5.1 方程解的存在性及其近似解同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.1 方程解的存在性及其近似解 1.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.若函数在区间内有2个零点，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.若函数（，，）有两个零点m，n（），则下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 4.若函数在区间上恰有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数.若函数与的零点完全相同，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.（多选）已知，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知函数,则方程的根的个数可能为( ) A.2 B.6 C.5 D.4 9.已知函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在负数k，使得恰有1个零点； ③存在负数k，使得恰有3个零点； ④存在正数k，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是__________. 10.，若至少有3个零点，则实数a的取值范围是___________. 11.已知函数若函数有8个零点，则实数b的取值范围是__________. 12.对于函数，若存在两个不同零点m，n满足，则称函数为“零点相近函数”. （1）判断函数是否为“零点相近函数”. （2）设. （i）已知，求证：函数为“零点相近函数”； （ii）若函数为“零点相近函数”，求k的取值范围. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为是R上的增函数，且，所以. 又是上的增函数，且，所以. 因为函数是R上的增函数，且，， 所以由函数零点存在定理可知，有唯一的零点，则.故选D. 2.答案：D 解析：由，得或.依题意可得，且，所以，且0.故选D. 3.答案：D 解析：对于A，令，则， 由有两个零点知有两个根，即函数，的图象有2个交点，作出两函数的图象如图所示， 要使两函数的图象有2个交点，需满足，即，A错误； 对于B，由A中分析可知函数，的图象有2个交点，交点的横坐标即为m，n，由于，结合图象可知，，B错误； 对于C，D，由题意可知，，故，而，，a的取值不确定，但，必一正一负，故，即，故，C错误，D正确. 故选D. 4.答案：D 解析：令，则，易知函数与的图象最多有2个交点，所以函数最多有2个零点， 则函数在区间上有零点的充分条件为，即，则或 解得. 当时，， 显然函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，，，所以函数在上有两个零点，不符合题意. 经检验，当时，符合题意. 故实数a的取值范围为.故选D. 5.答案：D 解析：因为函数与的零点完全相同，设m为函数的零点， 则，且，所以，所以，所以. （1）当时，，，此时零点都为，符合题意. （2）当时，与的零点若相同， 则无零点或与零点相同. 因为，所以无零点，等价于无解， 所以，解得. 综上（1）（2）所述，实数a的取值范围是.故选D. 6.答案：D 解析：设函数，，，易知为偶函数， 在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示， 当时，两函数图象没有交点，即没有零点； 当时，，两函数图象只有1个交点，即有1个零点； 当时，，两函数图象有1个交点，即有1个零点； 当时，，两函数图象有1个交点，即有1个零点； 当时，，，两函数图象有1个交点，即有1个零点； 当时，两函数图象没有交点，即没有零点. 综上，函数共有4个零点. 故选D. 7.答案：ACD 解析：对于D，构造，易得在上单调递增， 而，， 所以有唯一的正根，且该根位于区间内， 因为，所以，则，故， 所以，故D正确； 对于C，由D可得，，故，而， 所以，故C正确； 对于A，B，由，知，从而，故A正确，B错误.故选ACD. 8.答案：ACD 解析：画出的图象如图所示：令,则,则, 当,即时,,此时,由图与的图象有两个交点, 即方程的根的个数为2个,A正确；当时,即时,, 则,故,,当时, 即,则x有2解,当时,若,则x有3解； 若,则x有2解,故方程的根的个数为5个或4个,CD正确； 故选：ACD. 9.答案：①②④ 解析：令，得. 对①：当时，，即或，则或，所以方程有两个不等实数根，即有2个零点，故①正确. 对②和③：的零点个数即为函数与函数图象的交点个数，画出函数的图象，如图，的图象过定点.当时，由图象可以看出，当与函数的图象相切时，两函数图象有一个交点，即，使得有1个零点，而两函数图象最多有两个交点，所以当时，不可能有3个零点，故②正确，③错误； 当时，由图象可以看出，与函数的图象可能有一个、两个或三个交点，所以，使得有3个零点，故④正确 正确的序号为①②④. 10.答案： 解析：函数的图象与x轴有2个交点和，所以函数的图象与x轴至少有一个交点，从而，解得或.函数的图象的对称轴为直线.设方程的两根分别为，（），当时，，，所以和2不是函数的零点，函数只有2个零点（如图①），不符合题意；当时，，，则2不是函数的零点，函数只有2个零点（如图②），不符合题意；当时，，，则，函数只有2个零点（如图③），不符合题意；当时，函数图象的对称轴方程满足，且，所以，函数至少有3个零点，符合题意（如图④）. 综上所述，实数a的取值范围是. 11.答案： 解析：令，则函数可化为. 作出函数的图象，如图所示. 因为函数有8个零点，等价于方程有8个不同的根，所以方程的两根，， 且，令，所以解得. 12.答案：（1）不是 （2）（i）证明见解析 （ii） 解析：（1）不是“零点相近函数”，理由如下： 由题知在上单调递增，且有唯一零点， 所以只需判断在上是否有零点，由于在上单调递增， ， ， 所以在上没有零点，故不是“零点相近函数”. （2）（i）证明：函数的零点即方程的根， 令，得，令， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，当时，. 因为，所以方程必有两个不同根，（设）， 即有两个不同根，，即有两个零点，设为，， 则，，则， 因为，，所以， 则由得，则， 故函数为“零点相近函数”. （ii）令， 设，则原式化为，即（*）. 易知为偶函数，且在，上单调递增，，. 则要使得原函数为“零点相近函数”，有以下两种可能： 情形1：（*）式在上有根，则在上有根， 从而另一个零点在上，满足“零点相近函数”定义， 此时，得； 情形2：（*）式在上无根，在上有根，若只有一个，此时对应的的根大于，从而两根之差超过1， 所以要成为“零点相近函数”，只有两个不同t值在y轴同侧与产生的交点横坐标之差不超过1. 所以（*）式必须在上有两个不同根，设为，， 令，有解得. 令，，有， 由（i）可知，欲使，只需，即. 设，若，则，则. 而，所以， 从而由知，矛盾. 所以不成立.即恒成立，则. 综上，k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $