 如图④ ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 综上所述，是邻等对补四边形的有①②④； （2）略 （3）过点A作交于F，如图： ∵主支架为13米，辅助支架为5米， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（平方米）， 由（2）得，， ∴， ∴四边形的面积（平方米）． 58．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【定义】只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“非全等三角形”．如图1，与中，，，，，所以与是一对“非全等三角形”． (1)【判定】如图2，四边形中，平分，，，请你判断与是不是一对“非全等三角形”，并说明理由． 分析：在上截取，连接，可证，再证，进而得到证明．下面是小林的部分证明过程，请你补充完整． 解：（1）与是一对“非全等三角形”；理由如下： 在上截取，连接 平分 又， 证明过程缺失 (2)【性质】在一对“非全等三角形”中，其中一对相等的边所对的角互补． 如图1，与是一对“非全等三角形”，，，，，求证：； (3)【运用】如图3，在四边形中，，，，，请直接写出的长．    【答案】(1) 解：， 在与中，，， ，， 与是一对“非全等三角形”； (2) 证明：如图，在上取点，使，连接，    在和中， ， （）， ，， ， ， 又， ； (3)的长为 【分析】（1）根据“非全等三角形”的定义，已证，再证，即可求证； （2）在上取点，使，连接，利用“”易证，从而，，进而可得，再根据，代换即可求证； （3）延长至，使，作于，连接，易证与是一对“非全等三角形”，再利用“”证，从而证是等腰直角三角形，根据勾股定理，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）的长为， 延长至，使，作于，连接，则， ，，， 与是一对“非全等三角形”， 由（2）得，， ， ， 在和中， ， （）， ， ，， 则是等腰直角三角形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ． 【点睛】本题考查新定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，正确理解“非全等三角形”的定义是解题的关键． 59．（2026·广东东莞·一模）定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形． (1)【初步思考】如图2，在中，，，D、E为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是________． (2)【实践应用】如图3，在矩形中，，．点E在边上，点F在边上，若与是关于的互补三角形，试求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题目所给的定义即可判断， 因为为互补三角形，所以都为等腰三角形，通过勾股定理算出的长度，则也可知，再设为则为，之后再用勾股定理即可算出的长． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，且为等腰三角形， ， ，且有公共底边， 与为互补三角形． （2）和为互补三角形， 和都为等腰三角形， ． 在中， ， ， 设长为，则 在中， ， 即， 解得． 60．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 【答案】(1) ①等边三角形是奇异三角形，理由如下： 设等边三角形边长为， 则两边的平方和为， 两边的平方和等于第三边平方的倍， 等边三角形是奇异三角形； (2)证明：， ，， ， ， ，， ， 是奇异三角形； 【分析】（1）设等边三角形边长为，则易推出两边的平方和等于第三边平方的倍，因而可得结论；设第三边是（），则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求出的值，然后根据勾股定理的逆定理判断其三边是否构成直角三角形，以及是否满足三角形三边之间的关系，如是，进而可求出的周长； （2）根据勾股定理可得，，由可得，由，可得，于是结论得证；根据勾股定理可得，由得，于是可得，因而可得，设（），则，，，在中根据勾股定理可得，即，于是可求得，进而可求得和，然后利用三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：略 设第三边是（）， 分三种情况： ）当时， 解得：， 但此时， 不是直角三角形，不符合题意； ）当时， 解得：， 此时， 是直角三角形，符合题意， ，符合三边关系， 的周长为：； ）当时， 此时无解， 此种情况不存在； 综上，的周长为：； （2）略 解：当时，根据勾股定理可得： ， 由得：， ， 整理，得：， ， 设（），则，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的算术平方根，勾股定理的逆定理，三角形三边之间的关系，勾股定理，等式的性质，代数式求值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 61．（25-26八年级上·福建厦门·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 与是偏等积三角形，理由如下： 如图3， ， ， ， ， ，， 与不全等， 如图3：作于点F，交DC的延长线于点G，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【分析】（1）如图：连接，由与在边上的高相等，可知当点P为中点时，与面积相等，再说明此时与不全等，即与是偏等积三角形，则； （2）先由与是偏等积三角形，且与在边上的高相等，得，再证明得，，由三角形的三边关系得，则，而AD是正整数，则，进而求得的长； （3）先证明，再由，，说明与不全等，如图3：作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1，连接， 与在边上的高相等， 当，与面积相等， ， ， ， ，，， 与不全等， 此时与是偏等积三角形， 故答案为： （2）解：如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， 线段AD的长度为正整数， ， （3）略 $