7.2 古典概型(能力提升)同步练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.2 古典概型 1.从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为( ) A. B. C. D. 2.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是( ) A.2件都是一级品 B.2件都是二级品 C.一级品和二级品各1件 D.至少有1件二级品 3.某城市2021年的空气质量状况如下表： 空气质量指数T 30 60 100 110 130 140 概率p 其中空气质量指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染.则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为( ) A. B. C. D. 4.某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择A类图书的概率为，选择B类图书的概率为，A，B两类图书都不选的概率为，则A，B两类图书都选的概率为( ) A. B. C. D. 5.抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，则既有正面向上，也有反面向上的概率为( ) A. B. C. D. 6.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权中至少有一颗被选中的概率为( ) A. B. C. D. 7.甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“3+2”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为( ) A. B. C. D. 8.从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为( ) A. B. C. D. 9.（多选）下列命题是假命题的有( ) A.对立事件一定是互斥事件 B.A，B为两个事件，则 C.若事件A，B满足，则A，B为对立事件 D.若事件A，B，C两两互斥，则 10.（多选）算盘是我国古代一项重要的发明.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、万位……上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至档梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至档梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则( ) A. B. C. D. 11.（多选）一批产品共有5件，其中有3件是一等品，2件是二等品，给出下列4个结论，其中正确的有( ) A.从中不放回地抽取2次，每次任取1件，恰有1件是一等品的概率是 B.从中一次性取2件，至少有1件是一等品的概率是 C.从中有放回地抽取2次，每次任取1件，恰有1件是一等品的概率是 D.从中有放回地抽取2次，每次任取1件，至少有1件是一等品的概率是 12.一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，今随机地先后取出两个小球，若取出不放回，则两个小球上的数字是相邻整数的概率是__________. 13.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为__________. 14.一个盒内有标号为1，2，3，4的4张标签（标签的形状、大小和质地完全相同），从中依次有放回地选取2张标签，则选取1张标有2和1张标有4的标签的概率是__________. 15.现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球，依此类推，假设传接球无失误. （1）设第一次接球人为x，第二次接球人为y，经过两次传接球后，列举出的所有可能的结果； （2）完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率. 答案以及解析 1.答案：C 解析：从1，2，3，4，5中取三个数的所有情况如下：，共10种情况，而能构成三角形的情况有，共3种情况，故所求概率.选C. 2.答案：D 解析：设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品，任取2件，则样本空间，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则. 记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则. 记事件C表示“2件中1件是一级品、1件是二级品”，包含6个样本点，则. 事件A，B，C两两互斥，所以， 又因为事件表示“至少有1件二级品”.故选D. 3.答案：A 解析：由题表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2021年空气质量达到良或优的概率.故选A. 4.答案：B 解析：设事件A表示“读者选择A类图书”，事件B表示“读者选择B类图书”，则，，，可得. 又，所以.故选B. 5.答案：D 解析：方法一：抛掷三枚质地均匀的硬币，落地时朝上的面的样本空间为{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反）}，共包含8个样本点.既有正面向上，也有反面向上包含的样本点为（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），共6个，所以既有正面向上，也有反面向上的概率为.（另解：（利用对立事件）记事件A为“三枚硬币均正面向上或均反面向上”，则事件A包含的样本点为（正，正，正），（反，反，反），共2个，故，故所求概率为） 方法二：（树状图法）抛掷三枚质地均匀的硬币，落地时朝上的面的所有可能情况如图所示，共8种情况，其中既有正面向上，也有反面向上的情况有6种，故所求概率为. 6.答案：B 解析：从天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七颗星中随机选两颗进行观测，有21种情况， 要使得玉衡和天权两颗星都不被选中，则可以从天枢、天璇、天玑、开阳、摇光五颗星中随机选两颗，有10种情况， 所以玉衡和天权都没有被选中的概率为， 所以玉衡和天权中至少有一颗被选中的概率为.故选B. 7.答案：D 解析：设事件M为“他们的座位正好相邻”， 甲乙二人买到同一排A，B，C，D，F这5个座位中的两个形成的样本空间为， 则，共包含10个样本点，其中事件，包含3个样本点，则有， 所以他们的座位正好相邻的概率为.故选D. 8.答案：B 解析：从4，5，6，7，8这五个数中任取两个数，所有可能结果为，，，，，，，，，，共10种可能的结果，则事件“这两个数都是奇数”包含的结果有，共1种可能的结果， 所以这两个数都是奇数的概率是.故选B. 9.答案：BCD 解析：互斥不一定对立，但对立必互斥，A是真命题； 只有A与B是互斥事件时，才有，B是假命题； 若事件A，B满足，则A，B不一定为对立事件，如掷一枚骰子，事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现点数不大于3”，满足，但两事件并不对立，故C是假命题； 若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，例如，掷一枚骰子，A，B，C分别表示“向上出现的点数为i”，，此时A，B，C两两互斥，但，D是假命题.故选BCD. 10.答案：ACD 解析：只拨动一粒珠子至档梁上代表1或5，将算盘的个位、十位、百位、千位分别拨动一粒珠子至档梁上可表示四位数的个数是. 其中能被3整除的四位数中，数字1和5各出现2个， 因此满足条件的四位数是1155，1515，1551，5115，5151，5511，共6个， 所以. 能被5整除的四位数只要个位数是5即可，共有8个， 所以. 能被15整除的是能被3整除的四位数中个位数为5的，有1155，1515，5115，共3个，故. 所以.故选ACD. 11.答案：AC 解析：记3件一等品分别为A，B，C，2件二等品分别为a，b.从中不放回地抽取2次，每次任取1件的样本空间，恰有1件是一等品包含的样本点有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，aA，aB，aC，bA，bB，bC，故所求概率是，故A正确.从中一次性取2件的样本空间，没有一等品包含的样本点有：ab，故至少有1件是一等品的概率是，故B错误. 方法一：从中有放回地抽取2次，每次任取1件的样本空间，恰有1件是一等品包含的样本点有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，aA，aB，aC，bA，bB，bC，故恰有1件是一等品的概率是，故C正确；没有一等品包含的样本点有：aa，ab，ba，bb，故至少有1件是一等品的概率是，故D错误. 方法二：从中有放回地抽取2次，每次任取1件，恰有1件是一等品，则第一次抽取与第二次抽取相互独立，故恰有1件是一等品的概率为，故C正确；从中有放回地抽取2次，每次任取1件，至少有1件是一等品的概率为，故D错误. 12.答案： 解析：不放回地取出球，第一次袋子中有10个球，共有10种取法，第二次袋子中有9个球，共有9种取法，所以所有的可能结果为（种）取法，但符合题意的只有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种取法，所以不放回时两个小球上的数字为相邻整数的概率为. 13.答案： 解析：随机抛掷一枚骰子共有6种不同的结果，其中事件A“不大于4的偶数点出现”包括出现2，4两种结果，，事件B“小于5的点数出现”的对立事件为，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案为. 14.答案： 解析：依次有放回地选取2张标签的样本空间为，所以选取1张标有2和1张标有4的标签的概率是. 15.答案：（1）（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙） （2） 解析：（1）经过两次传接球后，的所有可能结果有（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）. （2）三次传接球，接球人的所有可能结果有（乙，甲，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，乙，丙），共8种，它们是等可能的， 其中第三次传接球后球正好在乙处的结果有（乙，甲，乙），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种， 所以第三次传接球后，球正好在乙处的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $