6.4 用样本估计总体数字特征同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

6.4 用样本估计总体数字特征 1.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( ) A.， B.， C.， D.， 2.若某同学连续三次考试的名次（第一名记为1，第二名记为2，以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超过3，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是( ) A.甲同学：平均数为2，中位数为2 B.乙同学：平均数为2，方差小于1 C.丙同学：中位数为2，众数为2 D.丁同学：众数为2，方差大于1 3.四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，得到如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是( ) A.平均数为4，中位数为4 B.中位数为4，众数为3 C.平均数为3，方差为 D.中位数为3，方差为 4.经过简单随机抽样获得的样本数据为,,…,,且数据,,…,的平均数为,方差为,则下列说法正确的是( ) A.若,则所有的数据都为0 B.若,则的平均数为6 C.若,则的方差为12 D.若该组数据的25%分位数为90,则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 5.下列结论中正确的是( ) A.若数据的频率分布直方图单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C.一个样本的方差，则这组样本数据的总和为60 D.数据，，，…，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M 6.气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为12，极差为3； 乙地：5个数据的平均数为11，众数为12； 丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12； 丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1. 则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是( ) A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 7.（多选）已知采用分层随机抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，，则下列命题正确的是( ) A.设总样本的平均数为，则 B.设总样本的平均数为，则 C.设总样本的方差为，则 D.若，，则 8.（多选）现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为，，，…，，其平均数为a，标准差为b，极差为m，分位数为n；第二组数据为，，，…，，则下列说法正确的是( ) A.第一组数据去掉，，剩余数据的平均数和极差都比原来小 B.第二组数据的平均数为 C.第二组数据的分位数为 D.第二组数据的标准差为 9.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则__________. 10.已知6个正整数的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的方差的最大值为__________. 11.已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：22，24，23，25，a，26. 若两组数据的方差相等，则实数a的值为__________. 12.用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计男生成绩样本数据的分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高二年级男生中成绩优秀的人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71，187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5，119，求总样本的平均数和方差. 答案以及解析 1.答案：A 解析：解析：由题意，可得，设收集的48个准确数据分别记为，，…，，则， ， 所以.故选A. 2.答案：D 解析：甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，由中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，由方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可能是尖子生；丁同学名次数据的众数为2，说明三次考试中有两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当时，方差均小于1，故，断定丁一定不是尖子生. 3.答案：C 解析： A 当投掷骰子出现结果为1，2，3，4，6，6，6时，满足平均数为4，中位数4，可以出现点数6. B 当投掷骰子出现结果为3，3，3，4，4，5，6时，满足中位数为4，众数为3，可以出现点数6. C 若平均数为3，且出现6点，则方差，所以平均数为3，方差为时，一定没有出现点数6. D 当投掷骰子出现结果为2，2，3，3，6，6，6时，满足中位数为3，平均数为，方差为，可以出现点数6. 4.答案：C 解析：对于A,数据,,…,的方差时,说明所有的数据,,…,都相等, 但不一定为0,故选项A错误； 对于B,数据,,…,的平均数, 数据的平均数为,故选项B错误； 对于C,数据,,…,的方差为, 数据的方差为,故选项C正确； 对于D,数据,,…,的25%分位数为90,则可以估计总体中有至少有的数据大于或等于90,故选项D错误. 故选：C. 5.答案：C 解析：对于A，频率分布直方图大致如图： 因为在右边“拖尾”，最高峰偏左，所以中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，故A错误； 由平均数和方差的性质知B，D错误； 对于C，由题意可知平均数为3，共有20个数据，所以这组样本数据的总和为，故C正确.故选C. 6.答案：D 解析：对于A，设甲地5天的日平均气温从低到高为a，b，12，c，d，因为极差为3，所以，取，， 此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况，故甲地不一定符合气象意义上进入春季的标志； 对于B，可设乙地5天的日平均气温从低到高为a，b，12，12，d，其中a，b，d互不相等，由5个数据的平均数为11， 可得31，取，，，此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况，故乙地不一定符合气象意义上进入春季的标志； 对于C，设丙地5天的日平均气温从低到高为a，b，12，c，d， 由5个数据的平均数为12，得， 取，，，，此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况， 故丙地不一定符合气象意义上进入春季的标志； 对于D，设丁地5天的日平均气温从低到高为，，，，， 由5个数据的平均数为11，可得，若方差小于1，则有，即， 由为正整数，且，，所以（，）. 若，则，，，中任何一个都不可能为9，10，12，13， 所以当时，，但此时不满足， 所以（，），故丁地符合气象意义上进入春季的标志.故选D. 7.答案：AD 解析：对于A，因为，所以，，即，A正确； 对于B，不妨取第一部分数据为1，1，1，1，1，则，，取第二部分数据为，9，则，，则，B不正确； 对于C，不妨取第一部分数据为，，0，1，2，则，， 取第二部分数据为1，2，3，4，5，则，，则， ，C不正确； 对于D，若，，则，则，D正确. 故选AD. 8.答案：BC 解析：对于A，第一组数据去掉，，剩余数据平均数可能变小，可能变大，也可能不变，所以不能确定其平均数一定比原来小，故A错误； 对于B，第一组数据平均数为a，第二组数据是，则第二组数据的平均数为，故B正确；对于C，第一组数据的分位数为n，第二组数据是，则第二组数据的分位数为，故C正确； 对于D，第一组数据的标准差为b，第二组数据是，则第二组数据的标准差为2b，故D错误.故选BC. 9.答案：100 解析：由题意得，，要使该总体的方差最小，方差化简后即只需满足最小即可，此时，故.故答案为100. 10.答案： 解析：设这6个数分别为a，3，3，5，b，c（，，）. 因为平均数为5，所以， 故， 要使这6个数的方差最大，则应使a尽可能小，c尽可能大，则令，，， 此时方差为. 11.答案：27或21 解析：将两组数据重新排列，得第一组：20，21，22，23，24，25；第二组：22，23，24，25，26，a.再将两组数据重新排列，得第一组：20，21，22，23，24，25；第二组：a，22，23，24，25，26.根据方差的性质，知当或时，两组数据的方差相等.第一组数据的平均数为，第二组数据的平均数为.由两组数据的方差相等，得实数a满足方程，该方程为一元二次方程，所以该方程最多有两个实数解，即实数a最多有两个值.综上，实数a的值为27或21. 12.答案：（1）84 （2）96 （3）总样本的平均数和方差分别为72.5，148 解析：（1）由题意可知，在内的频率为， 在内的频率为， 则分位数一定在内. 因为， 所以估计男生成绩样本数据的分位数是84. （2）成绩不低于80分的频率为， 所以估计高二年级男生中成绩优秀的人数为. （3）设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为119， 总样本的平均数为，方差为，则有. . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5，148. 学科网（北京）股份有限公司 $