专题04 平面向量中的隐圆问题7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题04 平面向量中的隐圆问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 定值圆 1.核心逻辑 条件形如、；向量差的模等于定值，代表动点的终点轨迹是以终点为圆心、为半径的圆。 常见形式：；。 2.解题步骤 ①把向量等式两边平方，展开数量积； ②建系，设动点坐标，整理得到圆标准方程，读出圆心、半径； ③所求模长转化为圆上动点到定点的距离； ④距离最值：，。 3.易错提醒 平方展开数量积漏掉交叉项；分不清向量起点终点，找错圆心坐标；直接代数运算忽略几何意义加大计算量。 1．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图示，确定点的轨迹，然后根据图形确定的最小值. 【详解】如图，设，，，． 由得，即， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 过点作的垂线，垂足为，又，,则 所以的最小值为． 故选：C． 2．（2026高三·江苏扬州·阶段检测）已知平面向量，，满足：，，且，则向量在向量方向上的投影的取值范围为___________. 【答案】 【分析】先求解向量，的夹角，再数形结合解决问题 【详解】平面向量，，满足：，，设向量，的夹角为，则，所以，因为，所以 如图，将，，的起点重合，可知与的夹角为，又因为，，所以向量在向量方向上的投影的最小值为0，最大值为2，所以向量在向量方向上的投影的取值范围为 故答案为： 3．（2026高三·浙江·期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为__________. 【答案】 【分析】建立坐标系，设，，，设，，则，构造相似三角形，设，可得，所以． 【详解】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点， 所以，同理， 取点，则，又因， 所以， 所以，即， 所以， 由三角形的三边关系知. 故填：. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题． 4．（2026高三·浙江·开学考试）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解 【详解】设， 以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系 均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ， ，设 满足 ，设 ,故 ， 则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值 其最小值为 故选:C. 【点睛】向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题. 5．（2026高一·全国·专题练习）平面向量，，，有，，，且，则的最大值为______. 【答案】7 【详解】解析  方法一：几何法. 如图，当，，三点共线时，即 方法二：向量不等式 记， 所以. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析  由，是单位向量，且， 则可设，，； 因为向量满足，所以， 所以，即， 它表示圆心为，半径为的圆； 又， 它表示圆上的点到点的距离，如图所示： 且，所以； 即的取值范围是.故选：D. 7．（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知平面向量满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】解法一：根据向量模公式得，再结合，解对应不等式即可得答案； 解法二：作，，，进而得在以点为圆心，5为半径的圆上，再结合矩形的性质得点D在以点C为圆心，7为半径的圆上，最后根据即可得答案. 【详解】解法一： ，其中为与的夹角． 因为,所以， 所以． 又因为， 所以，解得． 所以的取值范围为 解法二：如图，作，，， 因为，所以在以点为圆心，5为半径的圆上， 以为邻边作矩形． 由矩形的性质可知，，又， 所以，即点D在以点C为圆心，7为半径的圆上， 因此， 所以的取值范围为. 8．（2026高三·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 9．（2026高一·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为向量与的夹角，表示，推出，进而得到最大值; （2）方法一：令，，，则，，根据几何关系求解； （2）方法二：令，，，，则，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，当点，，共线时，得到最大值和最小值，进而得到答案. 【详解】（1）因为， 所以 ，其中为向量与的夹角， 所以． 又，， 所以， 所以的最大值为． （2）方法一：由，得． 又，且， 不妨令，，，则． 又， 故根据几何关系可知，， 所以的取值范围是． 方法二： 令，，，， 则． 又， 所以点在以点为圆心，半径为的圆上， 如图所示，易知当点，，共线时，取得最值， 最大值为，最小值为， 所以的取值范围是． 题型02 直径圆 1.核心逻辑 圆周角定理：直径所对圆周角为直角。 若，则动点在以为直径的圆上。 >关键点：两个向量必须共起点为动点，两个终点为直径端点。 2.解题步骤 ①看到数量积等于0，先确认向量起点是不是动点； ②确定直径两个端点，算出圆心（中点）、半径（）； ③得到隐圆之后，再求模长、距离、数量积的最值； ④注意：两点本身不满足条件，要看题目是否要剔除。 3.易错提醒 向量起点不是动点，错误套用直径圆结论；忘记判断端点是否可取。 10．（2026高三·全国·专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作，，，由已知得C点在以AB为直径的圆上，当为圆的直径时，最大，求值即可. 【详解】 是平面内两个互相垂直的单位向量，如图所示， 设，，， 则，， 由可知，所以C点在以AB为直径的圆上，即四点共圆 当为圆的直径时，最大，此时 故选：A 11．（2026高一·江苏徐州·阶段检测）已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定向量的终点所表示的轨迹，一个为射线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设，，， 则由与的夹角为得，，得， 由，知， 得，即， 因此，表示圆上的点到射线上的点的距离， 故其最小值为圆心到射线的距离减去半径1，即. 故选：A 12．（2026高一·广西来宾·期末）已知、、是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是______. 【答案】 【分析】设，，，先确定向量的终点所表示的轨迹，一个为射线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设，，，则， 则由与的夹角为，得， 所以，得， 由，知， 得，即， 因此，表示圆上的点到射线上的点的距离， 故其最小值为圆心到射线的距离减去半径1，即.    故答案为：. 13．（2026高一·上海金山·阶段检测）已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1. 【详解】由， 设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系， 由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，    则的最小值为 ， 表示点到和的距离之和的最小值的倍， 则最小值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，本题关键点是将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1. 14．【多选】（2026高三·重庆渝中·阶段检测）平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影是1 C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项. 【详解】解：因为，且，则，所以， 又，则，则，故A正确； 由于在方向上的投影是，故B错误； 设， 由于，即，故， 因为，取，则， 所以，所以动点在以为直径的圆上，如图， ，则，， 设的中点为，的中点为，过作的垂线， 则，因为，所以的最大值是，故C正确； 设，因为，即，则， 所以，故在垂线上， 而， 又是的中点，所以，则， 过作的垂线，垂足为，则， 又，所以， 所以的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 15．（2026高二·上海·阶段检测）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足时，均能使成立，则的最小值是______. 【答案】 【分析】设，，，根据题意得的关系，利用圆的几何性质，再求出的最大值，从而求出的最小值. 【详解】根据题意设，，； ， 又， 即； 它表示圆心在，半径为的圆； 则圆心到点的距离为， 的最大值为； 要使成立，则的最小值是. 故答案为： 题型03 外接圆 1.核心逻辑 定弦定角模型：一条线段长度固定，动点对这条线段张角为定值，则动点轨迹是一段圆弧（三角形外接圆）。 向量条件：定值，与夹角固定，在圆弧上运动；用正弦定理求外接圆半径。 2.解题步骤 ①识别定线段、固定张角； ②利用正弦定理求外接圆半径； ③确定轨迹是整圆还是一段圆弧（优弧/劣弧）； ④圆上动点求模长、数量积最值； ⑤注意：圆弧要排除两个端点。 3.易错提醒 不区分优弧劣弧，直接当成完整圆；忽略端点不能取，造成范围出错。 16．（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面向量，（，）满足，且与的夹角为，则的最大值是________. 【答案】 【分析】数形结合画出图形，知,,,点C在圆弧长运动，设，由正弦整理可得：，可得的最大值. 【详解】解：如图，    数形结合知,,,点C在圆弧长运动，设， 由正弦整理可得：，可得， 故的最大值是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，注意数形结合及正弦定理的灵活运用，属于中档题. 17．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据模长关系可得，设，分类讨论点与直线的位置关系，结合圆的性质即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为， 即，则， 可得，且，所以， 设， 则， 由题意可知：， 若位于直线两侧，且，可知四点共圆， 且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点， 则的最大值即为圆的直径； 若位于直线同侧，且，可知四点共圆， 且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，此时； 综上所述： 的最大值为2 故选：A. 18．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，满足：，向量与向量夹角为，求的取值范围. 【答案】 【分析】如图所示，记，则，且.利用正弦定理、三角恒等变换及正弦函数的值域求出在上投影的取值范围，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，记，则，且. 根据正弦定理. 记的夹角为，则. 故在上投影为. . 因为，所以，所以， 所以，即. 所以，即. 因为， 所以的取值范围是. 19．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是______. 【答案】 【详解】解析  根据题意，设，，，， 则，， 若向量与的夹角为30°，则与的夹角即， 若向量，满足，，且， 则有，解得， 则，故四点共圆，设四边形的外接圆为圆，半径为， 若取得最大值，则为圆的直径，即的最大值为， 又由，，且，则， 由正弦定理可得：，即的最大值是；故答案为：. 题型04 四点共圆 1.核心逻辑 向量条件判定四点共圆： ①定弦定角：两个点对同一条弦张角相等或互补，则四点共圆； ②利用模长、夹角条件，构造三角形，由正弦定理得到外接圆； 得到共圆之后，圆的直径对应模长最大值。 2.解题步骤 ①观察多个向量的模、夹角，识别定弦、定角； ②判断四点共圆，求外接圆半径； ③圆上动点，模长最大值为外接圆直径； ④看清轨迹是整圆还是部分圆弧。 3.易错提醒 张角互补同样可以四点共圆，容易只记住张角相等；把圆弧轨迹当成完整圆求最值。 20．（2026高一·陕西西安·阶段检测）已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】设，，.从而得到等边三角形,进一步可得的轨迹是两段圆弧,画出示意图可知当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，从而可解. 【详解】向量,向量均为单位向量， ,. 如图，设.则是等边三角形. 向量满足与的夹角为, . 因为点在外且为定值, 所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角. 因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|, 在中,由正弦定理可得: . 取得最大值2. 故选：D 【点睛】关键点睛： 设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦AB所对的两段圆弧,从而确定当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，即可求解. 21．（2026高三·浙江·阶段检测）已知向量，其中，，与夹角为，且.则的最大值为______. 【答案】 【分析】可设，，，则，，则，，进而可求出与夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 【详解】设，，，则，， 所以,即与的夹角为， 而与的夹角为, 所以四点共圆， 于是为圆的直径时最大， ， 则的最大值为 【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示，是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题 22．（2026高一·全国·专题练习）设向量，，满足，，，则的最大值等于______. 【答案】2 【详解】解析  因为，，所以，的夹角为120°， 设，，则；，如图所示， 则；，所以， 所以，，，四点共圆，因为， 所以，所以， 由三角形的正弦定理得外接圆的直径， 当为直径时，最大，最大为2，故答案为：2. 题型05 比例圆（阿氏圆） 1.核心逻辑 向量形式：（），动点轨迹为阿氏圆；时轨迹是线段中垂线，不是圆。 2.解题步骤 ①识别模长比值为常数且不等于1； ②建系，设动点坐标，利用距离比值等式两边平方，整理得到阿氏圆方程，读出圆心、半径； ③结合圆几何性质，求模长、数量积最值； ④直接写垂直平分线。 3.易错提醒 仍然当成圆；找错阿氏圆圆心（圆心不在两点连线中点）。 23．（2026高一·全国·专题练习）已知共面向量，，满足，，且.若对每一个确定的向量，记（）的最小值为，则当变化时，的最大值为（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解析  解法一：固定向量，则，的终点分别在以为圆心， 为半径的圆上的直径两端运动，其中，，，如图， 易得点的坐标为，因为， 所以，即， 整理得，所以有， 因为（）的最小值为， 即 解法二（几何意义）：设，，， 由可得为中点，由，可得， 的几何意义为到直线上的点的距离，最小值即为到直线的距离； 则，，所以的轨迹为阿氏圆， 由特殊位置确定一下圆的直径两点，如图， 可知，，即在以为直径的圆上，半径为2， 所以点到直线的距离最大为2. 24．（2026高一·全国·专题练习）在中，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解析  以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，设点（），则由，可得，化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包含轴上的点）， 设圆与轴交于，两点（在左边）， 则，， 由向量数量积的几何意义知： ，， 所以，所以C正确，故选：C. 题型06 向量圆（极化恒等式） 1.核心逻辑 极化恒等式：，为中点。 条件（常数），可以转化得到为定值，于是动点轨迹是以为圆心的隐圆。 2.解题步骤 ①看到两个同起点向量数量积等于常数，优先极化恒等式； ②取两定点中点，把数量积转化为动点到中点距离平方； ③得到常数，识别隐圆，得到圆心、半径； ④再处理距离、模长、数量积的最值。 3.易错提醒 极化恒等式公式记错；分不清哪个是中点；等式变形符号出错。 25．（2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，，点在圆：上，若，则的横坐标范围是______. 【答案】 【详解】解析  设的中点为，点的轨迹是以为圆心为半径的圆， 所以为圆上或其内部一点， 又点在圆上，联立得， 解得或，即为圆的劣弧上的一点， 如图2，易知.故答案为. 26．（2026高一·全国·专题练习）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：（为实常数），则动点的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不确定 【答案】A 【详解】解析  设，（），. 则，. 因为满足：（为实常数），所以， 化为，即， 故动点的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆.故选：A. 27．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算求出点的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线的距离不大于半径求解的取值范围. 【详解】设点，由，，得，. 由，代入得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 直线整理为一般式， 因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离. 由点到直线距离公式得，所以， 整理得，即，解得， 故的取值范围为. 题型07 参数圆 1.核心逻辑 向量带参数，如；参数变化，向量终点轨迹是圆；可以建系写参数方程。 2.解题步骤 ①把参数向量坐标化； ②整理成圆的参数方程，读出圆心与半径； ③圆上动点，利用几何性质求模、数量积最值； ④辅助角公式配合参数方程求解范围。 3.易错提醒 参数范围限制，轨迹是圆弧不是完整圆，直接按整圆求最值会出错。 28．（2026高一·全国·专题练习），为单位向量，则最大值是______. 【答案】 【详解】解析  设，， 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量中的隐圆问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 定值圆 1.核心逻辑 条件形如、；向量差的模等于定值，代表动点的终点轨迹是以终点为圆心、为半径的圆。 常见形式：；。 2.解题步骤 ①把向量等式两边平方，展开数量积； ②建系，设动点坐标，整理得到圆标准方程，读出圆心、半径； ③所求模长转化为圆上动点到定点的距离； ④距离最值：，。 3.易错提醒 平方展开数量积漏掉交叉项；分不清向量起点终点，找错圆心坐标；直接代数运算忽略几何意义加大计算量。 1．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 2．（2026高三·江苏扬州·阶段检测）已知平面向量，，满足：，，且，则向量在向量方向上的投影的取值范围为___________. 3．（2026高三·浙江·期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为__________. 4．（2026高三·浙江·开学考试）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）平面向量，，，有，，，且，则的最大值为______. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知平面向量满足，则的取值范围为______． 8．（2026高三·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 题型02 直径圆 1.核心逻辑 圆周角定理：直径所对圆周角为直角。 若，则动点在以为直径的圆上。 >关键点：两个向量必须共起点为动点，两个终点为直径端点。 2.解题步骤 ①看到数量积等于0，先确认向量起点是不是动点； ②确定直径两个端点，算出圆心（中点）、半径（）； ③得到隐圆之后，再求模长、距离、数量积的最值； ④注意：两点本身不满足条件，要看题目是否要剔除。 3.易错提醒 向量起点不是动点，错误套用直径圆结论；忘记判断端点是否可取。 10．（2026高三·全国·专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是(　　) A． B． C． D．2 11．（2026高一·江苏徐州·阶段检测）已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·广西来宾·期末）已知、、是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是______. 13．（2026高一·上海金山·阶段检测）已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 14．【多选】（2026高三·重庆渝中·阶段检测）平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影是1 C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是 15．（2026高二·上海·阶段检测）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足时，均能使成立，则的最小值是______. 题型03 外接圆 1.核心逻辑 定弦定角模型：一条线段长度固定，动点对这条线段张角为定值，则动点轨迹是一段圆弧（三角形外接圆）。 向量条件：定值，与夹角固定，在圆弧上运动；用正弦定理求外接圆半径。 2.解题步骤 ①识别定线段、固定张角； ②利用正弦定理求外接圆半径； ③确定轨迹是整圆还是一段圆弧（优弧/劣弧）； ④圆上动点求模长、数量积最值； ⑤注意：圆弧要排除两个端点。 3.易错提醒 不区分优弧劣弧，直接当成完整圆；忽略端点不能取，造成范围出错。 16．（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面向量，（，）满足，且与的夹角为，则的最大值是________. 17．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．3 18．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，满足：，向量与向量夹角为，求的取值范围. 19．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是______. 题型04 四点共圆 1.核心逻辑 向量条件判定四点共圆： ①定弦定角：两个点对同一条弦张角相等或互补，则四点共圆； ②利用模长、夹角条件，构造三角形，由正弦定理得到外接圆； 得到共圆之后，圆的直径对应模长最大值。 2.解题步骤 ①观察多个向量的模、夹角，识别定弦、定角； ②判断四点共圆，求外接圆半径； ③圆上动点，模长最大值为外接圆直径； ④看清轨迹是整圆还是部分圆弧。 3.易错提醒 张角互补同样可以四点共圆，容易只记住张角相等；把圆弧轨迹当成完整圆求最值。 20．（2026高一·陕西西安·阶段检测）已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 21．（2026高三·浙江·阶段检测）已知向量，其中，，与夹角为，且.则的最大值为______. 22．（2026高一·全国·专题练习）设向量，，满足，，，则的最大值等于______. 题型05 比例圆（阿氏圆） 1.核心逻辑 向量形式：（），动点轨迹为阿氏圆；时轨迹是线段中垂线，不是圆。 2.解题步骤 ①识别模长比值为常数且不等于1； ②建系，设动点坐标，利用距离比值等式两边平方，整理得到阿氏圆方程，读出圆心、半径； ③结合圆几何性质，求模长、数量积最值； ④直接写垂直平分线。 3.易错提醒 仍然当成圆；找错阿氏圆圆心（圆心不在两点连线中点）。 23．（2026高一·全国·专题练习）已知共面向量，，满足，，且.若对每一个确定的向量，记（）的最小值为，则当变化时，的最大值为（   ） A． B．2 C．4 D．6 24．（2026高一·全国·专题练习）在中，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06 向量圆（极化恒等式） 1.核心逻辑 极化恒等式：，为中点。 条件（常数），可以转化得到为定值，于是动点轨迹是以为圆心的隐圆。 2.解题步骤 ①看到两个同起点向量数量积等于常数，优先极化恒等式； ②取两定点中点，把数量积转化为动点到中点距离平方； ③得到常数，识别隐圆，得到圆心、半径； ④再处理距离、模长、数量积的最值。 3.易错提醒 极化恒等式公式记错；分不清哪个是中点；等式变形符号出错。 25．（2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，，点在圆：上，若，则的横坐标范围是______. 26．（2026高一·全国·专题练习）在平面内，设，为两个不同的定点，动点满足：（为实常数），则动点的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不确定 27．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 参数圆 1.核心逻辑 向量带参数，如；参数变化，向量终点轨迹是圆；可以建系写参数方程。 2.解题步骤 ①把参数向量坐标化； ②整理成圆的参数方程，读出圆心与半径； ③圆上动点，利用几何性质求模、数量积最值； ④辅助角公式配合参数方程求解范围。 3.易错提醒 参数范围限制，轨迹是圆弧不是完整圆，直接按整圆求最值会出错。 28．（2026高一·全国·专题练习），为单位向量，则最大值是______. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $