7.2 古典概型同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.2 古典概型 1.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩（成绩均为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙同学的第5次成绩的个位数被污损. 甲 95 87 88 92 93 85 乙 85 86 86 99 9■ 88 则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是( ) A. B. C. D. 3.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( ) A. B. C. D. 4.从1到20这20个整数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为( ) A. B. C. D. 5.有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是( ) A. B. C. D. 6.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为( ) A. B. C. D. 7.（多选）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能地随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的有( ) A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大 C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平 9.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为__________. 10.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当，时称为“凹数”（如213，312等）.若，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“凹数”的概率是__________. 11.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________. 12.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率. （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由于A，B互斥，且A，B发生的概率均不为0， 所以解得，所以实数a的取值范围是.故选D. 2.答案：B 解析：由题意可得甲同学的平均成绩，设被污损的数字为x，则乙同学的平均成绩.令，解得，故时，x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率. 3.答案：C 解析：依题意知，总的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个.其中符合数字之积是4的倍数的基本事件有6个，故所求概率.故选C. 4.答案：A 解析：1到20这20个整数中能被2整除的有个； 能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个； 能同时被2和3整除的有6，12，18，共3个，所以能被2整除或被3整除的有（个）数. 因此，从1到20这20个整数中任取一个数，这个数能被2整除或被3整除的概率为.故选A. 5.答案：C 解析：设2人分别为A，B，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为，，，，，，，…，，共25种，2人在相同层离开电梯的情况为，，，，，共5种， 所以2人在不同层离开电梯的概率. 6.答案：C 解析：如图，将七块板编号如下， 所以从这七块板中任意取出两块的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21种， 将七巧板划分如下，被分成8个全等的三角形，设正方形ABCD的面积为2S，则编号为1，2的三角板面积为，编号为4，6的三角板面积为，编号为3，5，7的平行四边形板、正方形板、三角形板面积均为， 任取两块板面积相等的样本点有：，，，，. 从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.故选C. 7.答案：ACD 解析：三辆车到达酒店的顺序可能为，，，，，共6种情况， 方案一坐到“3号”车包含，，，共3种情况， 所以方案一坐到“3号”车的概率. 方案二坐到“3号”车包含，，共2种情况， 所以方案二坐到“3号”车的概率. 所以，，，A，C，D正确. 故选ACD. 8.答案：BD 解析：由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个. 记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的情况有124，134，234，共3个，所以. 记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的情况有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以. 因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.故选BD. 9.答案： 解析：设3次取出的球上的数字依次为a，b，c，则无放回地随机取3次球的取法有（种），则，可得.当时，满足条件的a，b的所有可能情况为，，共2种.当时，满足条件的a，b的所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.当时，满足条件的a，b的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，，共16种.当时，满足条件的a，b的所有可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，，共16种.当时，满足条件的a，b的所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.当时，满足条件的a，b的所有可能情况为，，共2种.故共有（种）可能情况，所以所求概率. 10.答案： 解析：组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本空间 ，共24个样本点.记“这个三位自然数是‘凹数’”为事件A，则，共8个样本点，所以这个三位自然数为“凹数”的概率. 11.答案： 解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3. 若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，此时只有1种组合：，，，. 若甲的总得分为2，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为，，，； 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有，，，或，，，或，，，，共3种组合；第三类，当甲出卡片5和7时赢，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7种组合. 综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，又所有不同的组合共有（种），所以甲的总得分不小于2的概率. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的样本空间 ， 共24个样本点. （1）记“恰有两名同学拿对了书包”为事件M， 则， 共6个样本点，故. （2）记“至少有两名同学拿对了书包”为事件N， 则， 共7个样本点，故. （3）记“书包都拿错了”为事件E， 则 ， 共9个样本点，故. 学科网（北京）股份有限公司 $