专题01 与球有关的切接问题18种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题01 与球有关的切接问题18种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 正方体、长方体模型 1.核心逻辑 正方体、长方体的外接球，体对角线就是外接球的直径。 长方体长宽高：；正方体棱长：。 2.解题步骤 ①读出长宽高；计算体对角线； ②体对角线，求出半径； ③代入表面积、体积公式； ④最值题型，配合基本不等式求的范围。 3.易错提醒 把棱长直接当作直径；基本不等式忘记检验等号成立条件。 1．（2026·江西宜春·模拟预测）已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·河南·阶段检测）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型02 墙角模型 1.核心逻辑 三棱锥三条侧棱两两互相垂直，补成长方体，三棱锥外接球等价长方体外接球，体对角线为球直径。 2.解题步骤 ①识别条件：三条棱两两垂直； ②直接套用； ③求解半径，算表面积、体积。 3.易错提醒 看不出可以补成长方体；把侧棱直接当作球半径。 7．（2026高一·广东汕头·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高一·天津和平·期中）已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为和，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏徐州·模拟预测）在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且，此三棱锥的外接球的表面积为，则______________． 12．（2026高一·山西运城·期中）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，且，，则三棱锥的体积为__________． 题型03 对棱相等模型 1.核心逻辑 四面体三组对棱分别相等，把四面体嵌入长方体，四面体棱对应长方体面对角线。 设三组对棱：，长方体长宽高，满足，外接球仍然是长方体外接球。 2.解题步骤 ①识别对棱全部相等； ②列方程组求出； ③，求。 3.易错提醒 不会列方程组，混淆哪条棱对应面对角线。 13．（2026·河南·模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·四川凉山·模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高一·山东·期中）在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 17．（2026高三·山西吕梁·阶段检测）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为______. 题型04 正四面体模型 1.核心逻辑 棱长为正四面体： 高；外接球半径，内切球； 也可以补成正方体，正四面体棱为正方体面对角线。 2.解题步骤 ①方法一：直接套正四面体二级结论； ②方法二：补正方体； ③外接球球心在高线上，； ④处理异面直线距离、二面角、表面积多选。 3.易错提醒 外接球、内切球半径记混；球心位置搞错。 18．【多选】（26-27高三·广西柳州·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，则（    ） A．正四面体的体积为 B．和的距离为 C．正四面体的外接球表面积为 D．二面角的正切值为 19．（2026高一·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 题型05 圆柱模型 1.核心逻辑 圆柱上下底面圆周都在外接球面上；球心在圆柱上下底面圆心连线中点。 设底面半径，圆柱高，外接球半径：。 2.解题步骤 ①确定底面半径、圆柱的高； ②代入勾股关系求； ③最值问题结合基本不等式。 3.易错提醒 球心不是上底面或者下底面圆心，是中点；高忘记除以2。 20．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 21．（2026高一·湖北武汉·期末）若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 22．（2026高一·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·江西景德镇·期末）已知一个圆柱的侧面积为，则该圆柱外接球的体积最小值为__________. 题型06 直棱柱模型 1.核心逻辑 直棱柱侧棱垂直底面；外接球球心是上下底面外接圆圆心连线的中点。 底面多边形外接圆半径，棱柱高；。 底面三角形用正弦定理求底面外接圆半径：。 2.解题步骤 ①用正弦定理求底面外接圆半径； ②球心到底面距离； ③勾股求半径； ④再算表面积体积。 3.易错提醒 把底面边长直接当作底面外接圆半径；忘记高取一半。 24．（26-27高三·山西·阶段检测）已知正三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球的球面上，且，则二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·云南德宏·期末）正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 26．（2026高一·陕西汉中·期末）在直三棱柱中，，则直三棱柱的外接球表面积为________． 27．（2026高一·四川泸州·期末）在正三棱柱中，若，为的中点，为中点，则三棱锥的外接球的表面积为________． 28．（2026高二·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    29．（2026高三·安徽·阶段检测）在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 30．（2026高一·贵州黔南·期末）在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为________. 31．（2026·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三·河南·阶段检测）已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型07 直棱锥模型 1.核心逻辑 棱锥一条侧棱垂直底面；把几何体补成长方体； 底面多边形外接圆半径，垂直底面的侧棱长。 底面的外接圆圆心，过作底面垂线；球心也在这条垂线上。 2.解题步骤 ①求底面外接圆半径； ②球心到底面距离； ③； ④鳖臑（四个面都是直角三角形）优先补形法。 3.易错提醒 分不清球心位置；直接把顶点当作球心。 33．（2026高三·贵州贵阳·阶段检测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 34．（2026高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 35．（2026·河南开封·模拟预测）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型08 圆锥模型 1.核心逻辑 圆锥外接球球心在圆锥的高线上； 圆锥底面半径，高，设球半径，列勾股方程：，解方程求。 2.解题步骤 ①画出轴截面（等腰三角形的外接圆）； ②球心在高线上，设半径，建立勾股等式； ③解一元一次方程，求出。 3.易错提醒 球心可能在圆锥内部，也可以在圆锥外部；绝对值处理出错。 36．（2026·江西上饶·模拟预测）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高一·天津南开·阶段检测）将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 38．（2026高三·广东深圳·阶段检测）一个母线长为的圆锥表面积为，则该圆锥外接球的表面积为______． 39．（2026高一·广东广州·期中）已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 题型09 正锥体模型 1.核心逻辑 正棱锥：顶点在底面投影是底面正多边形中心；外接球球心在棱锥的高线上。 底面外接圆半径，棱锥高，球半径，球心到底面距离； 勾股方程：。 球心可在锥体内部，也可以在高线向下延长线上。 2.解题步骤 ①求底面外接圆半径； ②设外接球半径，列勾股方程； ③解方程，两种情况（球心在底面上方/底面下方）都要检验； ④求表面积、体积。 3.易错提醒 默认球心一定在棱锥内部，漏掉球心在底面外侧的解。 40．（26-27高三·河北保定·阶段检测）已知正三棱锥的外接球的体积为，底面的边长为，则顶点到底面的距离为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高二·云南昆明·期末）在正三棱锥中，，PA与底面ABC所成的角为，若点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 42．（2026高一·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 43．（2026高一·陕西西安·期末）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 44．（2026高一·天津南开·期末）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 45．（2026高三·甘肃·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 46．（2026·四川南充·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 47．（2026高二·广西南宁·期末）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点都在球的球面上，则球的表面积为_________. 题型10 圆台模型 1.核心逻辑 圆台外接球，轴截面是等腰梯形内接于大圆；上下底面半径，圆台高；球心在上下底面圆心连线上。 设球心到下底面距离为，则到上底面距离，建立方程组： ； 圆台有内切球条件：母线。 2.解题步骤 ①画出轴截面等腰梯形； ②设球心到下底面距离，列两个勾股等式； ③解方程组求、； ④区分球心在两底面之间，或者在圆台外部。 3.易错提醒 漏掉绝对值，不讨论球心位置；混淆外接球、内切球条件。 48．（2026·四川成都·模拟预测）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 49．（2026高三·河北·阶段检测）已知一球与一圆台的上､下底面及其侧面都相切，圆台的上､下底面的半径分别为，则球的体积为__________. 50．（2026高三·福建福州·开学考试）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 51．（2026·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 52．（2026高三·河北承德·阶段检测）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型11 正棱台模型 1.核心逻辑 正棱台上下底面为相似正多边形；球心在上下底面中心的连线上。 上下底面外接圆半径；棱台高； 设球心到下底面距离，到上底面距离，列方程组： · 球心可能在两底面之间，也可能在棱台外部。 2.解题步骤 ①正弦定理，分别求上下底面外接圆半径； ②设球心到下底面距离，联立方程组； ③解方程组得到，求表面积体积； ④分球心同侧、异侧两种情况。 3.易错提醒 直接默认球心夹在两个底面中间，漏掉外部解。 53．（26-27高三·重庆·开学考试）已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 54．（2026高二·贵州·阶段检测）在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 55．【多选】（2026高一·广东广州·期末）如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（   ） A．平面 B．直线与底面所成的角为60° C．正三棱台的外接球体积为 D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 56．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______． 57．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知正三棱台的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，且，则正三棱台的体积为___________. 58．（26-27高三·陕西榆林·开学考试）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型12 共斜边拼接模型 1.核心逻辑 两个直角三角形共用同一条斜边；斜边中点就是外接球球心，斜边长度就是外接球直径。 原理：直角三角形斜边中点到三个顶点距离相等。 2.解题步骤 ①识别两个直角三角形共斜边； ②斜边中点直接为球心，斜边长； ③直接计算球表面积体积。 3.易错提醒 看不出共斜边；把直角顶点当成球心。 59．（2026高二·江西九江·开学考试）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB.则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（    ）. A． B． C． D． 题型13 垂面模型 1.核心逻辑 几何体有两个平面互相垂直； 分别找两个平面多边形各自的外接圆圆心；分别过两个圆心，作对应平面的垂线；两条垂线交点就是外接球球心。 2.解题步骤 ①识别面面垂直条件； ②分别求出两个面的外接圆圆心； ③过各自圆心作平面垂线，交点即为球心； ④构造直角三角形，勾股定理求半径。 3.易错提醒 球心不在两个交线上，是两条垂线交点；直接把交线上点当成球心。 60．（2026高三·江苏南通·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 61．（2026·四川·模拟预测）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 62．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 63．（26-27高二·河南信阳·阶段检测）三棱锥的各个顶点都在球的球面上，是等边三角形，是等腰直角三角形且，平面平面，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 题型14 二面角模型 1.核心逻辑 平面图形沿一条棱翻折形成二面角； 分别找翻折后两个面的外接圆圆心，过两个圆心分别作所在平面垂线，两垂线交点即球心； 两个垂线之间夹角等于二面角的平面角（或补角），构造四边形，解三角形求。 2.解题步骤 ①翻折，确定二面角大小； ②找出两个面的外接圆圆心； ③过圆心作面的垂线，交点是球心； ④利用二面角，解四边形，勾股定理求； ⑤可求外接球表面积最小值。 3.易错提醒 二面角与垂线夹角分不清，分不清是二面角还是补角。 64．（26-27高三·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 65．（2026高一·浙江绍兴·期中）在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________． 66．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 67．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为________． 68．（2026高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为_________.      题型15 柱体内切球 1.核心逻辑 柱体存在内切球条件：柱体的高等于底面内切圆的直径； 圆柱：高才有内切球； 直棱柱：底面存在内切圆，且棱柱高等于底面内切圆直径。 内切球半径等于底面内切圆半径。 2.解题步骤 ①先判断是否满足内切球存在条件； ②满足条件直接得到内切球半径； ③算球表面积体积。 3.易错提醒 不判断存在条件，直接求内切球。 69．（2026高一·广东·阶段检测）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为__________，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为________ 70．（2026高一·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 71．（2026·云南·模拟预测）若底面边长为6的正三棱柱存在内切球（球与正三棱柱的所有面均相切），则该正三棱柱的体积为（    ） A．27 B．54 C．18 D． 72．（2026高二·福建厦门·期中）已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 73．（2026高二·浙江温州·期末）已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 题型16 锥体内切球 1.核心逻辑 锥体的内切球，统一使用等体积法：； 多面体体积，是几何体全部表面积，内切球半径。 2.解题步骤 ①求多面体体积；求全部表面积； ②代入公式解出内切球半径； ③计算球表面积体积。 3.易错提醒 只用侧面积，忘记算底面面积；公式记错，漏掉系数。 74．（2026高一·山东临沂·期中）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 75．（2026高三·江苏南京·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 76．（2026高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 77．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知正四面体的棱长为4，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 78．（2026高一·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 79．（2026·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 80．（2026高二·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 题型17 台体内切球 1.核心逻辑 圆台存在内切球充要条件：母线长； 棱台：各侧面与底面都相切，上下底面都有内切圆；也可以用体积法。 2.解题步骤 ①圆台：检验母线是否等于上下底半径之和； ②棱台，用等体积法求内切球半径。 3.易错提醒 不检验存在条件，强行算内切球。 81．（2026高一·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为________． 82．（2026高三·江苏·阶段检测）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________． 83．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 84．（2026高三·辽宁大连·期中）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 85．（2026高三·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 86．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 87．（2026高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型18 棱切球 1.核心逻辑 棱切球：球和所有棱相切，球心到每一条棱距离等于半径。 正方体棱切球：球心正方体中心，半径等于面中心到棱距离。 2.解题步骤 ①确定球心位置（几何体中心）； ②求球心到棱的距离即为半径； ③代入球公式计算。 3.易错提醒 把棱切球和内切球概念混淆；内切球是和面相切，棱切球是和棱相切。 88.球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 89.边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____． 90.已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与球有关的切接问题18种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 正方体、长方体模型 1.核心逻辑 正方体、长方体的外接球，体对角线就是外接球的直径。 长方体长宽高：；正方体棱长：。 2.解题步骤 ①读出长宽高；计算体对角线； ②体对角线，求出半径； ③代入表面积、体积公式； ④最值题型，配合基本不等式求的范围。 3.易错提醒 把棱长直接当作直径；基本不等式忘记检验等号成立条件。 1．（2026·江西宜春·模拟预测）已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，求出的值，结合球体表面积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，即， 故球的表面积为. 故选：B. 2．（2026高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合球的表面积公式求球的半径，根据关系长方体体对角线等于其外接球的直径列方程求. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 由已知，所以， 又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为， 长方体体对角线等于其外接球的直径， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2026高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 4．（2026高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 5．（2026高三·河南·阶段检测）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作，垂足为，连接，.利用面面垂直的性质定理得到平面， 得到是与平面所成的平面角.然后根据已知条件求得, 进而求得得到该长方体的体对角线，得到外接球的半径，进而计算外接球的表面积 【详解】作，垂足为，连接，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以是与平面所成的平面角. 又， . 所以， 解得. 故该长方体的体对角线为. 设长方体的外接球的半径为，则，解得. 所以该长方体的外接球的表面积为.故选B. 【点睛】本题考查球的表面积计算，涉及面面垂直的性质，线面角，长方体的性质，属中档题，关键是利用面面垂直的性质定理作出线面角，进而计算求得长方体的对角线长，便是外接球的直径. 6．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面所成角的定义得，即，设，求出，根据该长方体外接球的直径是，可求出，再根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连，因为平面，所以是与平面所成的角， 所以，所以， 设，则，即， 又，所以，所以， 即，所以，， 因为该长方体外接球的直径是，所以半径， 所以该外接球的表面积为. 故选：B 题型02 墙角模型 1.核心逻辑 三棱锥三条侧棱两两互相垂直，补成长方体，三棱锥外接球等价长方体外接球，体对角线为球直径。 2.解题步骤 ①识别条件：三条棱两两垂直； ②直接套用； ③求解半径，算表面积、体积。 3.易错提醒 看不出可以补成长方体；把侧棱直接当作球半径。 7．（2026高一·广东汕头·期末）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三条侧棱两两互相垂直的三棱锥补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，求其对角线即得球的直径. 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 8．（2026高一·天津和平·期中）已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为和，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，得三棱锥的外接球，即长宽高分别为和的长方体的外接球，求出长方体外接球的体积，即可得到本题答案. 【详解】由题意可得，球的内接三棱锥即三棱锥的外接球即长宽高分别为和的长方体的外接球， 又长方体的体对角线长为外接球的直径， 所以球的半径， 球的体积为. 故选：D. 9．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设，，， 则，，， 解得，，，. 则长方体的对角线的长为. 所以球的直径是，半径长， 则球的表面积， 故选：C. 10．（2026·江苏徐州·模拟预测）在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条侧棱三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，可得三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为相邻的三条棱的正方体的外接球，由此可得答案. 【详解】由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，补全三棱锥， 则三棱锥的外接球的半径， 所以该球的体积是， 故选：A    11．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且，此三棱锥的外接球的表面积为，则______________． 【答案】 【分析】补全为一个长方体即可求解 【详解】设， 由题意可得：， 三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径， 所以，， 可得， 解得， 所以． 故答案为： 12．（2026高一·山西运城·期中）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，且，，则三棱锥的体积为__________． 【答案】 【分析】根据题意将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，求出球的半径，从而可求出的长，进而可求出三棱锥的体积 【详解】因为三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 所以将三棱锥补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径， 因为三棱锥外接球的表面积为， 所以，得， 所以，，得， 所以, 故答案为： 题型03 对棱相等模型 1.核心逻辑 四面体三组对棱分别相等，把四面体嵌入长方体，四面体棱对应长方体面对角线。 设三组对棱：，长方体长宽高，满足，外接球仍然是长方体外接球。 2.解题步骤 ①识别对棱全部相等； ②列方程组求出； ③，求。 3.易错提醒 不会列方程组，混淆哪条棱对应面对角线。 13．（2026·河南·模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可. 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 14．（2026高二·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 15．（2026·四川凉山·模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 16．【多选】（2026高一·山东·期中）在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 【答案】ACD 【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题. 【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为, ,解得，，. 每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确. 体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为), 得四面体体积为.选项B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确. 故选：ACD. 17．（2026高三·山西吕梁·阶段检测）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案. 【详解】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 题型04 正四面体模型 1.核心逻辑 棱长为正四面体： 高；外接球半径，内切球； 也可以补成正方体，正四面体棱为正方体面对角线。 2.解题步骤 ①方法一：直接套正四面体二级结论； ②方法二：补正方体； ③外接球球心在高线上，； ④处理异面直线距离、二面角、表面积多选。 3.易错提醒 外接球、内切球半径记混；球心位置搞错。 18．【多选】（26-27高三·广西柳州·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，则（    ） A．正四面体的体积为 B．和的距离为 C．正四面体的外接球表面积为 D．二面角的正切值为 【答案】BC 【分析】A选项主要考查正四面体的体积，将点投影到底面的中心点，从而在直角三角形中运用勾股定理，求解得出正四面体的高；B选项考查异面直线间的距离，需要取的中点为，取的中点为，通过证明和，从而得到线段为异面直线、的公垂线段，将和的距离转化为的长度；C选项主要考查正四面体的外接球，找到球心的位置，在直角三角形中根据勾股定理列出关于半径的方程，求解计算即可；D选项考查求二面角的正切值，通过证明 是二面角的平面角，从而转化为求在直角中，的值. 【详解】对于A选项，设点在底面投影是底面中心点，取的中点为， 连接、、，如图所示， 因为是边长为2的等边三角形，且点为的中点， 所以，且， 又因为底面的中心为点，所以， 同理因为是边长为2的等边三角形，且点为的中点， 所以，且， 又因为点在底面投影是底面中心点，所以平面， 即为正四面体的高， 在直角中，， ， 所以，故A错误； 对于B选项，取的中点为，取的中点为， 连接、、，如图所示， 因为是边长为2的等边三角形，且点为的中点， 所以，且， 同理因为是边长为2的等边三角形，且点为的中点， 所以，且， 又因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且点为的中点， 所以， 即线段为异面直线、的公垂线段，所以和的距离为， ，故B正确； 对于C选项，设点在底面投影是底面中心点， 设正四面体的外接球的球心为，半径为，取的中点为， 连接、、，如图所示， 则，，， 在直角中，，即， 解得，，所以外接球表面积，故C正确； 对于D选项，取的中点为，连接、，如图所示， 因为是边长为2的等边三角形，且点为的中点， 所以，且， 同理因为是边长为2的等边三角形，且点为的中点， 所以，且， 因为，， 所以是二面角的平面角， 因为点在底面投影是底面中心点，所以在直角中， ，，， 则，，故D错误. 19．（2026高一·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为， 由，解得， 所以正四面体的棱长为. 题型05 圆柱模型 1.核心逻辑 圆柱上下底面圆周都在外接球面上；球心在圆柱上下底面圆心连线中点。 设底面半径，圆柱高，外接球半径：。 2.解题步骤 ①确定底面半径、圆柱的高； ②代入勾股关系求； ③最值问题结合基本不等式。 3.易错提醒 球心不是上底面或者下底面圆心，是中点；高忘记除以2。 20．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆柱的底面半径为，高为.由圆柱的轴截面是正方形，结合表面积为列出关于的方程组.求出求出圆柱外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为. 因为圆柱的轴截面是正方形，表面积为, 所以, 解得：. 如图所示，由圆柱和球的对称性可知，轴截面的对角线为圆柱外接球的直径.设外接球半径为,则，所以. 所以,圆柱外接球的表面积为：. 故选：A. 21．（2026高一·湖北武汉·期末）若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，直接求出球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，设球的半径为， 又圆柱的底面半径为2，母线长为2，则，所以该球的表面积为， 故选：D. 22．（2026高一·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据外接球性质结合圆柱特征得出球的半径结合球的表面积公式计算求解. 【详解】圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上， 则球的半径为 则球的表面积是. 故选：A. 23．（2026高二·江西景德镇·期末）已知一个圆柱的侧面积为，则该圆柱外接球的体积最小值为__________. 【答案】/ 【分析】设出圆柱的底面半径与高，通过圆柱的侧面积求解高与底面半径的关系式，表示出外接球的半径，利用基本不等式即可得到的最小值,进而可得答案. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 因为圆柱的侧面积为，所以，得， 设圆柱外接球半径为R，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1，则的最小值为1， 所以外接球的体积V的最小值为． 故答案为：. 题型06 直棱柱模型 1.核心逻辑 直棱柱侧棱垂直底面；外接球球心是上下底面外接圆圆心连线的中点。 底面多边形外接圆半径，棱柱高；。 底面三角形用正弦定理求底面外接圆半径：。 2.解题步骤 ①用正弦定理求底面外接圆半径； ②球心到底面距离； ③勾股求半径； ④再算表面积体积。 3.易错提醒 把底面边长直接当作底面外接圆半径；忘记高取一半。 24．（26-27高三·山西·阶段检测）已知正三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球的球面上，且，则二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由外接球表面积求出外接球半径，算出底面正三角形外接圆半径，求出正三棱柱的高；再找出二面角的平面角，在直角三角形中计算正弦值． 【详解】 设正三棱柱外接球的半径为， 所以，解得， 在正中，为的中点，为正所在圆的圆心， ，， ，， 在中，，， ， 所以， 取AC的中点，连接， 所以，， 所以为二面角的平面角． 又易得，，， 所以， ，即二面角的正弦值为． 25．（2026高一·云南德宏·期末）正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面的外接圆半径，再结合正三棱柱性质求外接球半径和表面积. 【详解】如图所示，设底面正的中心为，正三棱柱的外接球球心为， 由正弦定理可得底面的外接圆半径， 由正三棱柱性质可知，则外接球半径， 所以所求外接球的表面积为. 26．（2026高一·陕西汉中·期末）在直三棱柱中，，则直三棱柱的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】利用该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积，其体对角线为外接球直径，再由球的表面积公式可得. 【详解】由题意可得， 该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积，其体对角线为外接球直径， 设外接球半径为，则， 所以外接球的表面积为. 27．（2026高一·四川泸州·期末）在正三棱柱中，若，为的中点，为中点，则三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】作出辅助线，设出球心，利用半径得到方程，求出，得到表面积 【详解】为中点，为等边三角形，故⊥， 取的中点，连接，则， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，则⊥平面， 连接，，则， 过点作⊥于点，则， 设，则， 其中， 其中，故， 故， 由勾股定理得， 故，解得，故半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 28．（2026高二·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【分析】先求得直三棱柱外接球的半径为，再结合半径求得直三棱柱的侧棱，最后根据等体积法求解体积即可. 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为： 29．（2026高三·安徽·阶段检测）在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求出，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，进而根据正弦定理求出三棱柱外接球的半径，从而求出表面积. 【详解】设侧棱长为，则 ， 由，得（负值舍去）． 底面三角形外接圆半径为， 设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为． 故选：D． 30．（2026高一·贵州黔南·期末）在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为________. 【答案】 【分析】利用该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径，再由球的体积公式可得. 【详解】由题意可得， 该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径， 设外接球半径为，则， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 31．（2026·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出长方体的体对角线长，从而可知外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】正四棱柱即长方体，其体对角线长为， 因此其外接球的半径为，则其表面积为， 故选:B. 32．（2026高三·河南·阶段检测）已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的外接圆半径，进而求出外接球的半径和表面积. 【详解】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径， 所以球O的半径，故球O的表面积为． 故选：D 题型07 直棱锥模型 1.核心逻辑 棱锥一条侧棱垂直底面；把几何体补成长方体； 底面多边形外接圆半径，垂直底面的侧棱长。 底面的外接圆圆心，过作底面垂线；球心也在这条垂线上。 2.解题步骤 ①求底面外接圆半径； ②球心到底面距离； ③； ④鳖臑（四个面都是直角三角形）优先补形法。 3.易错提醒 分不清球心位置；直接把顶点当作球心。 33．（2026高三·贵州贵阳·阶段检测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 【答案】 【分析】利用割补法及长方体的体对角线为外接球的直径，结合二次函数的性质及球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图所示， 其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点， 要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故答案为：. 34．（2026高三·贵州·开学考试）在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】由已知，利用余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆的半径为，结合立体图形，设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，在中和直角梯形中，由等量关系建立方程组，解出，即可得到三棱锥外接球的表面积. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 所以，设的外接圆的半径为， 则由正弦定理得，解得 结合图形分析：      因为D为AC的中点，平面ABC，且， 在中，，， 又，则圆心到点的距离为， 另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为， 则中，，即， 直角梯形中，，即， 解得，，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 35．（2026·河南开封·模拟预测）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线， 则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故选：A 题型08 圆锥模型 1.核心逻辑 圆锥外接球球心在圆锥的高线上； 圆锥底面半径，高，设球半径，列勾股方程：，解方程求。 2.解题步骤 ①画出轴截面（等腰三角形的外接圆）； ②球心在高线上，设半径，建立勾股等式； ③解一元一次方程，求出。 3.易错提醒 球心可能在圆锥内部，也可以在圆锥外部；绝对值处理出错。 36．（2026·江西上饶·模拟预测）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 37．（2026高一·天津南开·阶段检测）将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到折成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径，圆锥的高，由此能求出圆锥的外接球的表面积． 【详解】∵圆心角为，半径为3，∴扇形的弧长为， ∴折成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为，底面半径，圆锥的高， 易知圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设球的半径为， 则，解得． ∴外接球的表面积为． 故选：D 38．（2026高三·广东深圳·阶段检测）一个母线长为的圆锥表面积为，则该圆锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】求出轴截面外接圆半径即得球半径，然后由球面积公式计算． 【详解】如图是圆锥的轴截面，，记底面半径为， 由，解得（负值舍去）， 则，， 外接圆半径为，则，， 此即为该圆锥外接球的半径， 所以球表面积为， 故答案为：． 39．（2026高一·广东广州·期中）已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得． 由圆锥的高为3，得，即，解得， 因此球的半径，体积为. 故选：B 题型09 正锥体模型 1.核心逻辑 正棱锥：顶点在底面投影是底面正多边形中心；外接球球心在棱锥的高线上。 底面外接圆半径，棱锥高，球半径，球心到底面距离； 勾股方程：。 球心可在锥体内部，也可以在高线向下延长线上。 2.解题步骤 ①求底面外接圆半径； ②设外接球半径，列勾股方程； ③解方程，两种情况（球心在底面上方/底面下方）都要检验； ④求表面积、体积。 3.易错提醒 默认球心一定在棱锥内部，漏掉球心在底面外侧的解。 40．（26-27高三·河北保定·阶段检测）已知正三棱锥的外接球的体积为，底面的边长为，则顶点到底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据外接球的体积为，可得外接球半径为；由底面的边长为，可得底面外接圆半径为，再分情况讨论球心与底面的相对位置，利用勾股定理建立方程求解即可 【详解】由球的体积公式，解得外接球的半径为. 由底面的边长为,且为等边三角形， 所以可得底面外接圆半径为. 设顶点到底面的距离为， 当球心在底面与顶点之间时，则有 即，解得. 当球心在底面外侧时， 此时，解得 综上所述，点到底面的距离为. 41．（2026高二·云南昆明·期末）在正三棱锥中，，PA与底面ABC所成的角为，若点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形找出外接球球心的位置，求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设点为的中心，连接交于点. 在正三棱锥中，平面，且三棱锥外接球球心在直线上. 连接，设球的半径为，则. 由线面角的定义可知， 在正三角形中，. 在中，. 所以. 在中，，即，解得. 所以球的表面积为. 42．（2026高一·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【详解】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 43．（2026高一·陕西西安·期末）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 44．（2026高一·天津南开·期末）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 【答案】 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的体积． 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 45．（2026高三·甘肃·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取正三棱锥的底面中心为，设外接球的球心为，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可. 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得. 球心到底面的距离为， 由，得， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 46．（2026·四川南充·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设正三棱锥底面正三角形的边长为，可得其高与、的关系，由题意可得外接球半径，从而可得、与关系，利用体积公式可得，采用换元法和导数求解即可. 【详解】设正三棱锥底面正三角形的边长为， 由正弦定理可得此三角形的外接圆半径， 所以正三棱锥的高， 又因为此正三棱锥的外接球表面积为， 所以外接球的半径， 如图所示： 因为三角形是直角三角形， 所以， 整理得， 所以， 所以， 整理得，， 由，得， 又因为正三棱锥的体积 ， 令，因为，所以， 令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 即该正三棱锥体积的取值范围是. 47．（2026高二·广西南宁·期末）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点都在球的球面上，则球的表面积为_________. 【答案】 【详解】底面边长，， 正三角形外接圆半径公式， 棱锥体积公式，已知，则， 设底面的外心为，则，外接球球心在直线上，设，外接球半径为， 不妨设球心在、之间，同时， 则，所以球心落在底面远离的一侧， 此时，所以 ， 所以，. 题型10 圆台模型 1.核心逻辑 圆台外接球，轴截面是等腰梯形内接于大圆；上下底面半径，圆台高；球心在上下底面圆心连线上。 设球心到下底面距离为，则到上底面距离，建立方程组： ； 圆台有内切球条件：母线。 2.解题步骤 ①画出轴截面等腰梯形； ②设球心到下底面距离，列两个勾股等式； ③解方程组求、； ④区分球心在两底面之间，或者在圆台外部。 3.易错提醒 漏掉绝对值，不讨论球心位置；混淆外接球、内切球条件。 48．（2026·四川成都·模拟预测）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形，在这个图形中由几何法求得球半径，再计算表面积. 【详解】如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过， 由已知，，， 设， 若在线段上，则， ，即，解得， 所以与重合， 若在延长线上，则， 则有，同样解得，即与重合， 所以球半径为， 表面积为 49．（2026高三·河北·阶段检测）已知一球与一圆台的上､下底面及其侧面都相切，圆台的上､下底面的半径分别为，则球的体积为__________. 【答案】 【分析】设球的半径为,圆台的母线长为 ，高为 ，则 ,根据题目得到，结合，求出 ，所以;所以球的体积为 . 【详解】设球的半径为,圆台的母线长为 ，高为 ，则 , 画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且 ，内切圆圆心即球心 ；所以圆台的母线长为，即， 因为在圆台中有即，即 ，所以; 所以球的体积为   故答案为： 50．（2026高三·福建福州·开学考试）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 【答案】 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 51．（2026·四川泸州·模拟预测）已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的高为，其外接球的半径为，根据圆台的体积公式，求得，分球心在圆台的内部和外部，列出方程求得的值，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，其外接球的半径为， 因为圆台的体积为，可得，解得， 若球心在圆台的内部，可得，解得， 所以外接球的表面积为； 若球心在圆台的外部，可得，此时无解， 综上可得，外接球的表面积为. 故选：C. 52．（2026高三·河北承德·阶段检测）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 题型11 正棱台模型 1.核心逻辑 正棱台上下底面为相似正多边形；球心在上下底面中心的连线上。 上下底面外接圆半径；棱台高； 设球心到下底面距离，到上底面距离，列方程组： · 球心可能在两底面之间，也可能在棱台外部。 2.解题步骤 ①正弦定理，分别求上下底面外接圆半径； ②设球心到下底面距离，联立方程组； ③解方程组得到，求表面积体积； ④分球心同侧、异侧两种情况。 3.易错提醒 直接默认球心夹在两个底面中间，漏掉外部解。 53．（26-27高三·重庆·开学考试）已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正三棱台的边角关系求出上下底面半径及高，再假设球心位置，利用球心到各顶点距离相等建立方程，解出半径后求表面积. 【详解】设正三棱台上下底面中心分别为 、，下底面边长 ，上底面边长 . 上下底面的外接圆半径分别为， ； 内切圆半径分别为， . 侧面与底面夹角为，该二面角在垂直于底边的截面中， 斜高 满足. 棱台高. ①若 在 和 之间，设 到 距离为 （），则到 距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等，可得， 代入 ，得，矛盾. ②若在 和 下方，如图. 设 ，则球心到上底面中心距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等可得， 化简得， 因此，可得球的表面积. 54．（2026高二·贵州·阶段检测）在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求正三棱台上、下底面正三角形的外接圆半径，再求正三棱台的高；设外接球的球心到下底面的距离为，外接球半径为，根据球心到上下底面顶点的距离都等于，列出两个关于和的方程，联立求解；最后根据球的表面积公式取出外接球的表面积. 【详解】设正的中心为，正的中心为，外接球的球心为，半径为， 球心到底面的距离为，过作，垂足为，如图所示； 棱台为正三棱台，，， ，； ，. ，在中，. 在和中， ，解得. ； . 55．【多选】（2026高一·广东广州·期末）如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（   ） A．平面 B．直线与底面所成的角为60° C．正三棱台的外接球体积为 D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】根据正三棱台的性质，利用边长，侧棱长等条件，通过相关几何关系进行判断和计算. 【详解】 设三棱台上下底面中心分别为,.连接,,,, 上下底面均为正三角形，则,. 已知侧棱长,由正三棱台性质可知，上下底面. 直角梯形中，. 选项A，假设平面，而平面，则平面平面， 与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，选项A错误； 选项B，直线与底面的角为与投影的夹角θ， 根据前面计算可知,,,, 在中，，所以，选项B对； 选项C，设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R. 设，则. 由,，. 在直角梯形中， 则，，即， 所以外接球体积,选项C对； 选项D，因为,,. 交线圆半径，圆心为在底面的投影（）. 底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧，弧长，选项D对. 故选：BCD. 56．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得正三棱台上下底面所在圆面的半径，设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则，进而求出正三棱台的高，然后根据列方程求解球的半径，代入球的表面积公式即可得解． 【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则， 所以，． 设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为， 则． 设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得， 所以或， 即或， 解得，所以三棱台的外接球的表面积为．    故答案为： 57．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知正三棱台的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，且，则正三棱台的体积为___________. 【答案】或 【分析】先由球的表面积公式求出球O的半径为R，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台的高，再由体积公式即可得出答案. 【详解】设点，分别是，的外接圆的圆心，球O的半径为R， 则，解得，且，，O三点共线， 正三棱台的高为， 在等边中，， 由正弦定理可得：，得. 在等边中，， 由正弦定理可，得. 在中，，即，得， 在中，，即，得， 如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，如图1所示，则正三棱台的高为， 所以正三棱台的体积. 如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，如图2所示，则正三棱台的高为， 此时正三棱台的体积. 综上，正三棱台的体积为或.    故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：先由球的表面积公式求出球O的半径为R，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台的高，再由体积公式即可得出答案. 58．（26-27高三·陕西榆林·开学考试）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 取上下底面中心分别为，，则为正四棱台的高， 因为. 又， . 所以为四棱台外接球的球心，外接球半径为， 所以该四棱台外接球的表面积为. 题型12 共斜边拼接模型 1.核心逻辑 两个直角三角形共用同一条斜边；斜边中点就是外接球球心，斜边长度就是外接球直径。 原理：直角三角形斜边中点到三个顶点距离相等。 2.解题步骤 ①识别两个直角三角形共斜边； ②斜边中点直接为球心，斜边长； ③直接计算球表面积体积。 3.易错提醒 看不出共斜边；把直角顶点当成球心。 59．（2026高二·江西九江·开学考试）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB.则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得球心为的中点，即求. 【详解】取的中点为，连接，因为AC⊥CD， AB⊥DB ∴即为棱锥D-ABC外接球的球心， 又AB=DC=3，AC=DB=2， ∴， ∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为. 故选：B. 题型13 垂面模型 1.核心逻辑 几何体有两个平面互相垂直； 分别找两个平面多边形各自的外接圆圆心；分别过两个圆心，作对应平面的垂线；两条垂线交点就是外接球球心。 2.解题步骤 ①识别面面垂直条件； ②分别求出两个面的外接圆圆心； ③过各自圆心作平面垂线，交点即为球心； ④构造直角三角形，勾股定理求半径。 3.易错提醒 球心不在两个交线上，是两条垂线交点；直接把交线上点当成球心。 60．（2026高三·江苏南通·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定球心位置，求出三棱锥的外接球的半径，由球的表面积公式即可求解． 【详解】依题意，为等边三角形，且高，则， 而，又，则为等边三角形， 平面平面，，平面平面，平面，于是平面， 令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面， 又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面， 因此，等边外接圆半径， 三棱锥的外接球，则， 所以三棱锥的外接球的表面积， 故选：C 61．（2026·四川·模拟预测）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，利用球的截面性质得到四边形为矩形，然后设外接球半径为，由求解. 【详解】解：如图， 设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心， 则面面. 由题意得为的外心， 在中，， 所以， 又四边形为矩形， ，设外接球半径为， 则外接球表面积， 故选：B. 62．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得， 因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，则球心O在直线上． 连接OA，则， 因为，所以； 因为，所以. 因为，所以球心在线段上． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故选：B． 63．（26-27高二·河南信阳·阶段检测）三棱锥的各个顶点都在球的球面上，是等边三角形，是等腰直角三角形且，平面平面，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，结合题设分析球心的位置，进而求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形且，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为是等边三角形，所以，则， 设的中心为，过点作平面的垂线， 可得球心在此垂线上，则， 易得，即， 则, 所以球的表面积为. 题型14 二面角模型 1.核心逻辑 平面图形沿一条棱翻折形成二面角； 分别找翻折后两个面的外接圆圆心，过两个圆心分别作所在平面垂线，两垂线交点即球心； 两个垂线之间夹角等于二面角的平面角（或补角），构造四边形，解三角形求。 2.解题步骤 ①翻折，确定二面角大小； ②找出两个面的外接圆圆心； ③过圆心作面的垂线，交点是球心； ④利用二面角，解四边形，勾股定理求； ⑤可求外接球表面积最小值。 3.易错提醒 二面角与垂线夹角分不清，分不清是二面角还是补角。 64．（26-27高三·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“切西瓜”模型，分别找到外接圆圆心以及的外接圆圆心，然后分别作平面的垂线交点即为外接球球心，然后利用平面几何关系求得，进而外接球表面积为. 【详解】由题意可知， 又，平面， 所以平面，为二面角的平面角， 所以，又因为，所以为等边三角形， 如图，取的中点，则，则平面， 外接圆圆心为，连接，易证平面， 外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则平面， 连接，则平面， 则四边形为矩形. 在等边中，，则，， 则， 在中，， 所以四面体的外接球的半径， 所以外接球表面积为. 65．（2026高一·浙江绍兴·期中）在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为____________． 【答案】 【分析】，故只需求的最小值，则在四边形中计算即可. 【详解】 取外心，外心，中点为， 则，，面，面 所以，， 设， 由正弦定理得， 余弦定理得，所以， 所以由正弦定理得，即， 所以，，， 在四边形中， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以三棱锥外接球表面积最小值为， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值． 66．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】/ 【分析】先确定球心位置，再建立半径R的方程求解即可. 【详解】取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查外接球问题，关键是利用球的性质确定球心位置. 67．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为________． 【答案】 【分析】依题意可得，球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，即可得到，求出，从而求出三棱锥的外接球的半径为，即可得到外接球的体积. 【详解】解：如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 68．（2026高三·河南·期末）在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为_________.      【答案】/ 【分析】设菱形中心为，则，为等边三角形，利用球的截面性质确定球心位置，根据二面角定义，等边三角形的性质求出球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为为菱形，所以即为二面角的平面角， 因为，所以和均为正三角形， 取靠近的三等分点，取靠近的三等分点， 过点作平面，过点作平面，交于点， 则为三棱锥外接球的球心，连接， 由对称性知，则，， 因为， 所以， 所以外接球的半径， 所以外接球的表面积为. 故答案为：    题型15 柱体内切球 1.核心逻辑 柱体存在内切球条件：柱体的高等于底面内切圆的直径； 圆柱：高才有内切球； 直棱柱：底面存在内切圆，且棱柱高等于底面内切圆直径。 内切球半径等于底面内切圆半径。 2.解题步骤 ①先判断是否满足内切球存在条件； ②满足条件直接得到内切球半径； ③算球表面积体积。 3.易错提醒 不判断存在条件，直接求内切球。 69．（2026高一·广东·阶段检测）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为__________，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为________ 【答案】 【分析】由球内切于圆柱得到球的半径可得第一空答案；过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求解可得第二空答案. 【详解】如图：因为圆柱的高为2，且球O内切于圆柱， 所以球O的半径，故球O的体积. 设过点D的圆柱的轴截面为ABCD，过点O在平面ABCD内作，垂足为G，如图： 易知，，，由勾股定理可得， 因为与相似，所以，即， 设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为， 因为平面DEF，当平面DEF时，取最大值OG，即， 所以， 所以平面DEF截得球的截面面积最小值为. 故答案为：；. 70．（2026高一·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 71．（2026·云南·模拟预测）若底面边长为6的正三棱柱存在内切球（球与正三棱柱的所有面均相切），则该正三棱柱的体积为（    ） A．27 B．54 C．18 D． 【答案】B 【分析】先求出边长为6的正三角形的内切圆半径，再由棱柱的体积公式计算可得. 【详解】易知边长为6的正三角形的内切圆半径为，所以若正三棱柱存在内切球， 则该正三棱柱的高为，所以该正三棱柱的体积. 故：B. 72．（2026高二·福建厦门·期中）已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 【答案】 【分析】点为等边的中心，点为的中点，设，即底面三角形的内切圆的半径，由题意可知正三棱柱的高，求出外接球的半径，结合球的表面积可得，进而可求正三棱柱的体积. 【详解】如图，点为等边的中心，点为的中点， 设，则，， 则的内切圆的半径为， 因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设为正三棱柱内切球的球心， 则点也是外接球的球心，由内切球的半径为，可得， 则正三棱柱的高， 正三棱柱的外接球的半径， 因为外接球的表面积为，则，解得， 所以该三棱柱的体积. 故答案为：. 73．（2026高二·浙江温州·期末）已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】分析可知该正三棱柱内切球的半径等于其底面等边三角形内切圆的半径，利用等面积法可求得内切球半径，进而可得出棱柱的高，结合正棱柱的几何特征求出其外接球半径，再结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示： 易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心， 连接、、， 设球的半径为，则， 即，解得， 由正棱柱的几何性质可知， 易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、，    则平面，，， 故，即该三棱柱外接球半径为， 因此，该三棱柱外接球表面积为. 故答案为：. 题型16 锥体内切球 1.核心逻辑 锥体的内切球，统一使用等体积法：； 多面体体积，是几何体全部表面积，内切球半径。 2.解题步骤 ①求多面体体积；求全部表面积； ②代入公式解出内切球半径； ③计算球表面积体积。 3.易错提醒 只用侧面积，忘记算底面面积；公式记错，漏掉系数。 74．（2026高一·山东临沂·期中）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 75．（2026高三·江苏南京·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出轴截面，根据直角三角形的知识计算出底面半径和高，再根据圆锥的体积计算公式即可. 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 76．（2026高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比. 【详解】 如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点， 设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知， 所以在中，， 由三角形内切圆可得，可得，即，化简得， 圆锥表面积为，内切球表面积， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比， 故选：B. 77．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知正四面体的棱长为4，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】因为正四面体的棱长为，所以底面正三角形的高为， 底面中心到底面顶点的距离为. 根据勾股定理可得正四面体的高为. 则正四面体的体积为. 设内切球半径为，则，解得. 设的半径为，根据相似关系可知， 即，解得. 所以球的表面积为. 故选：A. 78．（2026高一·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半径即可. 【详解】解：如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为，所以， 则，得， 设球的半径为，则， 又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 79．（2026·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正三棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 80．（2026高二·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 【答案】 【分析】借助内切球性质可得和相似，则有计算即可得内切球的半径，即可得高. 【详解】在正四棱锥中，分别为的中点， 平面恰好与正四棱锥的内切球相切， 设AC与BD相交于点Q，取AB的中点为M连接PM,PQ,MQ， 取PQ与平面交于点N，连接NG ，作于S，设内切球的半径为r，则，设PQ=h， 平面与平面ABCD平行，平面PQC与两个平面的交线为NG、QC 所以 ，所以和相似，由G为PC中点， 所以点N是PQ中点,所以 ； 又和相似，故，易得， 则 ，得到，所以 即正四棱锥P-ABCD的高为.； 故答案为： 题型17 台体内切球 1.核心逻辑 圆台存在内切球充要条件：母线长； 棱台：各侧面与底面都相切，上下底面都有内切圆；也可以用体积法。 2.解题步骤 ①圆台：检验母线是否等于上下底半径之和； ②棱台，用等体积法求内切球半径。 3.易错提醒 不检验存在条件，强行算内切球。 81．（2026高一·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为________． 【答案】/ 【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高，又，，，设，利用勾股定理求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的一个底面面积为，则该底面圆的半径，不妨令其为上底面， 如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的体积. 故答案为： 82．（2026高三·江苏·阶段检测）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________． 【答案】 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为. 故答案为： 83．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 【答案】 【分析】由条件根据球的表面积公式求出球的半径，作圆台的轴截面，结合条件解三角形求出圆台的上下底面半径和高，结合圆台体积公式求结论. 【详解】设圆台内切球的半径为， 由已知，所以， 作圆台的轴截面可得 由已知，，， 所以， 因为圆为等腰梯形的内切圆，所以，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 因为，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 所以圆台的底面圆的半径为，面积为， 底面圆的半径为，面积为，又圆台的高为， 所以圆台的体积， 故答案为：. 84．（2026高三·辽宁大连·期中）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切可得母线，进而得到圆台的高即为内切球直径，利用边的关系得到，再得到，根据球的截面问题得到截面半径，利用台体体积公式分别得到两圆台的体积即可得到比值. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点，， 又圆台上、下底面的半径为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E， 所以， 在中，因为，所以，则， ，则， 因为球O内切于圆台，所以， 设QP与交于点，则， ，． 故圆台体积为， 圆台体积为， 故切痕所在平面分圆台上、下两部分的体积比为．    故选：B. 85．（2026高三·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 【答案】 【分析】利用内切球的性质，从截面形状分析数量关系，进而求出棱台表面积. 【详解】 如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面 . 根据勾股定理易知，，. 圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 因，， 由切线长定理，易得，，则, 上底面面积为，下底面面积为， 因此三棱台的表面积为. 故答案为： 86．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 87．（2026高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求。 题型18 棱切球 1.核心逻辑 棱切球：球和所有棱相切，球心到每一条棱距离等于半径。 正方体棱切球：球心正方体中心，半径等于面中心到棱距离。 2.解题步骤 ①确定球心位置（几何体中心）； ②求球心到棱的距离即为半径； ③代入球公式计算。 3.易错提醒 把棱切球和内切球概念混淆；内切球是和面相切，棱切球是和棱相切。 88.球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的面对角线， 因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球， 又因为正方体的棱长为，所以球的半径， 所以球的表面积为：， 故选：C. 89.边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____． 【答案】 【解析】结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图： 取球心，若，则即为球的半径，而为底面中心， ∴面，若为中点，则， ∴，，， 由，则，故， ∴球的体积为. 故答案为： 90.已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______． 【答案】 【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径， 其表面积． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $