专题03 数列的子数列与增添项问题6种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 数列的子数列与增添项问题6种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 数列的奇偶项 1.核心逻辑 把原数列拆分为奇数项子列、偶数项子列；奇数项：；偶数项：。 递推条件给出与关系，可得到隔项递推与，分别判断奇偶子列是等差/等比。 求和时区分求前项、前项。 2.解题步骤 ①将分别代奇数、偶数，得到奇数项、偶数项各自递推； ②分别求出奇数子列、偶数子列的通项； ③求前项：奇数子列前项和 + 偶数子列前项和； ④求前项：前项和，再加上第个奇数项。 3.易错提醒 混淆原数列下标与子数列下标；求奇数项和时漏掉最后一项；奇偶子列首项找错。 1．（26-27高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则______． 【答案】4 【分析】根据递推关系，求出数列的前5项，得到数列的周期，根据周期性求出问题. 【详解】由题意得， 由于递推关系是相邻两项的关系， 所以数列是周期为3的周期数列， 故. 2．（2026高二·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 3．（2026高二·黑龙江·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式； （2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得； （3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证. 【详解】（1）当时，， 而满足上式， 所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 令， 则， ， 两式相减，得 ， 故. 而， ， 两式相减，得， 故， 故. （3）证明：由题知 ， 所以 ，即命题得证. 4．（2026高二·广东佛山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 5．（2026高三·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 6．（2026高二·山东淄博·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 【答案】(1) 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. (2) (3) 因为 ， 又 ， 欲证， 只要证， 即证，即证， 由于， 所以，所以命题得证. 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由（2）可得，利用分析法只需证明，即可利用裂项消项法证出. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 所以； （3）略 题型02 两数列的公共项 1.核心逻辑 公共项：同时属于数列和的项，按从小到大排成新数列。 设，建立方程，求正整数解，得到公共项的取值规律；公共项一般仍构成等差或者等比子数列。 2.解题步骤 ①令两数列通项相等 ； ②求满足等式的正整数，找出公共项的规律； ③写出公共项新数列通项； ④求指定项、求和，判断某公共项是原数列的第几项。 3.易错提醒 只解方程，忽略必须是正整数；把项的值当成项的序号。 7．（2026·山东济南·模拟预测）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为， 当时，则， 两式相减得， 整理可得， 且，则，可得，即， 可知等差数列的公差， 当时，则，解得； 所以，可知数列为正奇数列， 对于数列， 当时，可得为偶数； 当时，可得为奇数； 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：A. 9．（2026高三·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，，进而得到数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，得出，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，成公比不为1的等比数列， 所以，可得，解得， 所以，则，可得， 由数列为正奇数列， 对于数列，设时，可得为偶数； 当时，可得为奇数， 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：C. 10．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第___________项． 【答案】257 【分析】先设公差为，再结合已知代入求解得出，进而计算公共项的通项公式计算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，当时，有，即， 所以，又， 所以， 设，得， 则，所以，则，得， 所以的第9项是的第257项． 故答案为：257. 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对，两边同时取对数，对分类讨论即可求出，由等差数列定义即可求出； （2）令，解出即可得解. 【详解】（1），， 当时，， 当时，，即， 而，满足上式， 所以数列的通项公式为； 若数列满足，（，）， 则， 从而数列的通项公式为； （2）令，解得，这表明， 从而只能， 所以， 所以数列的通项公式为. 题型03 去项 1.核心逻辑 在原数列中，去掉另外一个数列的所有项，剩余项保持原有顺序得到新数列。 关键点：新数列前项，并不是原数列前项；需要估算：原数列前多少项，剔除若干重复项后，刚好凑够新数列的项。 2.解题步骤 ①估算：原数列前项，里面包含个要去掉的项，则新数列有项； ②题目求新数列前项，解出满足 的； ③新数列前项和 = 原数列前项和 − 被去掉项的和。 3.易错提醒 直接取原数列前项，忘记剔除重复项；估算计数错误。 12．（2026高三·湖北·阶段检测）数列的满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和． 【答案】(1) (2)1473 【分析】（1）由，，得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得出数列的通项公式； （2）首先得出的通项公式，由，可知中要去掉数列的项有5项，代入计算即可． 【详解】（1）因为， 所以， 又因为， 所以，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即． （2）由得，， 因为， 所以中要去掉数列的项有5项， 所以 ． 13．（2026高二·重庆·期末）已知等差数列和等比数列满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列，求数列的前20项和． 【答案】(1)， (2)960 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列方程求解即可； （2）找出数列前20项中与相同的项只有2项，故只需求前22项和去掉相同项即可得解. 【详解】（1）设的公差为d，的公比为q， 由题意知，， 故得， 所以，所以解得，代入则有， 所以，．所以，． （2）因为，令，解得，则有， 的前20项中只有两项与相同，即3和27， 又均不在数列， 故的前20项和为． 14．（2026高二·江苏南京·期末）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)现由数列与按照下列方式构造成新的数列 ①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列； ②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列; 在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式； （2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案. 【详解】（1）因为数列为等比数列，且， 所以. 又因为，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. （2）因为，， 所以， 而 若选① 因为在数列前30项内，不在数列前30项内.， 则数列前30项和为：=1632. 若选② 因为在数列前30项内，不在数列前30项内.， 则数列前30项和为：=1203. 15．（2026高二·江苏常州·期中）设数列的前项和为，，________．给出下列三个条件：条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；条件②：点在直线上;条件；③：． 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列的通项公式; （2）设，若中去掉的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的前项和． 【答案】条件选择见解析，（1）；（2）1206. 【解析】（1）根据所选条件，可得为首项是，公比是的等比数列，写出通项公式即可. （2）由题意得的前项是由前36项去掉的项构成，进而利用等差等比前n项和公式即可求. 【详解】（1）选条件①：数列为等比数列， ，即． 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ； 选条件②：点在直线， ，又，两式相减有：， 又，，也适合上式，，因为， ，故数列为首项是，公比是的等比数列，即； 选条件③：，则， 由两式相减可得：，即， 又，，也适合上式，故数列为首项是，公比是的等比数列． ； （2），其中前30项：即前36项去掉6个的项，有， ∴. 【点睛】关键点点睛：根据等比数列定义确定数列的通项公式；理解中去掉的项后余下的项按原来的顺序组成数列，进而得到前项的构成并求前n项和. 16．（2026·陕西安康·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足. （1）证明：是等比数列，并求； （2）若数列中去掉与数列中相同的项后，余下的项按原顺序排列成数列，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）根据所给等式，先求得，再利用作差法可得，两边同时加1，可构造等比数列即可证明；利用等比数列通项公式求法，即可得. （2）根据所给等式，先求得数列的通项公式，再找出数列与数列中重复的6项，可知的前50项即为数列的前56项和减去数列的前6项和. 【详解】（1）证明:由当时，代入可得, 解得， 因为，， 所以， 从而由， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 故. （2）由题意，， ，， 所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 则， 又因为，，，，，，， ，， 所以 . 【点睛】本题考查了递推公式的应用，构造数列法证明等比数列，等差数列与等比数列求和公式的应用，属于中档题. 17．（2026高一·湖北·阶段检测）已知等差数列各项均为整数，其公差，，且（k＞3）为等比数列的前三项． （1）求数列与的通项公式； （2）将数列与的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列，数列的前项和．求． 【答案】（1），；（2）． 【详解】试题分析：（1）通过成等比数列可知，化简可知，可知，进而计算可得结论；（2）利用所求值为数列的前项和减去数列的前项和，进而计算可得结论． 试题解析：（1）依题意，，∴， 整理得：，又∵且， ∴k=7 此时， ∴，又∵等比数列的公比，∴； （2）令数列的前项和为，数列的前项和为， 由（1）可知，，所以 . 考点：数列的求和；等差数列的通项公式. 题型04 并项 1.核心逻辑 将两个数列全部项放在一起，去掉重复值，从小到大排列生成新数列。 要确定：新数列前项里面，包含第一个数列多少项，第二个数列多少项。 2.解题步骤 ①对比两个数列项的大小，估算新数列前项分别取自多少项、多少项； ②统计重复公共项，重复只计一次； ③分组求和：分别求出对应部分的和，相加；重复项只计算一次。 3.易错提醒 重复公共项重复计算；计数错误，两个数列取出的项数之和不等于。 18．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知等差数列，等比数列，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)将数列和中的项合并，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前100项和. 【答案】(1)， (2)8903 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意可得，即可得到，，即可求出、，从而求出； （2）依题意可得的前100项中，有数列的前93项，数列的前7项，再根据等差、等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∴，∴， ∴，， ∴，，又， ∴. （2）因为，，， 所以的前100项中，有数列的前93项，数列的前7项， 记，，的前项和分别，，. ∴ 19．（2026高三·天津滨海新区·阶段检测）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于，. (1)求数列与的通项公式，求； (2)将与的项按照从小到大排序合并(相同的项算作一项)，得到的新数列记为，将中的项小于等于的项数记为，求的通项公式； (3)令，求的前项和. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）借助与的关系计算可得，借助等比数列定义计算可得，借助裂项求和分奇偶计算即可得； （2）借助二项式定理计算可得当为奇数时，在数列中，当为偶数时，不在数列中，故可分为奇数与为偶数计算即可得； （3）先求出，再分、，借助错位相减法与等差数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，符合上式，故， 设数列公比为，则有，解得或， 由，故，即； ， 则当为奇数时： ， 当为偶数时： ； 综上可得； （2）当时， ， 则， 即当为偶数时，不是的倍数，即此时中不存在该项； 当时， ， 则， 即当为奇数时，是的倍数，即此时中存在该项； 当为奇数时，令，有，由、、、不在中， 故； 当为偶数时，令，有，由、、、不在中， 故； 故； （3） ， 令，设为前项和， 令，设为前项和， 则， ， 故 ， 即， ， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键点在于借助二项式定理确定数列中有哪些是数列中的项，再根据所得分类讨论. 20．（2026高二·山东聊城·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和． 【答案】(1) (2)3181． 【分析】（1）设等比数列的公比为q，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解； （2）先得到的前50项是由的前5项与的前45项组成，然后利用分组求和法即可求解 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意得， 因为等比数列中，，所以，又，解得， 所以，即的通项公式为． （2）由（1）知， 因为，， 所以的前50项是由的前5项与的前45项组成， 记的前50项的和为，则 ． 所以的前50项的和为3181． 题型05 插项 1.核心逻辑 在原数列相邻两项与之间，插入若干个数（常数、等差数列），生成新数列。 重点：定位原数列各项在新数列中是第几号位置，统计插入项的总个数。 分组模型：一组 = + 插入的若干项。 2.解题步骤 ①计算每一组的项数，累计总项数； ②确定新数列前项里面包含原数列多少个完整的，以及多少个插入项； ③分别计算原数列部分的和、插入部分的和，相加。 若插入构成等差数列：利用等差数列通项求公差，再求和。 3.易错提醒 算错原数列元素在新数列中的位置；总项数统计出错；分不清“原项”和“插入项”。 21．【多选】（26-27高三·山东青岛·阶段检测）已知是首项为1的等差数列，是首项为2的等比数列，满足，，成等差数列，．将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，在与之间插入项中的项，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，新数列中之前（不包括）所有项的和记为，若，符号表示不超过的最大整数，下列说法中正确的是（     ） A．， B． C． D．使得成立的最大正整数 【答案】ABD 【分析】设数列的公差为，数列的公比为，根据条件，求出，即可求出，从而判断出A的正误；结合题设，利用等差、等比数列的前项和公式，求出，再求出，即可判断选项B和C的正误；再将变形得，利用，可得，从而有当时，，即可求解. 【详解】设数列的公差为，数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，又，，则，解得， 所以，故A正确， 记新数列为，由题知数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则， 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则， 所以，则，所以B正确， 又， 所以，又，所以，故C错误， 对于D，因为当时，， 当时，因为， 所以， 则当时，，因此当时，， 所以， 得到，解得， 又，，所以，，， 得成立的最大整数的值为，故D正确. 22．（26-27高三·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)或． (2)证明：因为，所以，所以， 由题意得，则， ，① ，② 得， 得． 因为，所以． 【分析】（1）根据题意，求出公比和首项，代入等比数列通项公式即可. （2）根据题意，求出，再根据错位相减的方法求出，进而证明. 【详解】（1）设的公比为，由，得，因为，所以， 因为，所以或， 故或． （2）略 23．（26-27高三·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 24．（2026高二·广东江门·阶段检测）设数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式． (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 由题意可知，和插入个数后，共个数成等差数列，是第1项，是第项， 因此，代入，得，故， 假设存在三项满足条件：成公差不为的等差数列，且成等比数列， 则， 将代入等比条件：， 约去，由得，因此， 整理得：, 将代入上式得：， 即，与公差不为零矛盾，故不存在这样的三项. 【分析】（1）利用及与的递推关系，正确得出； （2）由插入个数后形成等差数列，正确求出公差，假设存在满足条件的三项，结合成等差数列（公差非零）及等比条件，推导得到即，与公差不为零矛盾. 【详解】（1）已知，当时，，解得； 当时，， 两式相减得：，整理得， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项公式为：. （2）略 25．（2026高二·天津·阶段检测）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】(1)，. (2) (3)21216 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【详解】（1）由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . （2）由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； （3）由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 26．（2026高三·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 27．（2026高二·河南郑州·期末）已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【分析】利用递推式结合等比数列性质求出，进而求出及，从而得出表达式，再利用错位相减法化简，求出． 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 28．（2026高二·天津河西·期末）已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 29．（2026高二·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) 由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 30．（26-27高二·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；设等差数列的公差为，根据题意可得出，结合题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）将新数列进行分组：与个分为组，假设前组共有项，求出的表达式，令，分析数列的单调性，结合以及可得出的最小值； （3）求出的表达式，计算得出，可得出，令，利用错位相减法可求得的表达式，即为所求. 【详解】（1）对任意的，，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设等差数列的公差为， 因为为与的等比中项，，由可得， 整理可得，解得或， 又因为等差数列递增，故， 所以. （2）将新数列进行分组：与个分为组， 则前组中包含中的前项，以及个， 假设一共有项，则 ， 令， 则，故单调递增， 当时，，当时，， 此时，即， 故使得的最小的值为. （3）由题意可得， 对任意的，， 所以， 令①， 则②， ①②：， 所以， 所以. 31．（2026高二·天津·阶段检测）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 【答案】7893 【分析】先确定的前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果. 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为. 计算最大的，使得，当时，， 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2. 数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 题型06 存在项问题 1.核心逻辑 判断：是否存在下标满足条件的子数列（三项成等比、成等差等）；下标要求：下标为正整数，严格递增。 方法：①假设存在，列出等式；②化简，分析方程有无正整数解；③若无整数解，则不存在；有解则写出解。 2.解题步骤 ①假设存在满足条件的三项，下标满足大小关系； ②利用等差、等比条件列等式； ③化简方程，看方程是否存在符合条件的正整数解； ④无解则不存在；有解写出对应的下标。 3.易错提醒 只看数值满足，忽略下标必须是正整数，且严格递增；漏掉下标大小约束。 32．（2026高三·河北邢台·阶段检测）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：由， 得，得或． 因为是递增数列，所以． 故是首项为4，公差为1的等差数列． (2) (3)存在，或11 【分析】（1）将原等式进行展开化简，得到是首项为4，公差为1的等差数列． （2）先求出的通项公式，然后代入中进行化简，最后累加求和即可. （3）先求出的通项公式，然后根据等比数列的性质进行验证即可. 【详解】（1）略． （2）由（1）可得． ， 所以． （3）． 假设存在不同的三项，，成等比数列，则，得， 得．因为，所以． 易得m，p是方程的两个不等实根，由，得． 因为m，p，k均为正整数，且，所以是完全平方数，且为不小于9的正奇数． 当，即时，，，不符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，不符合题意． 故或11． 33．（2026高三·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和； （3）依据规律找出的项数和的个数即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 34．（2026高二·重庆·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）存在，所有的值为大于或等于的偶数，理由如下： ①当为偶数时，， ， 故当为偶数时，单调递增， ， 故当为偶数且时，； ②当为奇数，， ，故当为奇数时，单调递减， ，当为奇数时，（舍）， 综上，当为偶数且时，. 【分析】（1）应用计算得出通项公式； （2）（ⅰ）分奇偶应用分组求和结合等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解； （ⅱ）分为奇数和偶数两种情况讨论，通过作差法判断数列的单调性，进而求出满足的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， ． （2）（ⅰ）由（1）知， 所以 ①当为偶数， ②当为奇数， （ⅱ）略 35．（2026·北京海淀·模拟预测）给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． (1)分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② (2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； (3)求预言数列的个数． 【答案】(1)是3-预言数列；不是预言数列； (2) 不存在，证明如下： 根据题意，任意正整数，这项中恰有个不同的数， 任意正整数，，这项中恰有个不同的数 所以且 假设存在首项的预言数列，则中有不同的数， 即必须互不相同，即， 当时，不满足，矛盾； 当，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，与矛盾； 当时，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，且， 又因为，所以，，， 此时与对于正整数，，这项中恰有个不同的数矛盾. 综上，不存在首项为的预言数列. (3)当时，，此时预言数列的个数为1；当时，预言数列的个数为. 【分析】（1）根据题意，结合预言数列的定义依次判断即可； （2）根据题意得且，再假设存在，则，再依次讨论，，时均不满足即可说明不存在； （3）先讨论时的情况，再讨论，结合反证法证明预言数列的个数为. 【详解】（1）解：对于①， 当时，对于任意正整数，的值均为，不同的数的个数为， 所以是预言数列； 对于② 由于，，，，，，……， 当，时，对应的项为，，， 其中不同的数有和两个，不等于， 所以不是预言数列. （2）略 （3）解：当时，，此时预言数列的个数为1； 当时，预言数列的个数为，证明如下： ①同（2），可得且， 所以，若数列中某一项为1，则后续项只可能均为1或者均为2. ②设中的最大项为，证明. 假设，则存在， 由题可知，中恰有，这个不同的数， 所以，其中存在（若有多个，则取最后一个），存在，（若有多个，则取最前一个）， 若，则，，矛盾； 若，则中恰有个不同的数， 又因为中没有，且，其后续项也没有，矛盾. 由上可知，. ③由②，若，则，符合； 若，设，则其后续项可取到和，且其中第一个1的后续项只能为2， 否则其前一项（取2）对应的后续项只能取1，矛盾； 所以，若，则其后续项只能有1个1，个2， 共有种不同的取法，考虑到数列首项还可能是1， 所以，当数列中最大项为2时，共有个预言数列， 综上，时，预言数列的个数为. 36．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【分析】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【详解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 37．（2026高三·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 【答案】(1) (2) (3)证明：∵，，，， 则， 所以结论成立. 【分析】（1）根据与的关系式计算即可； （2）运用裂项相消计算即可； （3）找出符合条件的，即可. 【详解】（1）当时，，解得. 当时，， 所以，即， 而，故，故，， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 所以. （3）略 38．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记集合，若中有3个元素，求的取值范围； (3)是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足题意，证明： 设 即， 所以， 两式相减可得， 所以存在等差数列，满足题意. 【分析】（1）利用的关系式证明是以首项为1，公比为2的等比数列，可得； （2）易知在时为单调递减，再根据中有3个元素可得的取值范围； （3）利用错位相减可求得存在满足题意. 【详解】（1）当时，可得，即; 当时，由可得， 两式相减可得，即，所以， 因此是以首项为1，公比为2的等比数列， 可得. （2）由已知可得，即， 令， 可得， 又， 当时，， 即，因此时，单调递减； 因为中有3个元素，所以不等式的解有3个，所以， 即的取值范围为； （3）设存在等差数列使得条件成立， 则当时，有，所以； 当时，有，所以； 因此等差数列的公差为1，可得； 证明略 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列的子数列与增添项问题6种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 数列的奇偶项 1.核心逻辑 把原数列拆分为奇数项子列、偶数项子列；奇数项：；偶数项：。 递推条件给出与关系，可得到隔项递推与，分别判断奇偶子列是等差/等比。 求和时区分求前项、前项。 2.解题步骤 ①将分别代奇数、偶数，得到奇数项、偶数项各自递推； ②分别求出奇数子列、偶数子列的通项； ③求前项：奇数子列前项和 + 偶数子列前项和； ④求前项：前项和，再加上第个奇数项。 3.易错提醒 混淆原数列下标与子数列下标；求奇数项和时漏掉最后一项；奇偶子列首项找错。 1．（26-27高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则______． 2．（2026高二·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 3．（2026高二·黑龙江·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 4．（2026高二·广东佛山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 5．（2026高三·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 6．（2026高二·山东淄博·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 题型02 两数列的公共项 1.核心逻辑 公共项：同时属于数列和的项，按从小到大排成新数列。 设，建立方程，求正整数解，得到公共项的取值规律；公共项一般仍构成等差或者等比子数列。 2.解题步骤 ①令两数列通项相等 ； ②求满足等式的正整数，找出公共项的规律； ③写出公共项新数列通项； ④求指定项、求和，判断某公共项是原数列的第几项。 3.易错提醒 只解方程，忽略必须是正整数；把项的值当成项的序号。 7．（2026·山东济南·模拟预测）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026高三·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 10．（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第___________项． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 题型03 去项 1.核心逻辑 在原数列中，去掉另外一个数列的所有项，剩余项保持原有顺序得到新数列。 关键点：新数列前项，并不是原数列前项；需要估算：原数列前多少项，剔除若干重复项后，刚好凑够新数列的项。 2.解题步骤 ①估算：原数列前项，里面包含个要去掉的项，则新数列有项； ②题目求新数列前项，解出满足 的； ③新数列前项和 = 原数列前项和 − 被去掉项的和。 3.易错提醒 直接取原数列前项，忘记剔除重复项；估算计数错误。 12．（2026高三·湖北·阶段检测）数列的满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和． 13．（2026高二·重庆·期末）已知等差数列和等比数列满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列，求数列的前20项和． 14．（2026高二·江苏南京·期末）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)现由数列与按照下列方式构造成新的数列 ①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列； ②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列; 在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和. 15．（2026高二·江苏常州·期中）设数列的前项和为，，________．给出下列三个条件：条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；条件②：点在直线上;条件；③：． 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列的通项公式; （2）设，若中去掉的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的前项和． 16．（2026·陕西安康·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足. （1）证明：是等比数列，并求； （2）若数列中去掉与数列中相同的项后，余下的项按原顺序排列成数列，求的值. 17．（2026高一·湖北·阶段检测）已知等差数列各项均为整数，其公差，，且（k＞3）为等比数列的前三项． （1）求数列与的通项公式； （2）将数列与的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列，数列的前项和．求． 题型04 并项 1.核心逻辑 将两个数列全部项放在一起，去掉重复值，从小到大排列生成新数列。 要确定：新数列前项里面，包含第一个数列多少项，第二个数列多少项。 2.解题步骤 ①对比两个数列项的大小，估算新数列前项分别取自多少项、多少项； ②统计重复公共项，重复只计一次； ③分组求和：分别求出对应部分的和，相加；重复项只计算一次。 3.易错提醒 重复公共项重复计算；计数错误，两个数列取出的项数之和不等于。 18．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知等差数列，等比数列，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)将数列和中的项合并，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前100项和. 19．（2026高三·天津滨海新区·阶段检测）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于，. (1)求数列与的通项公式，求； (2)将与的项按照从小到大排序合并(相同的项算作一项)，得到的新数列记为，将中的项小于等于的项数记为，求的通项公式； (3)令，求的前项和. 20．（2026高二·山东聊城·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和． 题型05 插项 1.核心逻辑 在原数列相邻两项与之间，插入若干个数（常数、等差数列），生成新数列。 重点：定位原数列各项在新数列中是第几号位置，统计插入项的总个数。 分组模型：一组 = + 插入的若干项。 2.解题步骤 ①计算每一组的项数，累计总项数； ②确定新数列前项里面包含原数列多少个完整的，以及多少个插入项； ③分别计算原数列部分的和、插入部分的和，相加。 若插入构成等差数列：利用等差数列通项求公差，再求和。 3.易错提醒 算错原数列元素在新数列中的位置；总项数统计出错；分不清“原项”和“插入项”。 21．【多选】（26-27高三·山东青岛·阶段检测）已知是首项为1的等差数列，是首项为2的等比数列，满足，，成等差数列，．将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，在与之间插入项中的项，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，新数列中之前（不包括）所有项的和记为，若，符号表示不超过的最大整数，下列说法中正确的是（     ） A．， B． C． D．使得成立的最大正整数 22．（26-27高三·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 23．（26-27高三·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 24．（2026高二·广东江门·阶段检测）设数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式． (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 25．（2026高二·天津·阶段检测）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 26．（2026高三·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 27．（2026高二·河南郑州·期末）已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 28．（2026高二·天津河西·期末）已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 29．（2026高二·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 30．（26-27高二·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 31．（2026高二·天津·阶段检测）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 题型06 存在项问题 1.核心逻辑 判断：是否存在下标满足条件的子数列（三项成等比、成等差等）；下标要求：下标为正整数，严格递增。 方法：①假设存在，列出等式；②化简，分析方程有无正整数解；③若无整数解，则不存在；有解则写出解。 2.解题步骤 ①假设存在满足条件的三项，下标满足大小关系； ②利用等差、等比条件列等式； ③化简方程，看方程是否存在符合条件的正整数解； ④无解则不存在；有解写出对应的下标。 3.易错提醒 只看数值满足，忽略下标必须是正整数，且严格递增；漏掉下标大小约束。 32．（2026高三·河北邢台·阶段检测）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 33．（2026高三·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 34．（2026高二·重庆·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 35．（2026·北京海淀·模拟预测）给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． (1)分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② (2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； (3)求预言数列的个数． 36．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 37．（2026高三·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 38．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记集合，若中有3个元素，求的取值范围； (3)是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $