随机事件的运算、古典概型的概率计算公式、古典概型的应用 练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

随机事件的运算、古典概型的概率计算公式、古典概型的应用 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，且，则的概率为( ) A. B. C. D. 2.袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；蓝色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为( ) A. B. C. D. 3.甲、乙两位同学将高一6次数学测试成绩（成绩为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙同学的第5次成绩的个位数被污损. 次数 1 2 3 4 5 6 甲 95 87 88 92 93 85 乙 85 86 86 99 9■ 88 则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是( ) A. B. C. D. 4.已知某运动员每次投篮命中的概率约为.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 5.有2人从一栋6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是( ) A. B. C. D. 6.甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.某年级某班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么( ) A.若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生 B.若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为 C.若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为 D.若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同 8.某校有5名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为80、84、86、90，若这5名同学的平均成绩为85，则下列结论正确的是( ) A.甲同学的竞赛成绩为85 B.这5名同学竞赛成绩的方差为10.4 C.这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84 D.从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.4 9.2020年至2024年某地植被面积的年增加量（单位：万公顷）如图所示，则( ) A.这组数据的极差为0.7 B.这组数据的平均数为3.7 C.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为 D.从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为 10.不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则( ) A．这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B．至少有一个红球被取出的概率为 C．这两个球上的数字相同的概率为 D．这两个球上的数字之和为偶数的概率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.下面给出三个游戏，袋子中分别装有若干只有颜色不同的小球（大小，形状，质量等均一样），从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是__________. 游戏1 游戏2 游戏3 球数 3个黑球和一个白球 一个黑球和一个白球 2个黑球和2个白球 取法 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 胜利规则 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 12.若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是_______________. 13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“”的概率为________. 14.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中m的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前15%的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分? （3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率. 参考答案 1.答案：B 解析：由题基本事件空间中的元素有：，，，，，，满足题意的有，，，，则的概率为.故选：B． 2.答案：A 解析：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；蓝色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，基本事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红2，红3），（红2，蓝1），（红2，蓝2），（红3，蓝1），（红3，蓝2），（蓝1，蓝2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的基本事件有3个，分别为：（红2，蓝2），（红3，蓝1），（红3，蓝2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为.故选：A. 3.答案：B 解析：由题意可得，设被污损的数字为x，则.若，则，解得，即x所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，故结合古典概型概率计算公式可得，甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率.故选B. 4.答案：B 解析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，所求概率为.故选B. 5.答案：C 解析：设2人分别为A，B，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为，，，，，，，…，，共25种，2人在相同层离开电梯的情况为，，，，，共5种，所以2人在不同层离开电梯的概率.故选C. 6.答案：D 解析：甲、乙、丙三位同学随机站成一排有：(甲、乙、丙)，(甲、丙、乙)，(乙、甲、丙)， (乙、丙、甲)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)，共种，甲乙两人恰好相邻而站有：(甲、乙、丙)，(乙、甲、丙)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)共4种，所以甲乙两人恰好相邻而站的概率为，故选：D. 7.答案：AC 解析：因为抽签法是简单随机抽样，抽样是随机的，班里有30名男生，所以存在抽到9名男生的可能性，故A正确； 总共有名学生，采用抽签法时，男生甲被抽到的概率为，故B错误； 在按比例分层随机抽样中，女生应抽取的人数为名，女生乙被抽到的概率为，故C正确； 在按比例分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于，所以男生甲和女生乙被抽到的概率相同，故D错误.故选：AC. 8.答案：ABD 解析：设甲同学的成绩为a分， 由平均数公式可得，解得， 对于A选项，甲同学的竞赛成绩为85，A对； 对于B选项，这5名同学竞赛成绩的方差为 ，B对； 对于C选项，这5名同学竞赛成绩由低到高依次为：80、84、85、86、90，因为，则这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是，C错； 对于D选项，在这5名同学种，竞赛成绩高于85分的人数为2，所以，从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，D对.故选：ABD. 9.答案：ABD 解析：对于A，将题图中数据从小到大排列为3.4，3.5，3.6，3.9，4.1，则极差为，A正确； 对于B，平均数为，B正确； 对于C，中位数为3.6，从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据与中位数之差大于0.2的概率为，C错误； 对于D，这组数据中大于3.5的有3个，则从这5个数据中随机抽取1个，抽到的数据大于3.5的概率为，D正确.故选：ABD 10.答案：AC 解析：从袋子中随机取出两个球，样本空间＝{（红1，红2），（红1，黄1），（红1，黄2），（红1，黄3），（红1，黄4），（红2，黄1），（红2，黄2），（红2，黄3），（红2，黄4），（黄1，黄2），（黄1，黄3），（黄1，黄4），（黄2，黄3），（黄2，黄4），（黄3，黄4）}. A选项，样本空间共15种情况数，其中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种， 这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为，A正确. B选项，至少有一个红球的情况有9种，故概率为是，B不正确. C选项，这两个球上的数字相同情况有2种，故概率为，C正确. D选项，这两个球上的数字之和为偶数的情况有6种，概率为，D不正确.故选：AC 11.答案：游戏3 解析：对于游戏1，基本事件数为12，取出两球同色即全是黑球有6种取法，其概率是，取出颜色不同的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，基本事件数为2，两个事件的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，基本事件数为12，两球同色的情况有4种，故其概率是，颜色不同的概率为，故此游戏不公平，乙胜的概率大.综上知，游戏3不公平. 12.答案： 解析：从5个球中随机取出2个球，共有10种基本事件，其中取出2球颜色相同的只有2种， 所以取出两个颜色相同球的概率为.故答案为：. 13.答案： 解析：连续抛掷骰子2次，基本事件的个数为， 由知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，；则事件“”包含的基本事件的个数为，所以事件“”的概率为，故答案为：. 14.答案：/0.4 解析：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，样本空间共10个基本事件，即，用A表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即，所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率.故答案为：. 15.答案：（1）0.025；74 （2）88 （3）0.6 解析：（1）因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，可得，解得， 竞赛的平均成绩：. （2）由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前15%的学生，即为85%分位数，设为x， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. （3）由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为A，B，C，D， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ，， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $