专题01 期中真题百炼通关126题40大易错题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 期中真题百炼通关（120题40大易错题型） 易错·固本强基 题型1 三角形的相关概念 题型2 三角形的三边关系 题型3 大边对大角定理 题型4 根据三角形中线求解 题型5 重心的概念 题型6 画三角形的高 题型7 与三角形的高有关的计算问题 题型8 利用网格求三角形面积 题型9 图形全等 题型10 全等三角形的概念与性质 题型11 全等三角形的判定 题型12 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型13 结合尺规作图的全等问题 题型14 全等三角形的模型问题 题型15 线段垂直平分线的判定与性质 题型16 角平分线的判定与性质 题型17 等腰三角形的判定 题型18 等腰三角形的性质 题型19 等边三角形的判定与性质 题型20 含30度角的直角三角形 题型21 斜边的中线定理 题型22 求算术平方、平方根、立方根 题型23 利用算术平方根的非负性解题 题型24 估计算术平方根的取值范围 题型25 与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型26 平方根、立方根的实际应用 题型27 无理数整数部分的有关计算 题型28 实数与数轴 题型29 实数的大小比较 题型30 近似值 题型31 勾股定理的证明方法与计算 题型32 勾股数问题 题型33 用勾股定理构造图形解决问题 题型34 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型35 用勾股定理解三角形 题型36 勾股定理的逆定理 题型37 勾股定理与网格问题 题型38 勾股定理与折叠问题 题型39 勾股定理的实际应用 题型40 最短路径问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 三角形的相关概念（共3小题） 【易错】区分三角形边、角、顶点定义，注意三角形是封闭图形。易错：误认为三条线段首尾相接就构成三角形，忽略 “不在同一直线” 条件。 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 题型2 三角形的三边关系（共3小题） 【易错】牢记两边之和大于第三边，只需验证两短边之和大于最长边。易错：直接随意两两比较；求边长范围忘记同时写上下限。 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为正奇数确定符合条件的的个数，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系可得，， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数只有，共个，即这样的三角形有个． 6．（25-26八年级上·江苏·期中）已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1)4 (2)①；②13 【分析】本题考查了整式的加减运算，三角形的三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设，则，，，再代入进行计算，即可作答． （2）①结合三角形的三边关系，得，故，因为a是最短边长．则； ②因为x为整数，且求三角形周长的最大值，所以的最大值为6，根据周长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∵ ∴， 解得：， ； （2）解：①由（1）可知：，， ∵a，b，x为三角形的三边长， ， 即； ∵a是最短边长． ∴ ②∵要求出周长的最大值，且周长等于， ∴求出的最大值 由①得， x为整数， 的最大值为6， 三角形周长的最大值为： 题型3 大边对大角定理（共3小题） 【易错】同一三角形内，长边对大角、短边对小角。易错：跨三角形乱用该结论；判断角大小忽略前提是同一个三角形。 7．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 题型4 根据三角形中线求解（共3小题） 【易错】中线平分对边，等分线段。易错：混淆中线、角平分线；误以为中线平分三角形内角，面积等分结论易遗忘。 10．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 11．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 12．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，已知的面积为15，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】5 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：5 题型5 重心的概念（共3小题） 【易错】重心是三条中线交点，分中线比 2:1（顶点到重心：重心到中点）。易错：把重心当成高线或角平分线交点，比例记反。 13．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 14．（25-26八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念，熟记三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解本题的关键． 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点处， 故选A 15．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型6 画三角形的高（共3小题） 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在方格纸内将水平向上平移个单位再向右平移个单位得到． (1)画出； (2)画出边上的中线和边上的高线； (3)的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的规律描出点、、，连接成三角形即可； （2）按照三角形中线和高线的定义作图即可； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：中线和高线如图所示： （3）解：． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】(1) 直线即为所求： (2) 线段即为所求： (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 18．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1) 如图，高和中线即为所求； (2)12 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：略． （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 题型7 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 【易错】等面积法求高，面积 = 底 × 高 ÷2，底和高必须对应。易错：底与高不匹配；钝角三角形选用外部高计算时出错。 19．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 20．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积问题，根据三角形中线的性质得到，再根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 21．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ， ∴． 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）略 题型8 利用网格求三角形面积（共3小题） 【易错】多用割补法，包围矩形减周围直角三角形。易错：直接数格子估算；分割图形时漏算或重复扣除多余面积。 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)5 (3)如图，点P即为所求． 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 23．（25-26七年级下·江苏徐州·周测）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)的面积为 ； (2)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全； (3)在图中画出的高． 【答案】(1)8 (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式即可得出结论； （2）根据图形平移的性质画出图形即可； （3）过点C向的延长线作垂线即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：如图所示； ； （3）解：的高如图所示． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点． (1)过作的平行线，为格点； (2)画出的边上的高，垂足为； (3)求出的面积为 ． 【答案】(1) 如图，平行线即为所求； (2)如图，高即为所求； (3)8 【分析】本题主要考查了求三角形面积，画平行线，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的定义以及网格图的特征作图即可； （2）根据三角形高的定义以及网格图的特征作图即可； （3）用所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：． 故答案为：8 题型9 图形全等（共3小题） 【易错】全等图形形状大小完全相同，可完全重合。易错：只看形状忽略大小；旋转翻转后误认为图形不再全等。 25．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 26．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 27．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 题型10 全等三角形的概念与性质（共3小题） 【易错】全等对应边、对应角相等。易错：书写时顶点不对应；找错对应边角，误用非对应线段、角进行计算。 28．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 29．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）：当P、Q两点相遇时，求t的值_____；当与全等时，所有满足条件的的长为_____． 【答案】 5或或6 【分析】本题考查的是全等三角形的性质及一元一次方程的应用，先求出当P、Q两点相遇在上，此时，列方程求出；当与全等时，，分三种情况分别先求出进而求出． 【详解】解：∵，，点P从点A出发，速度为每秒1个单位长度，点Q从点B出发，速度为每秒3个单位长度， ∴点Q到达点C需要秒，点P到达点C需要6秒， ∴P、Q两点相遇在上，此时， ， 解得：； ∵，， ， 当与全等时，， 当点P在上，点Q在上时， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 此时； 当点P在上，点Q在上时， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 此时； 当点Q到达A点后，点P在上时，， ∴， 此时； 综上所述，所有满足条件的的长为5或或6． 题型11 全等三角形的判定（共3小题） 【易错】SSS、SAS、ASA、AAS，直角加 HL；SSA、AAA 不能判定。易错：使用 SSA 证明全等；分不清 HL 仅适用于直角三角形。 31．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 32．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）利用“边角边”证明，可得，即可求证； （2）求出，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 33．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）连接，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型12 灵活选用判定方法证明三角形全等（共3小题） 【易错】先找已知边、角，缺条件再推导。易错：盲目套用判定定理；证明步骤跳步，缺少必要推导条件。 34．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②； 证明：， ，即 在与中 . 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】略 35．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    【答案】①；②；（答案不唯一） 【分析】观察图形，对于和来说，是公共边，即，选①和②，可以通过来证明，即可作答． 【详解】解：已知：如图，、相交于点O．且，，求证． ∵，，， ∴．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、是解题的关键． 36．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2) 选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 【详解】（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）略 题型13 结合尺规作图的全等问题（共3小题） 【易错】尺规作图保留痕迹，作图原理常为 SSS。易错：忽略作图隐含相等线段；证明全等时不提取作图得到的等量条件。 37．（26-27八年级上·江苏南京·期中）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图可得，，再结合即可推出． 【详解】解：由作图可得，， ∵， ∴， ∴判定的依据是． 38．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 39．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1) 如图所示， (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）略 （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 题型14 全等三角形的模型问题（共3小题） 【易错】一线三等角、手拉手模型，抓等角推等角。易错：模型生搬硬套；不会从公共角、等角加减推导所需相等角。 40．（26-27八年级上·河南安阳·期中）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ． (2)解：． 理由：如图，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． 【分析】（1）①根据角的和差计算即可； ②证明即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而证明，得到，根据可知． 【详解】（1）①解：∵，， ； ②略 （2）略 41．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 又， ， ． (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 42．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型15 线段垂直平分线的判定与性质（共3小题） 【易错】线上点到线段两端距离相等；到两端等距点在线上。易错：混淆性质与判定；漏写 “两点确定垂直平分线”。 43．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 44．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得，由角平分线的性质得，证明即可； （2）证明，得，由（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴，， 上两式相加得， ∴． 45．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点， ∴，，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）连接，根据垂直平分线的性质，得到，角平分线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型16 角平分线的判定与性质（共3小题） 【易错】角平分线上点到两边垂线段相等；到两边距离相等的点在平分线上。易错：距离理解成斜线段；性质判定混用。 46．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，平分，点分别在上，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)证明：过点D作于点G，过点D作于点H， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：如图，设交于O， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点D作于点G，过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，通过证明，即可得出结论； （2）设交于O，证明，得到，可知，证明，得到，可知． 【详解】（1）略； （2）略． 47．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，，于E， ∴，， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）设，则，证明，则，得到,据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 解得，即的长为． 48．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）【情景回顾】 已知：如图1，点P在的平分线上，于点C，于点D．根据“角平分线上任意一点到角两边的距离相等”的性质，易知，且，从而得到 【问题提出】 小颖所在的数学学习小组继续探究：点C、D分别在射线上（C、D不重合），且点P仍在的平分线上，试探究的大小关系对线段以及的大小有怎样的影响． 【探究任务】 (1)如图2，若时，则__________， ___________．（填“=”“”或“”） (2)如图3，若时，求证：． (3)如图4：若，且与∠均为锐角时，．请你比较与的大小，并说出理由． 【答案】(1)=，= (2)证明：作于点E，于点F，则 ∵点P在的平分线上， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； (3)，理由如下： 在上取点M，使，连接， ∵点P在的平分线上， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵     ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）证明即可； （2）作于点E，于点F，证明即可； （3）在上取点M，使，连接，证明，则，再由三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：∵点P在的平分线上， ∴ ∵， ∴ ∴，； （2）略 （3）略 题型17 等腰三角形的判定（共3小题） 【易错】等角对等边，由角相等推边相等。易错：不在同一三角形使用；证明时条件不足，直接判定两边相等。 49．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图：在中，，分别以为边在外作等边和，连接．与交于点F，连接并延长交于点G ． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴同理，， ∴， ∴平分； (3)证明：过点A作于点H， 由（2）可知， 由（2）同理可得，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴点A在垂直平分线上， ∴． ∵，平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理分别求出即可； （3）过点A作于点H，先证明点A在垂直平分线上，然后根据角平分线的性质定理可得，再由直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 50．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 51．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型18 等腰三角形的性质（共3小题） 【易错】等边对等角，三线合一。易错：三线合一只适用于顶角平分线；未分类讨论腰、底，漏多解情况。 52．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)的长为10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）由等腰直角三角形的性质得出，再证明，，进而根据即可证明． （2）先证明是等腰直角三角形，再利用等腰三角形三线合一，得到，最后结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，于点D， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为10． 53．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，为上一点，为中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，平分，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)24 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． （1）根据中点的定义得，根据平行线的性质得，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）得，由角平分线的定义得，则，，根据等腰三角形三线合一的性质得，则，由全等得，则四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴四边形的面积． 54．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； （）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴平分， ∴， ∴． 题型19 等边三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】三边等、三角均 60°；判定：三边等 / 两角 60°/ 等腰加 60°。易错：混淆等边与等腰；直接默认内角为 60° 缺少条件。 55．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与交于点与交于点与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，则， ∴， ∴； (2)证明：过C作于M，于N，在上截取，连接，如图， ∵， ∴，，即， ∵，， ∴，， ∴平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）过C作于M，于N，在上截取，连接，如图，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式得到，，然后根据角平分线的判定定理得到平分，则，证明是等边三角形得到，则，最后证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 56．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上．与相交于M点，与相交于N点． (1)判断和是否相等，并说明理由． (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1)相等， 理由：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； (2)证明：由（1）可知，， ， 和都是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据对应边相等即可得证； （2）根据全等三角形和等边三角形的性质，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 57．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 题型20 含30度角的直角三角形（共3小题） 【易错】30° 角对直角边等于斜边一半。易错：记错倍数关系；忽略前提是直角三角形，普通三角形不能套用。 58．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质以及线段间的关系求出的长，然后根据正方形性质以及角度关系得到，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质计算求出中边上的高，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点F作于Q， 则，即是直角三角形． ∵是等边三角形，， ∴，． ∵，， ∴是等边三角形，且边长为1， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 59．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 60．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，点C是线段上一点，，分别以为边向上作等边、等边，点F是边上的动点（可与端点重合），连接，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称性质，勾股定理等知识，由等边三角形的性质可得，，，，作点E关于的对称点，则，从而可判断，得，可得点在上，根据两点之间线段最短得的最小值为，求出即可． 【详解】解：∵、均是等边三角形， ∴，，， ∴， 作点E关于的对称点，连接，如图， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上， 而，当三点在同一条直线上时值最小，即的长， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 题型21 斜边的中线定理（共3小题） 【易错】直角三角形斜边中线等于斜边一半。易错：普通三角形乱用；分不清斜边，把直角边中线套用该定理。 61．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的中点， ∴分别是斜边上的中线， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， 又∵为中点， ∴； (3)， 理由：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴ ： 的长为． 【分析】（1）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明； （2）利用等腰三角形“三线合一”证明； （3）利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等，然后利用“等边对等角”得到，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到，，进而完成证明；第二个问题利用前面的结论可以得到的长，再利用可证得是等边三角形，于是得到答案． 【详解】（1）略． （2）略． （3）， 理由：略； ∵， ∴由（1）知， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 62．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． (2)3 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 63．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：连接、，如下图所示： ∵，点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点为中点， ∴． (2)的面积为 【分析】本题主要考查直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； （2）由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型22 求算术平方、平方根、立方根（共3小题） 【易错】算术平方根非负；平方根有正负；立方根符号与被开方数一致。易错：混淆三者定义；求平方根漏写负根。 64．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 65．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 66．（26-27八年级上·江苏·单元测试）求下列各式中x的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， . 题型23 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 67．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，且， ∴，， 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或． 68．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知：，则_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 69．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则的值为_____． 【答案】6 【分析】本题考查偶次方和算术平方根的非负性，代入求值；利用平方和算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 题型24 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 70．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 71．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 72．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）若整数满足，则的值是_________． 【答案】 3 【分析】估算的取值范围，确定其介于哪两个连续整数之间，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ 整数满足 ， ∴． 题型25 与算术平方根、立方根有关的规律探索题（共3小题） 【易错】观察被开方数变化，归纳结果变化规律。易错：只看表面数字；不能区分平方根、立方根不同变化规律。 73．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 74．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 75．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 题型26 平方根、立方根的实际应用（共3小题） 76．（25-26七年级下·河北保定·期末）图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设小正方形的边长的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：设小正方形的边长的长度为m， 裁剪得到的直角三角形直角边长为2和1，拼成的大正方形面积为， ，即, 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小正方形的边长的长度为． 77．（25-26七年级下·广东东莞·期中）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）略 78．（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【分析】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 题型27 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 79．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义列方程可求a，b，根据可求c的值； （2）根据平方根的定义代入计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ； 的平方根是， ， ， ； ，c是的整数部分， ． （2）解：的平方根为． 80．（26-27七年级上·浙江杭州·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 81．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)②③④ (3) 【分析】（1）估算的范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出点表示的数的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算的范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分是． （2）解：设点表示的数为，由图可知，， 则，， 是无理数， 为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， ， 故②正确； ，， ， ，即， 故③正确； ，， ， 故④正确． 综上，正确的说法有②③④． （3）解：，即， 则， ， 则，， ． 题型28 实数与数轴（共3小题） 82．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 83．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 84．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 题型29 实数的大小比较（共3小题） 【易错】正数大于负数，可平方 / 立方比较。易错：负数比较大小出错；平方比较只适用于正数，负数不能直接平方。 85．（26-27八年级上·江苏南京·期中）比较大小：______________________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】两组均为无理数比较大小，第一组是两个负无理数，利用负数比较大小的规则判断，第二组是两个正无理数，通过同时乘方转化为整数比较大小． 【详解】解：比较和： ∵，， ∴， ∴； 比较和： 对两数同时取次方：， ∵ ∴． 86．（25-26七年级下·云南昭通·期中）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. 87．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型30 近似值（共3小题） 【易错】看清精确到哪一位，四舍五入。易错：近似时对大数先近似再计算；分不清精确位与有效数字。 88．（26-27七年级·浙江·暑假作业）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 89．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 90．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】 （1） （2）因为，，且， 所以， 所以①得出近似值的精确度更高． 【分析】对于（1），根据，其中忽略不计，可得答案； 对于（2），先确定，可得答案． 【详解】解：（1）因为， 所以， 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）略 题型31 勾股定理的证明方法与计算（共3小题） 91．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． (2) 证明：∵， ∴， 根据图形可知， 即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证； （2）根据，将代入，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 92．（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 93．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是____________ 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 题型32 勾股数问题（共3小题） 94．（2026八年级上·江苏·专题练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2027 【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027． 95．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 96．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 题型33 用勾股定理构造图形解决问题（共3小题） 【易错】作垂线构造直角三角形。易错：不会构造直角；构造后搞错直角边、斜边，列式计算出错。 97．（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 98．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 99．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 题型34 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 【易错】两直角边上图形面积之和等于斜边图形面积。易错：图形不是正方形时误用；找不对对应边。 100．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 101．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 102．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 题型35 用勾股定理解三角形（共3小题） 【易错】已知两边求第三边，分清斜边是否确定。易错：斜边不确定不分类讨论；计算平方开方出现计算错误。 103．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的长为_____． 【答案】6 【分析】连接，求出，则可求出；由等边三角形的性质得到，，则可证明点F在过点的定直线上运动，故当时，有最小值，此时，求出，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形，是的中点， ∴，， ∴， ∴点F在过点的定直线上运动， ∴当时，有最小值， 此时， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 104．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 105．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 题型36 勾股定理的逆定理（共3小题） 【易错】较短两边平方和等于最长边平方，则为直角三角形。易错：不找最长边直接代入；当作普通勾股定理使用。 106．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作于E，利用勾股定理逆定理可得，再利用角平分线性质求出，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， 在中，， ， ， 平分，， ， ． 107．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 108．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 题型37 勾股定理与网格问题（共3小题） 109．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 【答案】(1)如图，或或即为所求（画一个即可） (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）由图可得，四边形是正方形，则点P到所在直线的距离相等，然后根据勾股定理求解，故点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 110．（26-27八年级上·四川成都·期中）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 111．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 【答案】(1)解：的三边长分别为，，， 且， ， ， 故． (2)①解： ， 故即； ②解：，理由是： ． ， ． ． ， ，． ． 即． ． (3)50 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）①利用平方幂的非负性，建立不等式求解即可； ②利用非负性求解即可； （3）表示出面积，利用前面的不等式结论，结合，求得面积的最大值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，． 如图， 在两邻边长分别为的矩形中，构造，其中，，． ． ， ． ．即面积的最大值为50． 题型38 勾股定理与折叠问题（共3小题） 【易错】折叠前后对应边相等，设未知数，列勾股方程。易错：找错折叠相等线段；设未知数后方程列错。 112．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是中点得，设，根据折叠性质得，则．在中，由勾股定理，列方程进行求解即可； （2）当与重合时，最大，最小：设，在中由勾股定理解得，得；当与重合时，最大，此时，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：是的中点， ， 设，则， 根据折叠可得，， 在中，， ∴， 解得， ； （2）解：根据折叠可得，， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1， 此时， 设，则， 在中， ∴ 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大，如图2， 此时， 综上所述，的取值范围为． 113．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据折叠性质得到，从而得到对应边相等，再利用求三角形面积求出，根据三角形内角和定理得到是直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 根据三角形内角和定理得， ∴． （2）解：连接交于， ∵，为的中点， ∴， ∵（折叠的性质）， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得， ∴． 114．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型39 勾股定理的实际应用（共9小题） 【易错】把实际场景抽象为直角三角形。易错：建模错误；单位不统一；忽略题目隐含直角条件。 115．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)小明需后退． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作，垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为； （2）解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 116．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向楼房移动的距离至少为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， 依题意， ∴（米）， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向楼房移动的距离至少为米． 117．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 118．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 119．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 120．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 121．（24-25八年级下·重庆·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 122．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 123．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型40 最短路径问题（共3小题） 【易错】轴对称转化线段，两点之间线段最短。易错：不会做对称点；混淆直线同侧、异侧的最短路径画法。 124．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在边上，且．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要________． 【答案】5 【分析】将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在边上，且， ∴，， ∴． 125．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 126．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． $ 专题01 期中真题百炼通关（120题40大易错题型） 易错·固本强基 题型1 三角形的相关概念 题型2 三角形的三边关系 题型3 大边对大角定理 题型4 根据三角形中线求解 题型5 重心的概念 题型6 画三角形的高 题型7 与三角形的高有关的计算问题 题型8 利用网格求三角形面积 题型9 图形全等 题型10 全等三角形的概念与性质 题型11 全等三角形的判定 题型12 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型13 结合尺规作图的全等问题 题型14 全等三角形的模型问题 题型15 线段垂直平分线的判定与性质 题型16 角平分线的判定与性质 题型17 等腰三角形的判定 题型18 等腰三角形的性质 题型19 等边三角形的判定与性质 题型20 含30度角的直角三角形 题型21 斜边的中线定理 题型22 求算术平方、平方根、立方根 题型23 利用算术平方根的非负性解题 题型24 估计算术平方根的取值范围 题型25 与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型26 平方根、立方根的实际应用 题型27 无理数整数部分的有关计算 题型28 实数与数轴 题型29 实数的大小比较 题型30 近似值 题型31 勾股定理的证明方法与计算 题型32 勾股数问题 题型33 用勾股定理构造图形解决问题 题型34 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型35 用勾股定理解三角形 题型36 勾股定理的逆定理 题型37 勾股定理与网格问题 题型38 勾股定理与折叠问题 题型39 勾股定理的实际应用 题型40 最短路径问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 三角形的相关概念（共3小题） 【易错】区分三角形边、角、顶点定义，注意三角形是封闭图形。易错：误认为三条线段首尾相接就构成三角形，忽略 “不在同一直线” 条件。 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型2 三角形的三边关系（共3小题） 【易错】牢记两边之和大于第三边，只需验证两短边之和大于最长边。易错：直接随意两两比较；求边长范围忘记同时写上下限。 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·江苏·期中）已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 题型3 大边对大角定理（共3小题） 【易错】同一三角形内，长边对大角、短边对小角。易错：跨三角形乱用该结论；判断角大小忽略前提是同一个三角形。 7．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型4 根据三角形中线求解（共3小题） 【易错】中线平分对边，等分线段。易错：混淆中线、角平分线；误以为中线平分三角形内角，面积等分结论易遗忘。 10．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 11．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 12．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，已知的面积为15，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为_______． 题型5 重心的概念（共3小题） 【易错】重心是三条中线交点，分中线比 2:1（顶点到重心：重心到中点）。易错：把重心当成高线或角平分线交点，比例记反。 13．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 14．（25-26八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 15．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 题型6 画三角形的高（共3小题） 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在方格纸内将水平向上平移个单位再向右平移个单位得到． (1)画出； (2)画出边上的中线和边上的高线； (3)的面积为 ． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 18．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 题型7 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 【易错】等面积法求高，面积 = 底 × 高 ÷2，底和高必须对应。易错：底与高不匹配；钝角三角形选用外部高计算时出错。 19．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 20．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 21．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 题型8 利用网格求三角形面积（共3小题） 【易错】多用割补法，包围矩形减周围直角三角形。易错：直接数格子估算；分割图形时漏算或重复扣除多余面积。 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 23．（25-26七年级下·江苏徐州·周测）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)的面积为 ； (2)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全； (3)在图中画出的高． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点． (1)过作的平行线，为格点； (2)画出的边上的高，垂足为； (3)求出的面积为 ． 题型9 图形全等（共3小题） 【易错】全等图形形状大小完全相同，可完全重合。易错：只看形状忽略大小；旋转翻转后误认为图形不再全等。 25．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 27．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 题型10 全等三角形的概念与性质（共3小题） 【易错】全等对应边、对应角相等。易错：书写时顶点不对应；找错对应边角，误用非对应线段、角进行计算。 28．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    29．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）两个三角形全等的三角形中，一个三边为2、5、，另一个三边为、2、6，则______． 30．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）：当P、Q两点相遇时，求t的值_____；当与全等时，所有满足条件的的长为_____． 题型11 全等三角形的判定（共3小题） 【易错】SSS、SAS、ASA、AAS，直角加 HL；SSA、AAA 不能判定。易错：使用 SSA 证明全等；分不清 HL 仅适用于直角三角形。 31．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 32．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 33．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 题型12 灵活选用判定方法证明三角形全等（共3小题） 【易错】先找已知边、角，缺条件再推导。易错：盲目套用判定定理；证明步骤跳步，缺少必要推导条件。 34．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 35．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ．    36．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 题型13 结合尺规作图的全等问题（共3小题） 【易错】尺规作图保留痕迹，作图原理常为 SSS。易错：忽略作图隐含相等线段；证明全等时不提取作图得到的等量条件。 37．（26-27八年级上·江苏南京·期中）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 39．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 题型14 全等三角形的模型问题（共3小题） 【易错】一线三等角、手拉手模型，抓等角推等角。易错：模型生搬硬套；不会从公共角、等角加减推导所需相等角。 40．（26-27八年级上·河南安阳·期中）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 41．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 42．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 题型15 线段垂直平分线的判定与性质（共3小题） 【易错】线上点到线段两端距离相等；到两端等距点在线上。易错：混淆性质与判定；漏写 “两点确定垂直平分线”。 43．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 44．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 45．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型16 角平分线的判定与性质（共3小题） 【易错】角平分线上点到两边垂线段相等；到两边距离相等的点在平分线上。易错：距离理解成斜线段；性质判定混用。 46．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，平分，点分别在上，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 47．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 48．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）【情景回顾】 已知：如图1，点P在的平分线上，于点C，于点D．根据“角平分线上任意一点到角两边的距离相等”的性质，易知，且，从而得到 【问题提出】 小颖所在的数学学习小组继续探究：点C、D分别在射线上（C、D不重合），且点P仍在的平分线上，试探究的大小关系对线段以及的大小有怎样的影响． 【探究任务】 (1)如图2，若时，则__________， ___________．（填“=”“”或“”） (2)如图3，若时，求证：． (3)如图4：若，且与∠均为锐角时，．请你比较与的大小，并说出理由． 题型17 等腰三角形的判定（共3小题） 【易错】等角对等边，由角相等推边相等。易错：不在同一三角形使用；证明时条件不足，直接判定两边相等。 49．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图：在中，，分别以为边在外作等边和，连接．与交于点F，连接并延长交于点G ． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：． 50．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 51．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 题型18 等腰三角形的性质（共3小题） 【易错】等边对等角，三线合一。易错：三线合一只适用于顶角平分线；未分类讨论腰、底，漏多解情况。 52．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，垂足是点D．E是上一点，连接，过点B作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 53．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，为上一点，为中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，平分，求四边形的面积． 54．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 题型19 等边三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】三边等、三角均 60°；判定：三边等 / 两角 60°/ 等腰加 60°。易错：混淆等边与等腰；直接默认内角为 60° 缺少条件。 55．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与交于点与交于点与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 56．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上．与相交于M点，与相交于N点． (1)判断和是否相等，并说明理由． (2)求证：为等边三角形． 57．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 题型20 含30度角的直角三角形（共3小题） 【易错】30° 角对直角边等于斜边一半。易错：记错倍数关系；忽略前提是直角三角形，普通三角形不能套用。 58．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 59．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 60．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，点C是线段上一点，，分别以为边向上作等边、等边，点F是边上的动点（可与端点重合），连接，则的最小值为_______． 题型21 斜边的中线定理（共3小题） 【易错】直角三角形斜边中线等于斜边一半。易错：普通三角形乱用；分不清斜边，把直角边中线套用该定理。 61．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，，是的中点． (1)求证：； (2)若为中点，求证：； (3)探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 62．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 63．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型22 求算术平方、平方根、立方根（共3小题） 【易错】算术平方根非负；平方根有正负；立方根符号与被开方数一致。易错：混淆三者定义；求平方根漏写负根。 64．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 65．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 66．（26-27八年级上·江苏·单元测试）求下列各式中x的值： (1) (2) (3) (4) 题型23 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 67．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 68．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知：，则_________． 69．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则的值为_____． 题型24 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 70．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 71．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 72．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）若整数满足，则的值是_________． 题型25 与算术平方根、立方根有关的规律探索题（共3小题） 【易错】观察被开方数变化，归纳结果变化规律。易错：只看表面数字；不能区分平方根、立方根不同变化规律。 73．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 74．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 75．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：________；________；________． 题型26 平方根、立方根的实际应用（共3小题） 76．（25-26七年级下·河北保定·期末）图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 77．（25-26七年级下·广东东莞·期中）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 78．（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 题型27 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 79．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 80．（26-27七年级上·浙江杭州·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 81．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 题型28 实数与数轴（共3小题） 82．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 83．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 84．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 题型29 实数的大小比较（共3小题） 【易错】正数大于负数，可平方 / 立方比较。易错：负数比较大小出错；平方比较只适用于正数，负数不能直接平方。 85．（26-27八年级上·江苏南京·期中）比较大小：______________________（填“”、“”或“”）． 86．（25-26七年级下·云南昭通·期中）比较大小：______．（填“”“”或“”） 87．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 题型30 近似值（共3小题） 【易错】看清精确到哪一位，四舍五入。易错：近似时对大数先近似再计算；分不清精确位与有效数字。 88．（26-27七年级·浙江·暑假作业）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 89．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 90．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 题型31 勾股定理的证明方法与计算（共3小题） 91．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 92．（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 93．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是____________ 题型32 勾股数问题（共3小题） 94．（2026八年级上·江苏·专题练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 95．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 96．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 题型33 用勾股定理构造图形解决问题（共3小题） 【易错】作垂线构造直角三角形。易错：不会构造直角；构造后搞错直角边、斜边，列式计算出错。 97．（2026·贵州遵义·二模）《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 98．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 99．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 题型34 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 【易错】两直角边上图形面积之和等于斜边图形面积。易错：图形不是正方形时误用；找不对对应边。 100．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 101．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 102．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 题型35 用勾股定理解三角形（共3小题） 【易错】已知两边求第三边，分清斜边是否确定。易错：斜边不确定不分类讨论；计算平方开方出现计算错误。 103．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的长为_____． 104．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 105．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型36 勾股定理的逆定理（共3小题） 【易错】较短两边平方和等于最长边平方，则为直角三角形。易错：不找最长边直接代入；当作普通勾股定理使用。 106．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 107．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 108．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 题型37 勾股定理与网格问题（共3小题） 109．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 110．（26-27八年级上·四川成都·期中）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 111．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 题型38 勾股定理与折叠问题（共3小题） 【易错】折叠前后对应边相等，设未知数，列勾股方程。易错：找错折叠相等线段；设未知数后方程列错。 112．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 113．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 114．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 题型39 勾股定理的实际应用（共9小题） 【易错】把实际场景抽象为直角三角形。易错：建模错误；单位不统一；忽略题目隐含直角条件。 115．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 116．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）消防车上的云梯最多只能伸长到米，已知消防车的高米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功救出小孩，消防车从处向楼房移动的距离至少为多少米？ 117．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 118．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 119．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 120．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 121．（24-25八年级下·重庆·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 122．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 123．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 题型40 最短路径问题（共3小题） 【易错】轴对称转化线段，两点之间线段最短。易错：不会做对称点；混淆直线同侧、异侧的最短路径画法。 124．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在边上，且．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要________． 125．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 126．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $