5.1 方程解的存在性及其近似解同步练（能力提升）—2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.1 方程解的存在性及其近似解 1.已知函数则函数的零点为( ) A.，0 B.，0 C. D.0 2.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为( ) A. B. C. D. 3.已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则实数m的值为( ) A. B. C. D.1 4.若函数有两个零点，，且，则( ) A.， B.， C.， D.， 5.已知函数的零点在区间内，且，则n的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知函数若恰有3个零点，，（），则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 9.（多选）若函数的图象在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是( ) A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点 B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点 C.在区间上一定有零点，在区间上可能有零点 D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点 10.（多选）已知定义域为R的函数在区间内恰有一个零点，则下列结论正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则或 11.（多选）设函数则下列说法正确的是( ) A.若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为 B.若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C.若函数有3个零点，，（），则的取值范围为 D.对任意，函数在上无最小值 12.用二分法研究函数在区间内的零点时，计算得，，，那么下一次应计算_________时的函数值. 13.已知函数则函数的零点个数为___________. 14.若有一个零点3，则函数的零点为__________. 15.已知函数. （1）证明方程在区间内有实数解； （2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程的实数解在哪个较小的区间内. 答案以及解析 1.答案：D 解析：当时，令，得；当时，令，得，舍去.综上所述，函数的零点为0.故选D. 2.答案：C 解析：由题意函数单调递增，且，，由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为.故选C. 3.答案：C 解析：函数只有一个零点，则.由不等式的解集为，得的解集为. 设方程的两根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，且，，则，整理得，.故选C. 4.答案：C 解析：函数的图象为的图象向下平移1个单位长度， 也可理解为的图象中坐标系的x轴上移1个单位长度， 则在新坐标系中得到的图象， 如图所示，结合图象易知. 5.答案：A 解析：因为函数的定义域为，且函数与函数均在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又，，即，所以由函数零点存在定理知，的零点所在的区间为，所以.故选A. 6.答案：C 解析：当时，，则函数在时的零点个数为函数与函数，的图象的交点个数，作出两个函数的图象如图所示. 由图可知，当时，函数的零点有2个. 当时，由可得或（舍去）， 即当时，函数的零点有1个. 综上，函数的零点有3个.故选C. 7.答案：C 解析：由恰有3个零点，得方程有3个不同的实根， 即函数的图象与直线恰有3个交点. 画出函数的图象，如图所示，由图可知，，所以，所以.由，得，因为，所以，所以，即，即，所以.因此，，即.故选C. 8.答案：C 解析：因为，所以不必考虑端点1.6；因为，所以不必考虑端点1.25和1； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1， 所以方程的一个近似解（精确度为0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值），结合选项知选C. 9.答案：ABD 解析：因为函数的图象在R上连续不断，且满足，，则，根据函数零点存在定理可知，函数在区间上一定有零点，因为，因此无法判断在区间上是否有零点，所以只有C判断正确，其他都不正确.故选ABD. 10.答案：ABD 解析：注意到，，对于A，若，则，其图象开口向下，故要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，故A正确.对于B，若，则，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需其图象开口向下且，即且，解得，故B正确.对于C，若，则，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或解得或，故C错误.对于D，若，则，当时，函数的图象开口向下，要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，即时满足题意；当时，由，得，满足题意；当时，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或解得或.综上，当时，要使函数在区间内恰有一个零点，则或，故D正确.故选ABD. 11.答案：ABD 解析：对于A，要使函数在R上单调递增，则即所以，A正确.对于B，令，当时，可得，若函数有3个零点，则需有一个零点，则；当时，可得，若函数有3个零点，则有两个不等的小于1的实根，则满足得，所以若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围是，B正确.对于C，由选项B可知可得，令，则在上单调递减，所以，即，即的取值范围是，C错误.对于D，当时，函数的图象开口向下，此时.当时，函数单调递增，所以.要使在上无最小值，则，即.当，即时，，得，当，即时，，得，综上，得，所以对任意，函数在上无最小值，D正确. 12.答案：0.75 解析： 13.答案：3 解析：函数的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数， 当时，单调递增，此时；当时，单调递减，此时；当时，单调递增，此时.作出函数的图象如图所示. 由图可知函数的图象与直线有3个交点，故函数有3个零点. 14.答案：和0 解析：因为的零点是3，所以，即， 也就是，所以， 所以方程的两个根为和0，即函数的零点为和0. 15.答案：（1）证明见解析 （2）在区间内 解析：（1）证明：因为函数在定义域上连续， 且，，所以， 由函数零点存在定理可得方程在区间内有实数解. （2）取，得，由此可得，下一个有解区间为. 再取， 得，所以，下一个有解区间为. 再取，得，所以，下一个有解区间为. 综上所述，所求的实数解在区间内. 学科网（北京）股份有限公司 $